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1、2024年四月高三数学每周好题精选（第一周）四月数学每周好题精选（第一周）1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（单位：百件）( )x2025303540y578911A.12B.12.5C.13D.11.752.函数的定义域为( )A.B.C.D.3.已知点O为所在平面内一点，在中，满足，则
2、点O为该三角形的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心4.战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm，底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为( )A.B.C.D.5.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为( )A.B.C.8D.66.已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点A，B在x轴下方），且，则的最小值为( )A.B.C.D.7.已知函数，则下列说法正确的是( )A.的最小正
3、周期是B.值域是C.直线是函数图像的一条对称轴D.的递减区间是，8.已知函数有两个不同的极值点，则下列说法不正确的是( )A.a的取值范围是B.是极小值点C.当时，D.9.（多选）函数，则( )A.在内有零点B.在内有零点C.在内有零点D.在内有零点10.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )A.B.若，则C.D.若，且，则为等边三角形11.（多选）已知等差数列的前n项和为，则( )A.B.的前n项和中最小C.使时n的最大值为9D.数列的前10项和为12.（多选）设z为非零复数，则下列命题中正确的是( )A.B.C.D.若，则的最大值为213.从甲、乙等
4、6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为_.14.如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的最大值为_.15.函数的值域为_.16.已知数列的前n项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.17.已知双曲线的离心率为，右焦点为.（1）求双曲线C的标准方程.（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得.为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.18.如图， 四棱锥中，底面AB
5、CD为矩形，平面ABCD，点E在线段PD上.(1)若E为PD的中点， 证明：平面AEC；(2)若，若二面角的大小为，试求的值.答案以及解析1.答案：D解析：因为，所以回归直线过点，故，即，所以.将代入中，得.故选D.2.答案：B解析：要使得函数有意义，则，即，解得所以函数的定义域为.故选：B3.答案：B解析：根据题意，即，所以，可得向量在向量上的投影为的一半，可分析出点O在边AB的中垂线上，同理可得，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心.故选B.4.答案：A解析：由题意，铜镞的直观图如图所示，三棱锥的体积，因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，所以圆柱的底面圆的半径，所以圆
6、柱的体积所以此铜镞的体积为故选：A.5.答案：B解析：设，则，的几何意义为点到两定点与的距离之和，设点关于x轴的对称点为，则的坐标为，要求的最小值，可转化为求的最小值，利用对称思想可知：，即的最小值为，也即的最小值为.6.答案：D解析：如图，易得直线的方程为 ， 由 得，则，当且仅当，即时等号成立.故选：D.7.答案：D解析：函数所以函数的最小正周期，所以选项A错误；由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；当时，不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.令，可得，的递减区间是，所以选项D正确.故选：D.8.答案：A解析：令，由题意方程在上有两根，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当时，
7、当时，所以a的取值范围是，故A符合题意；由A选项分析可知，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是极小值点，故BC不符合题意；对于D，因为，所以，故D不符合题意.故选：A.9.答案：AC解析：作出函数和的图象，如图所示，由图象可知：最多有两个零点，因为，所以，由零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.故选：AC.10.答案：ACD解析：A：由，根据等比的性质有，正确；B：当，时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如图，是单位向量，则，即、，则且AG平分，的夹角为，易知为等边三角形，正确.故选：ACD.11.答案：BCD解析：设等差数列的首项为，公差为d，所以，解
8、得，所以，对于A：，故错误；对于B：，由二次函数的性质可知，故正确；对于C：令，解得，所以n的最大值为9，故正确；对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以的前10项和为，故正确；故选：BCD.12.答案：BD解析：对于A，设，当a，b均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误；对于B，设，则，所以，而，所以成立，故B正确；对于C，设，又，所以，故C错误.对于D，则复数z对应的点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，的几何意义为复数z对应的点P与两点间的距离，所以，如图可知，当点P为时，最大，取最大值，最大值为2，故D正确.故选BD.13.答案：或0.6解析：6名专家随机选取2人的
9、情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为.故答案为：.14.答案：45解析：由题得圆，设圆心，半径，.若圆心到直线AC，BD的距离为，则，且，而，所以，令，则，令，即时，四边形面积的最大值为45.15.答案：或解析：当时，在上单调递减，所以；当时，在上单调递减，所以；所以函数的值域为，故答案为：16.答案：（1）（2）解析：（1）当时，解得.当时，两式相减得，即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故.又，故.（2）因为，所以，-得.所以.不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立.令，单调递减，所以实数的取值范围为.17.答案：（1）（2）解析：（1）由题意可得，解得则双曲线C的标准方程为.（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，联立整理得，则，.因为，所以.将，代入上式，得.若为定值，则，解得，故存在点，使得为定值.18.答案：(1)证明见解析(2)2解析：（1）证明：连接交于，连接，因为四边形ABCD为矩形，为的中点，又因为为的中点，则，因为，因此，.（2）由题设，四边形为矩形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以，则、，设，其中，则，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由题可得，因为，解得，此时.