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1、第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形15.3 15.3 等腰三角形等腰三角形第第2 2课时课时 等腰三角形等腰三角形 的判定的判定1课堂堂讲解解u等腰三角形的判定等腰三角形的判定 u等腰三角形的判定和性质等腰三角形的判定和性质2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知知识点点等腰三角形的判定等腰三角形的判定 思考思考 “等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等”的逆命题的逆命题 是真命题吗？请与你的同学研究讨论后是真命题吗？请与你的同学研究讨论后 作出判断作出判断.知知1 1导导知知1 1讲讲1.定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三
2、角形有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称简称“等角对等边等角对等边”)应用格式：在应用格式：在ABC中，中，BC,ABAC.2等腰三角形的判定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在一个三角形中；相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角区别：判定是由角到边，性质是由边到角 即：等边即：等边 等角等角（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲 导引：导引：要说明要说明ABC为等腰三角形，由图可知只要说明为等腰三角形，由图可知只要说明 BC即可，而即可，而B，C分别在两个直角三角分别在两个直角三角 形中，因此只要说明形中，因此只要说明B，C的余角的余角BQP，
3、R相等即可相等即可 例例1 如图，在如图，在ABC中，中，P是是BC边上一点，过点边上一点，过点P作作 BC的垂线，交的垂线，交AB于点于点Q，交，交CA的延长线于点的延长线于点R，若若AQAR，则，则ABC是等腰三角形吗？请说明是等腰三角形吗？请说明 理由理由知知1 1讲讲解：解：ABC是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又又BQPAQR，RBQP.在在RtQPB和和RtRPC中，中，BBQP90，CR90，BC,ABAC.（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本题运用了本题运用了转化思想转化思想，将要说，将要说明的两相等角利用等角的余角相
4、等明的两相等角利用等角的余角相等转化为说明其余角相等；对顶角这转化为说明其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用起了关键的桥梁作用 知知1 1讲讲导引：导引：要证要证DEBDAE，而由图知，而由图知DEDPPE.因此因此 只需证只需证BDAEDPPE即可即需证即可即需证BDDP，AEPE，而要证这两组边相等，只需证明它们所，而要证这两组边相等，只需证明它们所 对的角相等，因此我们可以把证角相等作为切入口对的角相等，因此我们可以把证角相等作为切入口 进行证明进行证明 例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ABC，CAB的平分线交的平分线交
5、 于点于点P，过点，过点P作作DEAB，分别交，分别交BC，AC于点于点 D，E.求证：求证：DEBDAE.知知1 1讲讲证明：证明：DEAB，ABPDPB,BAPEPA.ABC，CAB的平分线交于点的平分线交于点P，ABPDBP,BAPEAP，DBPDPB,EAPEPA，DPDB，EPAE，DPEPDBAE，即，即DEBDAE.（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义证本题运用平行线性质以及角平分线的定义证 明明角角之间的之间的相等相等关系，进而运用等腰三角形关系，进而运用等腰三角形 的判定得出线段之间的长度关系，这是证几的判定
6、得出线段之间的长度关系，这是证几 何题常用的方法何题常用的方法(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的如图中角的一边与角的平分线及角另一边的 平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是 一个基本的图形，在以后学习平行四边形时一个基本的图形，在以后学习平行四边形时 会经常遇到会经常遇到1 已知：如图，已知：如图，AB与与CD交于点交于点P，CP=PD，A=42，CPB=138，B=69.求证求证:AC=PB.2 在在ABC中，中，A和和B的度数的度数 如下，能判定如下，能判定ABC是等腰三角是等腰三角 形的是形的是()AA50，B70 BA70，B40 CA
7、30，B90 DA80，B60知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）（来自教材）（来自教材）知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 如图，如图，BC36，ADEAED 72，则图中的等腰三角形有，则图中的等腰三角形有()A3个个 B4个个 C5个个 D6个个4 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BD是是AC边上边上 的高，的高，CE是是AB边上的高，它们相交于点边上的高，它们相交于点O，则图中除则图中除ABC外一定是等腰三角形外一定是等腰三角形 的是的是()AABD BACE COBC DOCD知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）5 如图所示，已知如图所示，已知ACBC，BDAD，
8、AC与与BD交于点交于点O，ACBD.求证：求证：(1)BCAD；(2)OAB是等腰三角形是等腰三角形2知知识点点等腰三角形的判定和性质等腰三角形的判定和性质知知2 2讲讲拓展：拓展：根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形理可知，由等腰三角形“三线合一三线合一”的性质的逆命题可得的性质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法：出等腰三角形的三个判定方法：(1)当三角形一边上的中线和高线重合时，利用线段垂直当三角形一边上的中线和高线重合时，利用线段垂直 平分线的性质，可以判定这个三角形为等腰三角形；平分线的性质，可以判定这个三角形为
9、等腰三角形；(2)当三角形一边上的中线和对角的平分线重合时，将中当三角形一边上的中线和对角的平分线重合时，将中 线倍长，利用三角形全等可以判定这个三角形为等腰线倍长，利用三角形全等可以判定这个三角形为等腰 三角形；三角形；(3)当三角形一边上的高线和对角的平分线重合时，直接当三角形一边上的高线和对角的平分线重合时，直接 利用三角形全等可判定这个三角形为等腰三角形利用三角形全等可判定这个三角形为等腰三角形（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲导引：导引：要证要证DEDF，可构造以，可构造以DE和和DF为对应边的全等三为对应边的全等三 角形，不妨过点角形，不妨过点E作作EGAC交交BC于点于点G，则
10、只要证，则只要证 明明EDGFDC即可，缺少的条件可运用等腰三角即可，缺少的条件可运用等腰三角 形的性质及判定得出形的性质及判定得出 例例3 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，EF交交AB于点于点E，交，交 AC的延长线于点的延长线于点F，交，交BC于点于点D，且，且BECF.求证：求证：DEDF.知知2 2讲讲证明：证明：过点过点E作作EGAC交交BC于点于点G，如图，如图，则则1F，23.ABAC，B3(等边对等角等边对等角)B2.BEEG(等角对等边等角对等边)又又BECF，EGCF.在在EDG和和FDC中，中，EDGFDC(AAS)DEDF.（来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲
11、讲（来自（来自点拨点拨）证明线段证明线段(或角或角)相等，以其中一边相等，以其中一边(或角或角)所所在在三三角角形形作作为为“基基础础三三角角形形”在在另另一一边边(或或角角)上上作作与其全等的三角形是常用的作辅助线的方法；与其全等的三角形是常用的作辅助线的方法；如本例是以如本例是以DF所在的所在的DFC为为“基础三角形基础三角形”，以以DE为边作与为边作与DFC全等的全等的DEG；若以；若以DE所在的所在的DEB为为“基础三角形基础三角形”，以，以DF为边作与为边作与DEB全等的全等的DFG该怎么作呢？请读者试该怎么作呢？请读者试一试一试知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1 (中考中考
12、泰安泰安)如图，如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAC，垂足为，垂足为E，BFAC交交ED的延长线的延长线 于点于点F，若，若BC恰好平分恰好平分ABF，AE2BF.给给 出下列结论：出下列结论：DEDF；DBDC；ADBC；AC3BF，其中正确的结论共有其中正确的结论共有()A4个个 B3个个 C2个个 D1个个知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 如图，在如图，在ABC中，中，ABC和和ACB 的平分线交于点的平分线交于点E，过点，过点E作作MNBC 交交AB于于M，交，交AC于于N，若，若BMCN9，则线段，则线段MN 的长为的长为()A6 B7 C8 D93 在下列
13、三角形中，若在下列三角形中，若ABAC，则不能被一条直线分，则不能被一条直线分 成两个小等腰三角形的是成两个小等腰三角形的是()等腰三角形的三种判定方法：等腰三角形的三种判定方法：(1)当三角形有两条边相等时，应用当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三有两条边相等的三 角形是等腰三角形角形是等腰三角形”来证明来证明(2)当三角形中有两个角相等时，应用当三角形中有两个角相等时，应用“有两个角相等的有两个角相等的 三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形”来证明来证明(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形 时，应用时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等相等”来证明来证明（来自（来自典中点典中点）