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1、H 数学试题 第 1 页（共 4 页）2024 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读注意事项及各题答题要求 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证好用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。2.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。3.作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答，在其他位置作答一律无效。4.本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120
2、 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1已知1iz=，则|z=A0 B1 C2 D2 2已知命题,|1|1:pxx+R，命题3:0,qxxx=，则 Ap 和 q 都是真命题 Bp 和 q 都是真命题 Cp 和q 都是真命题 Dp 和q 都是真命题 3已知向量a，b满足|1=a，|2|2+=ab，且(2)bab，则|=b A12 B22 C32 D1 4某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg
3、）并整理下表：亩产量 900,950)950,1000)1000,1050)1100,1150)1150,1200)生产数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是 A100块稻田亩产量中位数小于1050 kg B100块稻田的亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过20%C100块稻田亩产量的标准差介于200 kg至300 kg之间 D100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 H 数学试题 第 2 页（共 4 页）5已知曲线22:16(0)C xyy+=，从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线 PP，P是垂足，则线段 PP 的中点 M 的轨迹方程为 A
4、22)1641(0 xyy+=B22)1681(0 xyy+=C22)1641(0yxy+=D22)1681(0yxy+=6设函数2()(1)1f xa x=+，()cos2g xxax=+，当(1,1)x 时，曲线()yf x=与()yg x=恰有一个交点，则a=A1 B12 C1 D2 7 已知正三棱台111ABCABC的体积为523，6AB=，112AB=，则1A A与平面ABC所成 角的正切值为 A12 B1 C2 D3 8设函数()()ln()f xxaxb=+，若()0f x，则22ab+的最小值为 A18 B14 C12 D1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每
5、小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9对于函数()sin2f xx=和()sin(2)4g xx=，下列正确的有 A()f x与()g x有相同零点 B()f x与()g x有相同最大值 C()f x与()g x有相同的最小正周期 D()f x与()g x有相同的对称轴 10抛物线2:4C yx=的准线为l，P为C上的动点，过P作22:(4)1A xy+=的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则 Al与A相切 B当P，A，B三点共线时，|15|PQ=C当|2PB=时，PAPB D满足|PAPB=的点A有且仅有2个 H 数学试题
6、第 3 页（共 4 页）11设函数32()231f xxax=+，则 A当1a 时，()f x有一个零点 B当0a 时，0 x=是()f x的极大值点 C存在a，b使得xb=为曲线()yf x=的对称轴 D存在a使得点(1,(1)f为曲线()yf x=的对称中心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12记nS为等差数列na的前n项和，若347aa+=，2335aa+=，则10S=13已知为第一象限角，为第三象限角tan4tan+=，tan21tan=+，则sin()+=14在右图的44方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法
7、中，选中方格的4个数之和的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2sinAA+=（1）求A；（2）若2a=，2sinsin2CcB=，求ABC的周长 16（15分）已知函数3()exf xaxa=（1）当1a=时，求曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程；（2）若()f x有最小值，且极小值小于0，求a的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 H 数学试题 第 4 页（共 4 页）17（15分）如图，平面四边形ABC
8、D 中，8AB=，3CD=，35AD=，90APC=，30BAD=，点E，F满足25AAED=，12AAFB=，将AEF沿EF翻折至PEF，使得34PC=（1）证明：EFPD；（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值 18（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成。比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮三次，若三次都未投中则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮三次，每次投中得5分，未投中得零分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和 某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立（1）若0.4p=，0.5q=，加参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设0pq，点1(5,4)P在C上，k为常数，01k按照如下方式依次构造点(2,3,)nP n=：过1nP作斜率为k的直线与C的左支交于点1nQ，令nP为1nQ关于y轴的对称点，记nP的坐标为(,)nnxy（1）若12k=，求2x，2y；（2）证明：数列nnxy是公比为11kk+的等比数列；（3）设nS为+12nnnP PP+的面积，证明：对任意正整数n，1nnSS+=ABCDPEF