《2025版新高考版高考总复习数学函数的周期性和对称性（十年高考）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025版新高考版高考总复习数学函数的周期性和对称性（十年高考）.docx（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2025版新高考版高考总复习数学3.3函数的周期性和对称性考点1 函数的周期性1.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x1,2时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.32C.74D.52答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为1,2内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f92的值.解析由题知f(x+1)=f(x+1),f(x+2)=f(x+2),即f(x)=f(x+2),f(x)=f(x+4),从而f(x+4)=-f(
2、x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+-f(1)=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.又由题知f(x+1)为奇函数,xR,所以f(1)=0,即a+b=0.由得a=2,b=2,从而f(x)=-2x2+2,x1,2.所以f92=f52+2=f52=f12=f32=(2)322+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),f(3)=f(1)=0,f92=f12=f32,由结合f(0)+f
3、(3)=6,知a=-2,b=2,所以f92=(2)322+2=52.2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x12时, fx+12=fx12.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D当x12时,由fx+12=fx12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.3.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f13=13,则f53=()A.-53B.13C.13D.53答案C解题指导:求出函数f(x)的周期再进
4、行转化,即可求解.解析由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f53=f532=f13=13,故选C.知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为a.4.(2022新高考,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则k=122f(k)
5、=()A.-3B.-2C.0D.1答案A令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x),故f(x+2)+f(x)=f(x+1).由得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),故f(0)=2,同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f
6、(5)+f(6)=0,所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.5.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7,又f(x)+g(2-x)=5,所以由-,得f(x)+f(x-2)=-2,则f(
7、x+2)+f(x)=-2,所以由-,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.对于,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.对于,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7,对于,令x=1,得f(1)+g(1)=5,由,得f(1)=-1.对于,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1，对于,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.则i=122f(k)=5(-4)+f(1)+f(2)=-20+(
8、-1)+(-3)=-24.故选D.6.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=4x,则f 52+ f(1)=.答案-2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x),又f(x)的周期为2,f(x+2)=f(x),f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,f(1)=0.又f52=f12=-f12=-412=-2,f52+f(1)=-2.考点2函数的对称性1.(多选)(2022新高考,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f (x)的定义域均为R,记g(x)=f (x).若
9、f322x,g(2+x)均为偶函数,则()A. f(0)=0B.g12=0C. f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(x),则g(x)=f (x)=cos(x),由于f322x=sin322x=sin322x=-cos(2x),g(2+x)=cos(2+x)=cos(2+x)=cos(x),所以f322x,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=cos(-)=-g(2),故选项D错误.由于f322x是偶函数,所以f 322x是奇函数,即g
10、322x是奇函数,则g32=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g12=g322=g32+2=-g32+2=g12=g32212=g32+212=g2+12=g212=g32=0,故选项B正确.由f322x=f32+2x,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知f322x=f32+2xf32x=f32+xf(-x)=f(3+x),取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对两边求导知-f (-x)=f (3+x)f (-x)=-f (3+x),即g(-x)=-g(3+x),取x=-32,知g32=0.g(2+x)=g(2-x)g(-x)=g(x+4),由知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g12=g212=g32=0,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.2.(2014课标文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,f(-1)=f(1)=3.