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1、青年女教师中年教师40%2024届高考数学考向核心卷数学（新课标版）【满分：150分】一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。C.VxD,yD,f（砂）=x2 f(y)+l f(x)D.-1,0,1,2,3D.-5i1.己知全集U=R，集合A=xJx2-x-20,B=0,1,2，坷，则（CuA)nB=B.一1,0,1,2c.0,1,2C.5i 2.若z(l-i）斗2i，则z-z二A.0B.1A.-1,2都酷斗叶D.若方程f(x)=k有4个不同的实数根，则！k 0）的图像如图，若A,B到x轴的距离均为1，且点A 的横坐标为i
2、iI衅7 D.-12 C.1112A.土12飞，5.己知L:.A附足AB=1,AC=2,0为LBAC的平分线与边BC 的垂直平分线的交点，JAOJ子，1 1 6.己知数列（n满足1一，4一，且n仇n仇2附仇I(n 注2），若anan+I，数列队的2 8 A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同B.派遣的青年女教师的人数占派遣 人员总数的10%C.派遣的老年教师有14 4人D.派遣的青年女教师有15 人10.玻璃缸中装有2 个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2 个球记“第一次取得黑球”为A1“第一次取得白球”为Ai“第二次取得黑球”为Bi,“第三次取得白球”为Bz，则（）A.P
3、(A1B1)=P(AzB2)B.P(A1B2)=P(AzB1)C.P(B1 J A1)+P(B2 J A1)111.若函数f(x)=2x2 1n I x I的定义域为D，则下列说法正确的是A.D=(O，十）B.f(x）是偶函数D.主豆6 C.-5 3 B.-5 则ABAC二3 A.-2 j言um啊犁B 第16题图15.古希腊科学家阿基米德对几何很有研究，下面是他发现的一个定理：设 L:.ABC 的外接圆的弧ACB 的中点为D，自点D向AC,CB中较长 的边作 垂线，垂足为E，则点E平分折线AC+BC 的长如图，点 A,B,C 都在圆。：x2+yz=5 上，AB 1-y轴，且IABl=4，点 C
4、 在第一象限，点D 为圆O 与y轴正半轴的交点，且出旦.!.丘，则J BCJ一一JAC J 2 6 16.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为长方形，顶点S与底面中心0的连线与底面垂直若AB二4,AD二 8,SA二214，点M为SA 的中点，则四棱锥M-ABCD 的外接球的体积为c s x y x c.20257.己知m是方程xz+(e-1)In x=2 的一个根，贝Uee-1+(e一l)lnm=A.1B.2 C.3 D旦旦2025 前n项和为叉，则皂剧鸣、】A“丁匀q，“AAU吨，中qIMB3.己知椭圆C：三丘1(0 b 2xlnx+x2对任意的 x 0 恒成立，求证：92 m 2
5、1n 2.含含含数学（新课标版）第4页（共4页食食食数学参考答案2024届高考数学考向核心卷新课标版题号答案1 c 一、单项选择题2 c 3 D 4 B 5 c 1.c【解析】由x2-x-2 0得（x-2)(x+l)O，解得x一1或x2，所 以A（一，一I)U(2，），所 以CuA一1,2，故（巳A)nB=0,1,2故选C2.C 解析 由z(l一i)=3+2i，得z兰主(3+2i)(l+i)一i(1-i)(1+i)1 5-1 5.一十一i，则z一一1,2 22 2-1 5.(1 5.1所以 zz一十一1I一一1I 2 2 2 2 J=5i.故选C.3.D【解析】由题可得，a2=6,A（，0),
6、乓（0,-b),.ABI的中点为Ml芝，引 2 2 J:kAB1.kMB2 一1,:.AB1.lMB2 B1(0，的，一一一(a 3b飞。23b2:.AB1 MB主（a,b)I一，一一一0.2 2)2 2:.a2=3b2=6，二b2=2 椭圆C的方程为主L=1.故选D.6 2 Bi A x 4.B解析由于sin sin（）=sin（）cos叫）sinl，而cos叫）sin1 1 1 sin（）cos一一一一，因此sin（2）4 3 12 sin（）sin（）coscos（）sin土12 1 5 一一故选B.3 12 5.C【解析】设BC的中点为M,则AOBC=(AM+MO)BC=AM BC+M
7、O BC=AM-BC十石无）（去罚十万A132)=%.设BAO（），则互豆C立（AC一豆豆）主五cAOAB=2IAOI叫一IAOI叫叩 叫%，又3 2 IAOI斗二，所以cos（）宁 cos2()=2cos21=54 叩s则A13AC叫I AC I cosW；故选C6.D【解析】由题易知a.*-0，当n2时，将an+lan+6 D 7 B 8 c 9 ABO 10 11 12 BD BCD BD 引向2anI两边百涂n仇n1 1 2 n+In I an 所以土土土土，所以数列J_ 为等差 数列a I an an a _1 I an I 设其公差为d，所以土土（4-l)d，得d=2，所以a4 a
8、1 土土（n一l)d=2+2(n一1)=2n，得叫乒因 为I L.n b 1 所以b一土！（！土1 4n(n+I)4人nn+l)则皂剧!I 11-!I！I+I土一土）I,2 J,2 3 J,2024 2025 J I l(1）去，故选D7.B【解析】xex 2+(e-1)ln x=2 eln x+x 2+e 1n x+x一2=x+ln x=e1n x+ln x设f(t)=e1+t，则f（t)=e1+1 0恒成立，故f(t）单调递增，由f(elnx+x-2)=f(ln x）得 elnx+x-2=1n x,即（e-l)lnx=2-x.因为m是方程x2+(e-l)ln x=2的一个根，所以（e-l)
9、lnm=2-m，所以m=e I 2 m 所以e0-1+(e-1)ln m=m+(e一l)ln m=2，故选B.8.C【解析】因为f(x+2)=f(x+l)-f（吟，所以f(x+3)=f(x+2)-f(x+l），从而可得f(x+3)！（吟，所以f(x+6)=f（吟，所以函数f（功的一个周期为6.因为曲线y=f(2x）关于直线x=！对称，所以f(I-2x)=2/(1+2吟，所以函数f(x）的图象关于直线x=1对称因为f(1)=2,f(2)=f(1)-f(0），所以f(2)=f(0)=1,所 以（3)=-f(O)=-1,/(4)=-f(l)=-2,/(5）二-/(2)一1,/(6)=/(0)=1，所
10、 以f(l)+/(2）/(6)=0，故Lf(k)=1c1)+1c2)+.+J(5)=J(6)=k=l-1.故选c.二、多项选择题96 9.ABD【解析】因为一一0.2，所以派遣的青年男教师480 的数量占派遣 总数的20%，则派遣的青年女教师的人数占派遣 人员总数的1-30%-40%-20%=10%，则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A,B正确；派遣的老年教师 人数为1500.3=45，故C错误；派遣的青年女教师的人数为1500.1=15，故D正确故选ABD.2024届高考数学考向核心卷新课标版10.BD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率P(A1)=r
11、1 1 c1 2一子一，第一次取得白球的概率P(Az)一手一，第一c卢3 c二3 c1c1 1 次取黑球、第二次取黑球的概率P(A1B1）千千一,c 15 第一次取白球、第二次取白球的概率P(AzB2）吗c卢c;；，凤A1B1）笋Pc1c1 4 第二次取白球的概率P(AiB2）二千千二，第一次且Lc占；15 C1C1 4 取白球、第二次取黑球的概率P(AzB1)斗千一c二c;1s P(A1B2)=P(AzB1），故B正确；P(A1Bi)P(B2I Al）一一一一4且P(A1)由P(B,I A，）旦生旦丘！I I P(A1)!5 3 4 1主壁，得P(B1I A1)+P(B2I Al)=1，故C
12、错误1 5 3 4 由P(B1IAz）主坠旦1主三得P(B2I Al)+P(Bl I Ai)=-P(Az)-主-5 3 l，故D正确故选BD.11.BCD【解析】对于A，由对数函数可知lxfO，得x-:t=O，所以函数J(x）的定义域D（一，O)U(O,+=),故A错误；对于B，因为函数J(x）的定义域关于原点对称，f(-x)=2(-x)2 ln 1-x I=2x2 ln Ix I=f（吟，所以f(x）是偶函数，故B正确；对于C，因为f（砂）2（砂)21n I砂I=2x2y2(ln Ix I+In I y I)x2 f(y)+y2 f(x)=x2(2/ln I y I)+y2(2x2 ln I
13、x I)=2x2/(ln Ix I+ln I y I),故C正确；对于D，因为f(x）是偶函数，所以只需要讨论xE(0，）时函数（功的情况即可，当x（0,+=)时，f(x)=2x2 lnx，所 以f。）2x(2Inx+l），令2。）0，解得x=e2，易知当x（O,e 2）时，f）0,f(x）单调递减，当 x（e 2,）时，）0f(x）单调递增，所以f(x）的最小值为f(e）！，且x时，f(x）作出f(x）的大致图象和直线y=k如图，若方程f(x)=k有4个不同的实数根，则f(x）的图象与直线y=k有4个不同的交点，所以k的取值范围为（：。），故D正确故选BCD.y x 12.BD【解析】对于A
14、，显然直线l的斜率存在，设为k,则直线l的方程为y=kx+l，将其代人王：i_=l，得-4 8 2x2一（kx+l)2=8，即（2-k2)x2-2kx-9=0，因为直线l2-k2手。与双曲线交于不同的两点，所以句句l L1=4e+36(2-kL)0得iki且k-:t=Ji，故直线l的斜率不可能是2 2 2，故A错误；对于B，设B(xi,Yi),C（码，Yi），则2k-9 几 x,一?x,x,一?，所以主L工主一?,L 2-kL.且L2-kL2 2-kL 2k2 y1+y2=kx1+l+kx2+l=k(x1+x2)+2 一一2一一2-kL 2-e!V牛”2(k 2,.所一一一主一一，所以El一一
15、一，若直线2 2-kL 2-kL 2-kL j”2 EM 的斜率凡立二主一之一一2，得k2+k-KM k,k2+k-2 2-k2-3=0，当iki且k-:t=Ji时，方程k2+k-3=02 2 有解，故B正确；对于C，若 D.BCM是直角三角形，则数形结合可知只能是LBMC，则k,.,.k,.,.,=-1:.-1.L=(kxl+1)（战1)JJM C:M X1-l X2一1(x1一1)(X2一1)-9k2 2k2 _白山k(x1+x2)+l +lX内（引x2)+1二巳一三12-k2 2-k2A-9k2+2k2+2-k2 8k2-2-9-2k+2-k2-k2+2k+7-,即9k2+2k+5=0，
16、显然该方程无实数根，故C错误；2k、对于D，当k,.,k一一一1时，k2+3k-2=0,kL+k-2 当ikO,nO,tO），则s2+t2=5，(s-2)2+(t+1)2 5 r 句句一联立，解得（另(s+2)+(t+l)9l 一组解不合题意，已舍去），所以IBCI=（1-2)2+(2+1)2=M16.28511t【解析】如图，取so的中点N，连接MN,AO.因为M为SA的中点，所以MNI/AO，且阳AO因为肌底面ABCD,AOc 底面ABCD，所以SO_I_AO，所以MN_I_SO.由题意得AO=i仅川D2认所以SO）否可歹6MN=J_AO=Js ON=2 iso=3设四棱锥M-ABCD的外
17、接球的球心为P,半径为R，则点P在直线so上连接MP,AP.设NP=h,则OP=l3-hl.在Rtl:,.MNP和阳L:,.QPA中，NP2+MN2=PM2,OP2+OA2=AP2,r h2+(Js)2=R2 所以解得ll3-hl2+(2Js)2=R2 R而数学参考答案所以四棱锥MABCD的外接球体积V于R3=28511t 四、解答题s A B 17.(1)sin C 子（2)1c【解析】（1）因为A+B+C=l80。，A=3(B+C),所以A=135。由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB AC cos 135。4十2-22J2一豆1=10，所以BC=M（负值I 2 J 己舍去）AB B
18、C 法一：在.！：，.ABC中，由正弦定理得？一7，即土豆豆所sin C二至sin C2 5 2 sm c sm A 法二：在.！：，.ABC中，由 余 弦 定 理 得cosC=BC2+AC2-AB2 10十2-42Js2BCAC-2.Jwxh-s 又0。C附(2）由SL,ABC=SL,ABD+S得J_AB AC sin LBAC=J_ AB AD sin LBAD+J_ AC2 ADsinL三DAC,目pJ.x2J2sin 135。J.2ADsin 90十1J22 AD sin 45。，即l=AD十D，所以AD=%1 1 2 c 故L:,.ACD的面积S=-ADACsinLCAD 一一.22
19、 2 3 sin45。！.3 18.(1)en=2n 1+1(2)Sn=(2n-3)2n+3+n2【解析】（1）由题意，得2，1anan+I nI 目PaI=2n+lbn一na肝Ib b 两边同时除以啊i+l（汁。），得去2-:-1,即Cn+I=2cn一1 所以Cn+I一1=2(en一1)3 2024届高考数学考向核心卷新课标版又C1一1主1=1,1 故en一1是以 1为首项，2为公比的等比 数列，所以Cn-1=2n I 故en的通项 公式为en=2n飞1(2）由（1）知，bn ncn=(2n 1)(2-1+1)=(2n 1)2-1+(2n 1).设T,=2+3i+522(2n-3)2 2+(
20、2n一1)21，则2T,=i+322+523（2n-3)21+(2n一1)2.一得一1+22+23十2一（2n-1)2=1+4(1-2-1)一一一一一（2n一1)2=(3-2n)2-3,1-2所以T,=(2n-3)2+3.。2n一1)设Rn=l+3+5(2n-3)+(2n一1)=2=n 所以SnRn=(2n-3)2+3+n2.19.(1）证明见解析(2）子4 解析】（1)：四边形ABCD中ADI/BC,AB=1,AD=2,BC=3，ABC一，M为AD的 中 点，2 且MN/AB,四边形ABNM为 正方形，且边长为1,题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故ND=Ji,又FN=l,FD=J
21、3,:.FN2+ND2=FD2,:.FN 1-ND.又FN 1-MN,MNnND=N,MNc平 面MDCN,ND C平面MDCN,:.FN i平面MDCN.:CD C平面MDCN，二FN 1-CD.易知CD=Ji,:.CD2+ND2=NC2,:.CD1-ND.又FN门ND=N,FN C平面FND,ND C平面FND,:.CD 1-平面FND.(2）法一：由（1）知FN1-平 面MDCN，又MN 1-CN,故可以N为坐标原点，NM,NC,NF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角 坐标系，如图所示，E 则N川），F川）,D(l,1,0），巾，1J,.NF川ND川市（矶1,1)设平面FND的法向量
22、为m=(Xp YP Z1)lmNF=z,=0,则一Il m ND=x1+Yi=0,故Z1=0，令X1=l，则Yi=-1,:.m=(1,-1,0)设平面PND的法向量为n的，元，Z2),In ND=x2+y2=0,则一1lnNP=y2 护0,令Y2=1，贝Ux2=-1,z2=-2,:.n=(-1,1,-2).二cos俑，n)=.！：生生lmllnl 1（一l）（一1）l+O（2)J3 J12十（一1)2十02Jc一1)2+I2+(-2)23 I(J312 J6 m俑，n)=/1 了了二面角F-ND-P的正弦值为手法二：如图，取NC的中点0，连接PO,则PO/FN,:.PO 1-平面MDCN.ND
23、 C平面MDCN，二P01-ND.过0作OH 1-ND，垂足为H，连接PH，则PHO就是二面角P-ND-C的平面角E 又PO=l_月I_,OH=l_CD豆，2 2 2 2.cosLPHO亟3:FN上平面MDCN,FN C平面FND,二平面FND_l_平面MDCN,二面角F-ND-P的正弦值为子.PH主2 20.(1)22列联表见解析；复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01(2)X的分布列见解析，数学期望为主.10【解析】（1）由题意完成22列联表 如下：数学成绩不优秀数学成绩优秀A校20 80 B校40 60 总计60 140 苓假设为Ho：复习教学法与评定结果无关，总计1
24、00 100 200 200（2060 4080)2贝tlz2=目9.524 6.635=X0.0160140100100 根据小概率值0.01的独立性检验，推断H。不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的 概率不大于0.01.(2）按分层抽样的方 法从成绩在0,90）和90,110）内的学生中随机抽取10人，则成绩在0,90）内的人数为3，成绩在90,110）内的人数为7,故X的 所有 可能取值为0,1,2,3,（丁？c7 c丁c21 P(X=O）-:;-1-一，P(X=1)泸一，P(X=c：。24c:o40 cc 7 c于c1）泸一，P(X=3）廿一：o40 c：。120故X
25、的分布列为I x I o2 21 7 3 I pI i120 阳）咛lxo咔3古占21.(1)x2=By(2）证明见解析解析】（1）法一：设点P的坐标为（x,y），因为点F(0,2）在y轴正半轴上，所以当点M位于x轴上或其下方时，点M到x轴的距离小于IMFI，不满足题意，所以点M位于x轴上方 由题意可知，IMFI主工2，则IPFI=2 IMFI=y+2,2 所以点P到点F(0,2）的距离等于点P到直线y=-2的距离，则点P的轨迹为以F为焦点，直线y=-2为准线 的 抛物线设抛物线 方程为x2=2py(p 0），则p=4，故曲线E的方程为x2=By.法二：设点P的坐胁。，凡则M(i午），因为点M
26、到x轴的距离等于IMFI,ly+21/(x/(y+2 12 ly+21 所以IMFl=l21，即州十lT21=121化简得x2彤，故曲线E的方程为x2=By.(2）由题意知，直线AB与CD的斜率均存在且均不为0，不妨设直线AB的方程为y=kx+2(k:;t 0），则直线CD的方程为y=-kx十2设A(xi,Yi),B（鸟，只）,C(x3，只）D（剖，几），由y缸2,2 2 得x2-8k16=0,x y,贝tlX1+X2=Bk X1 X2=16 以k代替k可得，与X4=-Bk,X3X4 一16,所以X1+X2十X3十几0.数学参考答案由题意知 直线AD,BC的斜率均存在且均不为0,设直线AD的方
27、程为y=k1x鸟，直线BC的方程为y=k2x+b2由（川b,2?n l得x2-8k1x-8b1=0,x y,贝Ux1+X4=8战，X内8b1,同理可得，X2+x3=8屯，X2X3=-8b2.由X1+X2+x3+X4=0及X1X2=16,x3x4=16，得X116 16 _一一一一一x4=UX1 X4 整理得（x1叫1去J=o,由点A,C位于直线y=2的下方可知，点B,D位于直线y=2的上方，.,16 16 所以x,+xd手0，则1一一一0，即l一一一0,且咛X内-8鸟所以bl=-2,因此直线AD过定点（0，一2).同理得h2=-2，所以直线BC过定点（0,-2).所以直线AD与BC交于定点（0
28、,-2).22.(1）当m0时，只x）有2个零点；当0me时，f(x）有1个零点(2）证明见解析【解析】（1）由f(x）川ex！卡闷得f（x)=xex+l _mx=x(ex+l-m)当m=O时，f(x)=(x一l)ex+l，恰有1个零点当mO，由（x)0可得xO,:.f(x）在（oo,O）上单调递减，在（O,+oo）上单调递增，:.f(x）的最小值为f(O)=-eO.XJ(l)故f(x）有2个零点当Ome时，由f）0可得x0.由f）0可得 lnm-lxO,:.f(x）在（一oo,lnm一1),(O,+oo）上单 调 递 增，在(lnm一1,0）上单调递减，:.f（功的极小值为f(O)=-e 0
29、,极大值为f(lnm-1)=(lnm-2)m卡(lnm-1)20,又当x时，f(x）oo,:.f(x）有1个零点如e时，州）l)ex+l卡2f（x)=x(ex+l（ex-1）判，:.f(x）单调递增.！（1e0,:.f(x）有1个零点综上，当m 2xlnx+x2可得X(ex+I-m)2X n X+X2,RPm0,故g(x）存在唯一的零的。，且叫：，1),的（刊）=exo+l当x（O,x0）日才，g。）0,:.g(x）在（O,x0）上单调递减，在（Xo，）上单调递增，故g(x）的最小值为g(x0)=e附1-2lnx0-x0 三2ln x0-x0+1,由条件知只需m -2 ln x0-x0+1,Xo 1 1 9 而一21nx0-X0+1 4-2ln一一一l一21n2,Xov 2 2 2:.m全2ln2.2 Xo