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1、第1讲概率与统计的基本问题高考定位1.对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题，属于简单题；2.对于排列组合、古典概型、几何概型的考查也会以选择或填空的形式命题，属于中档以下题目.真真 题题 感感 悟悟1.(2016山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B
2、.60 C.120 D.140解析设所求人数为N，则N2.5(0.160.080.04)200140，故选D.答案D2.(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()解析如图所示，画出时间轴：答案B3.(2015福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12
3、.2万元答案B4.(2015山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B考考 点点 整整 合合1.统计y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn2.计数原理3.概率热点一统计与统计案例 微题型1用样本估计总体【例11】(1)空气污染指数划分为050(优)，51100(良)，101150(轻度污染)，151200(中度污染)，201300(重度污染)
4、和大于300(严重污染)六档，对应于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显.下面图表统计了北京市2016年元旦前后两周(20151224至20160106)实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为_.(2)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图).则这100名学生成绩的平均数，中位数分别为_.解析(1)将图表1所有数据从小到大排列：105，107，117，190，241，273，319，369，415，437，441，445，479，500，共1
5、4个数，中间两数为319，369，中位数为(319369)2344；图表2共11个数，中位数为262.两图表空气质量指数中位数之差的绝对值为|344262|82.(2)由图可知(aa0.005)101(0.0100.0150.030)10，解得a0.025，则x1050.11150.31250.251350.21450.15125.中位数在120130之间，设为x，则0.01100.03100.025(x120)0.5，解得x124.答案(1)82(2)125，124探究提高反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，
6、其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数和中位数、方差等.微题型2对回归直线方程的考查【例12】(2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.探究提高若x，y为线性相关，可直接求其线性回归方程；若x，y为非线性相关，可通过换元先建立线性回归方程，然后再转化为非线性
7、回归方程.微微题题型型3对对独立性独立性检验检验的考的考查查【例13】某新闻媒体为了了解观众对央视开门大吉节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：女男总计喜爱402060不喜爱203050总计6050110试根据样本估计总体的思想，估计约有_的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.参考附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828答案99%【训练1】(1)高考前夕，摸底考试后随机抽取甲、乙两班各10名学生的数学成绩，绘成茎叶图如图所示.(2)(2017长安五校联考)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表
8、，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010答案(1)A(2)C热点二排列组合与概率微微题题型型1排列、排列、组组合合问题问题【例21】(1)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法种数为()A.18 B.24 C.30 D.36(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168答案(1)C(2)B探究提高解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再
9、考虑其他元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.微微题题型型2考考查查二二项项式定理式定理【例22】(1)(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60(2)若(x21)(x2)11a0a1(x1)a2(x1)2a13(x1)13，则a1a2a13_.答案(1)C(2)2探究提高(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题；(xy)n
10、展开式中的每一项相当于从n个因式(xy)中每个因式选择x或y组成的.(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.要根据二项展开式的结构特征灵活赋值.微微题题型型3古典概型与几何概型古典概型与几何概型【例23】(1)(2016深圳一调)4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为()探究提高(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使
11、用几何概型求解.【训练2】(1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(2)(2016全国卷)从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()解析(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)3
12、2，解得a3.答案(1)3(2)C1.用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.平均数：平均数为频率分布直方
13、图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标.2.求解排列、组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.4.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.