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1、第第8讲讲函数与方程、函数的函数与方程、函数的应应用用最新考最新考纲纲1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念 函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_.x轴零点横坐标
2、(3)零点存在性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反即f(a)f(b)0)的图像与零点的关系b24ac000)的图像与x轴的交点_无交点零点个数210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)kxb(k0)4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与_平行随x的增大逐渐表现为与_平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax递增递增y轴x轴诊 断 自 测1.判断正误(在
3、括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图像连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)函数f(x)ex3x的零点
4、个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案B3.(2015安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案A4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A.100只 B.200只 C.300只 D.400只解析由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.答案B考点一函数零点所在区间的判断【例
5、1】(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内(2)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在
6、的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.答案C答案(1)2(2)B规
7、律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)m时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)考点四构建函数模型解决实际问题(易错警示)【例4】(1)(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，
8、lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B B.2019年C.2020年 D.2021年求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.答案B(2)解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原.易错警示求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】(1)(2017成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.写出2017年第x个月的旅游人数f(
9、x)(单位：万人)与x的函数关系式；试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？答案24思想方法1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.易错防范1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.