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1、2024 年普通高等学校招生考试新课标 II 卷 数 学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。1.已知，则A.0B.1C.D.22.已知命题；命题，则A.和 都是真命题B.和 都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题3.已知向量、满足：，且
2、，则A.B.C.D.14.某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理如下表所示。亩产900,950)950,1000)1000,1050)1050,1150)1150,1200)频数6 12 18 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是A.100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kgB.100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 40%C.100 块稻田亩产量的极差介于 200 kg 到 300 kg 之间D.100 块稻田亩产量的平均值介于 900 kg 到 1000 kg 之间5.已知曲线，从 上任意一
3、点向 轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为A.B.C.D.6.设函数，（为常数），当时，曲线和恰有一个交点，则A.B.C.D.27.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为A.B.1 C.2D.38.设函数，若，则的最小值为A.B.C.D.1二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分。每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的。全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，选错或不选得 0 分。9.对于函数和，下列正确的有A.与有相同零点B.与有相同最大值C.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同对称轴10.抛物线的准线为，为上动点，过作的一条切线，为切点。过作
4、的垂线，垂足为，则A.与相切B.当、三点共线时，C.当时，D.满足的点 有且仅有 2 个 11.设函数，则A.当时，的三个零点B.当时，是的极大值点C.存在、，使得为曲线的对称轴D.存在，使得点为曲线的对称中心三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。12.记为等差数列的前 项和，若，则_。13.已 知为 第 一 象 限 角，为 第 三 象 限 角，则_。14.在下图的 4*4 方格表中有 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是_。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1
5、4 15 16 四、解答题：本题共 5 小题，满分 87 分。解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。15.（本题满分 13 分）记的内角、的对边分别为、，已知。（1）求；（2）若，求的周长。16.（本题满分 15 分）已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程。（2）若有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围。17.（本题满分 15 分）如图，平面四边形中，点、满足，将沿对折至，使得。（1）证明：。（2）求面与面所成的二面角的正弦值。18.（本题满分 17 分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未
6、投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少投中 1 次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分。该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立。（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率。（2）假设。（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.（本题满分 17 分）已知双曲线，点在 上，为常数，按照如下公式依次构造点：过点作斜率为 的直线与 的左支点交于点，令为关于 轴的对称点，记的坐标为。（1）若，求、。（2）证明：数列是公比为的等比数列。（3）设为的面积，证明：对于任意正整数，。