《思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用（新高考通用）解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用（新高考通用）解析版.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1思维拓展 柯西不等式与权方和不等式思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲精讲+精练精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、柯西不等式一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(2)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(3)(a+b)(c+d)(ac+bd)2(a,b,c,d0,当且仅当ad=bc时，等号成立.)3.扩展：a21+a
2、22+a23+a2nb21+b22+b23+b2n(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2，当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a2+b2+c2，并不是不等式的形状，但变成13 12+12+12 a2+b2+c2就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式二、权方和不等式权方和不等式：权方和不等式：若a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明1：a,b,x,y0要证a2x+b2y(a+b)2x+y只需证ya2+xb2xy(a+b)2x+y即证xya2+y2a2+x2b2+xyb2
3、xya2+2xyab+xyb2故只要证y2a2+x2b22xyab(yaxb)20当且仅当yaxb=0时，等号成立即a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a2x+b2y(x+y)(a+b)2在a,b,x,y0时，就有了a2x+b2y(a+b)2x+y当ax=by时，等号成立推广1：a2x+b2y+c2z(a+b+c)2x+y+z,当ax=by=cz时，等号成立2推广:2：若ai0,bi0，则a21b1+a22b2+a2nbn(a1+a2+an)2b1+b2+bn，当ai=bi时，等号成立.推广3：若ai0,bi0,m0，则am+11bm
4、1+am+12bm2+am+1nbmn(a1+a2+an)m+1b1+b2+bnm，当ai=bi时，等号成立.二、题型精讲精练二、题型精讲精练1 1实数x、y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是.解：x2+y212+12 x+y2，则8 x+y2所以x+y2 2，当且仅当x=y=2 时等号成立.答案：2 22 2设x,y,zR，且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立，证明：a-3或a-1.【分析】(1)根据条件x+y+z=1，和柯西不等式得到(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243，再讨论x,y
5、,z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2(12+12+12)(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x+y+z+1)2=4故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243等号成立当且仅当 x-1=y+1=z+1 而又因 x+y+z=1，解得x=53y=-13z=-13时等号成立，所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)因为(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213，所以(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(12+12+12)1
6、.根据柯西不等式等号成立条件，当x-2=y-1=z-a，即x=2-a+23y=1-a+23z=a-a+23时有(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(12+12+12)=(x-2+y-1+z-a)2=(a+2)2成立.所以(a+2)21成立，所以有a-3或a-1.3 3已知a1,b12，且2a+b=3，则1a-1+12b-1的最小值为()3A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a+b=3，所以4a+2b=6由权方和不等式a2x+b2y(a+b)2x+y可得1a-1+12b-1=44a-4+12b-1=224a-4+122b-12+124a-4+2b-1=9当且仅当24a-4=12b-1，
7、即a=76,b=23时，等号成立【答案】C C【题型训练题型训练-刷模拟刷模拟】1.1.柯西不等式柯西不等式一、单选题一、单选题4(2024全国模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1,a2,a3和b1,b2,b3，有a21+a22+a23b21+b22+b23 a1b1+a2b2+a3b32等号成立当且仅当a1b1=a2b2=a3b3已知x2+y2+z2=14，请你用柯西不等式，求
8、出x+2y+3z的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得 x+2y+3z2 x2+y2+z212+22+32=1414=196，所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1,y=2,z=3时取等号.故选：A5(23-24高二下山东烟台阶段练习)已知空间向量OA=1,12,0,OB=1,2,0,OC=0,1,12，OP=xOA+yOB+zOC，且x+2y+z=2，则 OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP=xOA+yOB+zOC，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因
9、为OP=xOA+yOB+zOC=x 1,12,0+y 1,2,0+z 0,1,12=x+y,12x+2y+z,12z，所以 OP 2=x+y2+12x+2y+z2+12z24=13x+y2+12x+2y+z2+12z21+1+113x+y+12x+2y+z+12z2=1332x+3y+32z2=34x+2y+z2=3，当且仅当x+y=12x+2y+z=12z时等号成立，即x=2,y=-1,z=2时等号成立.所以 OP 3，所以 OP 的最小值为3.故选：B二、填空题二、填空题6(2024山西二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西
10、不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，由 ab ab得到 x1x2+y1y22 x21+y21x22+y22，当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a0，b0，a+b=9，则2a+4+b+1 的最大值为.【答案】6【分析】令x1=2,y1=1,x2=a+2,y2=b+1，代入公式即可得解.【详解】令x1=2,y1=1,x2=a+2,y2=b+1，又a0，b0，a+b=9，所以2a+4+b+12 2+1a+2+b+1=312=36，所以2a+4+b+1 6，当且仅当2 b+1=a+2，即a=6,b=3时取等号，所以2a+4+b+1 的最大值为
11、6.故答案为：67(22-23高二下浙江阶段练习)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则 x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】a+3b+6c=1612+32+62a2+b2+c2=4 a2+b2+c2a2+b2+c24,当且仅当a1=b3=c6时等号成立，即a=1,b=3,c=6，x-a2+y-b2+z-c2=1-2 xa+by+cz+a2+b2+c21-2 x2+y2+z2a2+b2+c2+a2+b2+c2=1-2 a2+b2+c2+a2+b2+c2=a2+b2+c2-129，当且仅当ax=by=cz时等号成立，可取x=
12、14,y=34,z=64故答案为：98(22-23高一全国课堂例题)若不等式x+y k 5x+y 对任意正实数x，y都成立，则实数k5的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x+y=x215+y21x+y15+1，整理得x+y5x+y305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上河北衡水期末)若C：x-a2+y-b2=1，D：x-62+y-82=4，M，N分别为C，D上一动点，MN最小值为4，则3a+4b取值范围为【答案】15,85【分析】先根据 MN的最小值求出
13、CD=7，即 a-62+b-82=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于 MN最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离 CD=4+1+2=7，即 a-62+b-82=49，由柯西不等式得：a-62+b-82 32+42 3 a-6+4 b-82，当且仅当a-63=b-84，即a=515,b=685时，等号成立，即 3a+4b-5022549，解得：153a+4b85.故答案为：15,8510已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，则1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b的最小值是【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【
14、详解】由题意可知，1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b=133 a+b+c+d1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b=13a+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b(1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b)131+1+1+12=163，当且仅当a=b=c=d=14时取“=”号6所以原式的最小值为163故答案为：163.三、解答题三、解答题11(2024四川南充三模)若a，b均为正实数，且满足a2+b2=2.(1)求2a+3b的最大值；(2)求证：4 a3+b3a+b92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解
15、；(2)由分析法转化为求证44+2ab-2a2b292，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a2+b222+32 2a+3b2，即 2a+3b226，故2a+3b26，当且仅当3a=2ba2+b2=2，即a=2 2613b=3 2613 时取得等号，所以2a+3b的最大值为26.(2)要证：4 a3+b3a+b92，只需证：4a4+b4+ab a2+b292，只需证：4 a2+b22+ab a2+b2-2a2b292，即证：44+2ab-2a2b292，由a，b均为正实数，且满足a2+b2=2可得2=a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立，即00，1-b0，1-c0，所以
16、a21-a+1-a42a21-a1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4b，c21-c+1-c4c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c 0,+，所以1-a0，1-b0，1-c0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c121-a a1-a+1-b b1-b+1-c c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立2.2.权方和不等式权方和不等式一、填空题一、填空题
17、14已知x-1，y0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为【答案】92【分析】由x-1知：x+10，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b+4b=1a-2b+123b1+122a-2b+3b=14+4 6(等号成立条件，略).15已知x0，y0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是【答案】14【解析】x2x+2+y2y+1x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立916已知a0，b0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是【答案】12+2【解析】1=2
18、a+2+1a+2b2+122a+2b+2当2a+2=1a+2b，即a=2,b=12时，等号成立，a+bmin=12+217(23-24高一上辽宁沈阳阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数 f x=2x+91-2x0 x12的最小值【答案】25【分析】由 f x=2x+91-2x=42x+91-2x，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0 x0，由权方和不等式可得 f x=2x+91-2x=42x+91-2x2+322x+1-2x=
19、25，当且仅当22x=31-2x，即x=15时取等号，所以函数 f x=2x+91-2x0 x1,b1，则a2b-1+b2a-1的最小值是【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a+b-2=t0，则a2b-1+b2a-1a+b2a+b-2=t+22t=t+4t+42 4+4=8，11当a+b-2=2ab-1=ba-1 时，即a=2,b=2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8故答案为：823(2023高三全国专题练习)已知实数x，y满足xy0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所
20、求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：a0,b0,x0,y0,有a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号.证明：利用柯西不等式：m,n,x,y0,(m2+n2)(x2+y2)(mx+ny)2，当且仅当mx=ny时取等号，要证a2x+b2y(a+b)2x+y,只须证(x+y)a2x+b2y(a+b)2，因a0,b0,x0,y0,则(x+y)a2x+b2y=(x)2+(y)2ax2+by2x ax+y by2=(a+b)2,当且仅当xax=yby时，即ax=by时取等号.不妨令m(x+2y)+(2x-y)=n(x+y),整理得(m+2
21、)x+(2m-1)y=nx+ny，则m+2=n2m-1=n,解得m=3n=5,则M=3x+2y+12x-y=93x+6y+12x-y=93x+6y+12x-y=323x+6y+122x-y(3+1)25(x+y)=85，当且仅当33x+6y=12x-y时等式成立，由33x+6y=12x-yx+y=2 解得：x=32y=12，即当x=32,y=12时，M=3x+2y+12x-y的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三全国专题练习)已知x,y0,1x+2 2y=1，则x2+y2的最小值是【答案】3 3【分析】利用权方和不等式求解最值即可.12【详解】由题意得，1=1x+2 2y=132x
22、212+232y2121+232x2+y212=3 3x2+y2(权方和的一般形式为：am+11bm1+am+12bm2+am+13bm3+am+1nbmna1+a2+a3+anm+1b1+b2+b3+bnm,ai0,bi0,当且仅当ai=bi时等号成立)当1x2=2y21x+2 2y=1，即x=3,y=3 2 时，x2+y2取得最小值3 3故答案为：3 325(2023高三全国专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求
23、最小值，先来证明权方和不等式，即：a0,b0,x0,y0,有a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号.证明：利用柯西不等式：m,n,x,y0,(m2+n2)(x2+y2)(mx+ny)2，当且仅当mx=ny时取等号，要证a2x+b2y(a+b)2x+y,只须证(x+y)a2x+b2y(a+b)2，因a0,b0,x0,y0,则(x+y)a2x+b2y=(x)2+(y)2ax2+by2x ax+y by2=(a+b)2,当且仅当xax=yby时，即ax=by时取等号.故由42x2+x+9y2+y=424 2x2+x+929 y2+y=42x28+4x+92y29+9y4x+9y24x+9y+17=118当且仅当4x8+4x=9y9+9y时取等号.由4x+9y=14x8+4x=9y9+9y,解得：x=172y=17，即当x=172,y=17时，42x2+x+9y2+y的最小值为118.故答案为：118.