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1、第第6讲讲对对数与数与对对数函数数函数知 识 梳 理1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1)(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么xlogaNNloga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；loga mMn logaM(m，nR，且m0).(3)对数的重要公式换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)；logab ，推广logablogbclogcd_.logaMlogaNlogaMlogaNn
2、logaMalogad3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，_；当0 x1时，_；当0 x0y0y0增函数减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.ylogaxyx诊 断 自 测解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错.(2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错.(4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.已知函数ylo
3、ga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1 B.a1，0c1C.0a1 D.0a1，0c1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.答案(1)A(2)1考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)(2017郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|
4、的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距.由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点.答案(1)B(2)a1规律方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.答案(1)C(2)B
5、考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度一比较对数值的大小【例31】(2016全国卷)若ab0，0c1，则()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb答案B答案C命题角度三对数型函数的性质【例33】已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，规律方法(
6、1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】(1)设alog32，blog52，clog23，则()A.acb B.bcaC.cba D.cab(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.思想方法1.对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a
7、1且0b1或0a1时，logab0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.易错防范1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论.2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.