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1、第3讲利用导数研究函数的最(极)值考试要求1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求知 识 梳 理1函数的极值若在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有 ，则称函数yf(x)在点xx0处取得极大值，记作 ；若在x0附近的所有点x，都有 ，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作 f(x)f(x0)y极小值f(x0)2求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的
2、符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点3函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有 ，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax ；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有 ，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin f(x)f(x0)f(x0)f(x)f(x0)f(x0)4求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间a，b上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x
3、)在区间a，b上的最大值与最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的必要条件答案(1)(2)(3)(4)2(选修22P34习题8改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0
4、)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案2考点一用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一根据函数图象判断极值【例11】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论：函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)其中一定成立的是_(填序号)解析由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此时f(x)2时，1x0，
5、由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同应注意，导数
6、为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.【训练1】设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围考点二利用导数求函数的最值【例2】(2017徐州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,
7、1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)
8、，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值考点三利用导数研究生活中的优化问题【例3】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大规律方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果
9、应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同4若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 易错防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.