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1、目录Contents考情精解读考点1考点2考点3A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法5考法4考法3方法易错考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲0101(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系。(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。(3)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。(4)在具体情境中,了解全集与空集的含义。(5)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。(7)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。数学第
2、一讲集合考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势数学 第一讲集合考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域集合的含义【5%】2016四川,1,5分集合间的基本关系【5%】集合的基本运算【80%】全国,1,5分全国,2,5分全国,1,5分全国,1,5分全国,1,5分全国,1,5分2016江苏,1,5分2016天津,1,5分2016浙江,1,5分2016山东,2,5分2016北京,1,5分2015四川,1,5分考纲解读命题规律考情精解读3命题趋势数学 第一讲集合考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域集合的基本运算全国,1,5分全国,2,5分全国,1,5分全国,1,5分全国,1,
3、5分全国,1,5分2015天津,1,5分2015山东,1,5分2015江苏,1,5分2015浙江,1,5分2014浙江,1,5分2014山东,2,5分2014北京,1,5分2014四川,1,5分2014江苏,1,5分考纲解读命题规律考情精解读4返回目录1.热点预测集合的基本运算与集合的综合应用,以与对数不等式、一元二次不等式的求解相结合的问题作为高考命题的热点;难点是以集合及相关知识为背景的综合性问题.题型以选择题、填空题的形式呈现,分值为5分。2.趋势分析以函数、方程、三角函数、不等式为载体,以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的数学思想、数学方法和数学能力，2018年高考复习时应予以关注
4、。命题趋势数学第一讲集合知识全通关知识全通关1考点1集合的含义继续学习1.集合的有关概念名师提醒：(1)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式,也可以是活物等。(2)求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验。(3)符号“”“”仅表示元素与集合之间的关系,一般不能用来表示集合与集合之间的关系,这一点谨记。(4)“”与“”的开口方向指向集合。数学第一讲集合知识全通关2继续学习易错警示：(1)“”已包含“所有”“全体”的含义,因此,实数集R可以表示为x|x为实数或R,但不能表示为x|x为所有实数或R。(2)N为非负整数集(即自然数集),包含0,而N*和N+的含义是一样的,表示正整数集,不包含0。
5、2.常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N+ZQRC数学第一讲集合知识全通关3考点2集合间的基本关系继续学习关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都在集合B中(即若xA,则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A,B中的元素完全相同或集合A,B互为子集A=B数学第一讲集合知识全通关4继续学习数学第一讲集合知识全通关5【规律总结】集合间的基本关系必须熟记的4个结论1.空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集2.任何一个集合是它本身的子集,即AA.空集只有一个子
6、集,即它本身.3.集合的子集和真子集具有传递性:若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.4.含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.数学 第一讲集合继续学习考点3集合的基本运算1.集合的基本运算数学 第一讲集合知识全通关6继续学习运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合AB=x|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AB=x|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UA=x|xU且xA数学 第一讲集合知识全通关7继续学习2.集合运算的相关结论(1)(AB)A,
7、(AB)B;A=AA;AB=BA;A(AB),B(AB);A=AA;AB=BA.(2)若AB,则AB=A;若AB=A,则AB.若AB,则AB=B;若AB=B,则AB.(4)U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB).(5)AB=ABA=B.数学 第一讲集合知识全通关8继续学习数轴的运用技巧与方法利用数轴解决集合的运算问题时,需要特别注意的是“端点值”问题,是能取“=”,还是不能取“=”,同时还需要注意各个端点的画法,能取到端点值时,用实心的点在数轴上表示,取不到端点值时,用空心的圆圈在数轴上表示.【思维拓展】题型全突破考法1利用集合元素的三性解决元素与集合之间的关系问题继续学习
8、题型全突破1考法指导类型1有限集中元素与集合间关系的判断(1)待确定元素与已知集合无关:如果待确定元素的值只与自身有关,只需将元素化简、求值,再与该有限集内的元素进行逐个对照,确定是否存在与其相等的元素.若存在,则属于();若不存在,则不属于().(2)待确定元素与已知集合有关:当一个待定集合中的元素与一个已知集合有关,确定元素与待定集合的关系(或待定集合中元素个数)时,应先将待定集合中的元素根据题中限定条件求出(常会用到列举法和分类讨论思想),然后根据题目信息进行分析判断(常依据集合中元素的互异性进行检验).数学第一讲集合继续学习题型全突破2类型2无限集中元素与集合间关系的判断(1)将待确定
9、元素进行变形,看能否表示成无限集合中元素的形式,如果可以,则属于;否则不属于.(2)假设法:假设该对象是集合中的元素,代入看是否与集合限定条件相矛盾.若不矛盾,则属于;否则不属于.考法示例12015新课标全国已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中元素的个数为A.5B.4C.3D.2数学第一讲集合继续学习题型全突破3数学第一讲集合思路分析列举集合A的部分元素,使x14求AB得集合AB中元素个数解析集合A=x|x=3n+2,nN,当n=0时,3n+2=2;当n=1时,3n+2=5;当n=2时,3n+2=8;当n=3时,3n+2=11;当n=4时,3n+2=1
10、4.因为B=6,8,10,12,14,所以AB中元素的个数为2.答案D继续学习题型全突破4考法示例2已知集合A=(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1,B=(x,y)|x,y为实数,且x+y=1,则AB的元素个数为A.4B.3C.2D.1思路分析点评给出的两个集合是无限集,解此类题的关键在于理解集合表示的几何意义。数学第一讲集合解析由题意知集合A表示圆,B表示一条直线.画出图形如图1-1-1所示，由图可知有2个交点,故AB中共有2个元素.答案答案C图1-1-1返回目录题型全突破5【突破攻略】利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键,求解过程中务必注意:用描述法表示的集合,要先认清代表
11、元素的含义和集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合,如y|y=2x,x|y=2x,(x,y)|y=2x表示不同的集合.如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.数学第一讲集合考法2集合与集合之间关系问题的求解继续学习题型全突破6考法指导1.子集个数的求解高考中,已知有限数集,直接利用公式求解子集个数的题目特别少,一般都是给定所求集合与已知集合之间的关系,然后通过间接计算或公式求解子集或子集的个数.2.判断集合与集合之间关系的方法集合与集合之间的关系一般为包含()与不包含()的关系,其中包含又包括相等(=)和真包含().判断集合与集合之间的关系最终可转
12、化为元素与集合之间的关系,即用“元素分析法”.高考中对集合与集合之间关系的判断分两种类型:数学第一讲集合(1)有限集:利用列举法,根据题中限定条件把集合中的元素表示出来,然后比较集合中元素的异同,从而找出集合之间的关系.(2)无限集:高考中通常结合不等式进行考查,方法是先从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,使元素结构一致,然后在同一个数轴上表示出两个集合,比较不等式端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.继续学习题型全突破7考法示例3(1)2017太原五中检测已知集合A=xZ|x2-2x-30,B=y|y=2x,则AB子集的个数为A.10 B.16 C.8 D.7(2)
13、2017辽宁师大附中测试已知集合A=0,1,B=x|xA,则下列集合A与B的关系中正确的是A.BAB.ABC.BAD.AB数学第一讲集合继续学习题型全突破8注意：第(2)题易错选B.题中所给的两个集合比较特殊,集合B中的元素就是集合,当集合A是集合B中的元素时,A与B是从属关系.思路分析(1)根据集合A,B,确定集合AB,代入公式求解.(2)确定集合B,即可判断集合A,B的关系.数学第一讲集合答案(1)C(2)D返回目录题型全突破9【突破攻略】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解,应当注意观察集合中元素之间的关系.集合之间一般是包含或相等关系,有时也可能为从属关系.解题时要思考两个问题:(1)
14、两个集合中的元素分别是什么;(2)两个集合中元素之间的关系是什么.数学第一讲集合考法3集合的基本运算继续学习题型全突破10考法指导1.有限集(数集)间集合的运算定义法和Venn图法.在应用Venn图时,全集内的元素要不重不漏,对每个集合的确定要准确.2.无限集间集合的运算高考中通常结合简单的绝对值不等式、一元二次不等式和分式不等式等考查,常用数形结合数轴法.其步骤是:(1)化简集合;(2)将集合在数轴上表示出来;(3)进行集合运算求范围,重叠区域为集合的交集,合并区域代表集合的并集,此方法既直观、简捷,又准确.3.用德摩根公式法解集合间的运算对于题目信息中有(UA)(UB)和(UA)(UB)的
15、情况,直接运用德摩根公式 U(AB)=(UA)(UB)和U(AB)=(UA)(UB)进行求解,以简化计算过程.数学第一讲集合继续学习题型全突破11(2)已知A,B均为集合U=1,3,5,7,9的子集,且AB=3,(UB)A=9，则A=A.AB=-2,-1 B.(RA)B=(-,0)C.AB=(0,+)D.(RA)B=-2,-1A.1,3B.3,7,9C.3,5,9D.3,9数学第一讲集合继续学习题型全突破12思路分析数学第一讲集合继续学习题型全突破13答案(1)D(2)D解析(1)因为A=(0,+),所以AB=1,2,(RA)B=y|y0或y=1,2，AB=y|y0或y=-1,-2,(RA)B
16、=-1,-2.所以D项正确(2)因为AB=3,所以3A,又(UB)A=9,所以9A.若5A,则5B(否则5AB),因此5UB,则(UB)A=5,9,与题中条件矛盾,故5A.同理,1A,7A,故A=3,9.数学第一讲集合说明：第(2)小题同样可以采用韦恩图帮助理解如图1-1-2所示图1-1-2返回目录题型全突破14【突破攻略】解集合运算问题应注意如下三点：(1)注意观察集合中元素的特点,元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值等;(2)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理,尤其是求解集合补集的运算,一定要注意端点值的取舍;(3)求集合的补集时,既要注意全集是什么,又要注意求补集的
17、步骤,一般先求出原来的集合,然后求其补集,否则容易漏解.数学第一讲集合考法4集合中的含参问题继续学习题型全突破15考法指导1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围数学第一讲集合考法4集合中的含参问题继续学习题型全突破162.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:(1)化简所给集合;(2)用数轴表示所给集合;(3)根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);(5)检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn图进行求解.数学第一讲集合继续学习题型全突破17考法示例52017宁夏银川二中考试已知集合A=x|y=
18、lg(x-x2),B=x|x2-cx0,若AB,则实数c的取值范围是A.(0,1 B.1,+)C.(0,1)D.(1,+)数学第一讲集合思路分析继续学习题型全突破18数学第一讲集合解析解法一 由题意知,A=x|y=lg(x-x2)=x|x-x20=(0,1),B=x|x2-cx0=(0,c).由AB,画出数轴,如图1-1-4所示,得c1.图1-1-4解法二因为A=x|y=lg(x-x2)=x|x-x20=(0,1),取c=1,则B=(0,1),所以AB成立,可排除C,D;取c=2,则B=(0,2),所以AB成立,可排除A.答案B返回目录题型全突破19【突破攻略】将两个集合之间的关系准确转化为参
19、数所满足的条件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.数学第一讲集合继续学习题型全突破20考法示例6(1)设集合A=x|-1x2,B=x|xa,若AB,则a的取值范围是A.-12C.a-1D.a-1数学第一讲集合思路分析(2)集合A=0,2,a,B=1,a2,若AB=0,1,2,4,16,则a的值为A.0B.1C.2D.4返回目录题型全突破21数学第一讲集合解析图1-1-5(2)根据并集的概念,可知a,a2=4,16,故a=4.答案(1)D(2)D返回目录题型全突破22【突破攻略】对于已知两个有
20、限集的运算结果求参数值的问题,(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;(2)若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性).数学第一讲集合考法5与集合有关的创新题继续学习题型全突破23考法指导解决与集合有关的新定义问题时,首先,要分析新定义的特点和本质,认清新定义对集合元素的要求,结合题目要求进行转化,并将其运用到具体的解题过程中;其次,要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等),将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.数学第一讲集合考法示例7已知集合A=(x
21、,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则中元素的个数为 A.77B.49C.45D.30继续学习题型全突破24数学第一讲集合解析集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,所以集合A中有 5个元素(即5个点),即图1-1-6中圆内及圆上的整数点.集合B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ中有25个元素(即25个点),即图1-1-6中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整数点.集合=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B中的元素可看作图1-1-6中正方形A1
22、B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整数点,共77-4=45(个).图1-1-6答案 C能力大提升思想方法能力大提升1继续学习数学第一讲集合集合运算问题的三种解题方法方法1列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素,然后根据集合基本运算的定义求解的方法.此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题,其基本的解题步骤是:(1)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素.(2)定运算:根据要求及新定义运算,将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题,或转化为数的有关运算问题.(3)定结果:根据定义的运算进行求解,利用列举法写出所求集合中
23、的所有元素.能力大提升2示例8设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B=(x,y)|xAB,yAB,则A*B中元素的个数是继续学习数学第一讲集合A.7B.10C.25D.52思路分析解析因为A=-1,0,1,B=0,1,2,3,所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3.由xAB,可知x可取0,1;返回目录能力大提升3数学第一讲集合由yAB,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:yx-1 0 1 2 3 0(0,-1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1,-1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)所以A*B中的元素共有10个.
24、答案B方法2数形结合法化学 有机化学基础（选修五）能力大提升4数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合,然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算.其求解的基本步骤是:继续学习数学第一讲集合(1)画图形:根据题设条件给出的几何意义,画出与集合对应的几何图形或函数图象.(2)定区域:利用数轴、韦恩(Venn)图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所表示的平面区域.(3)求结果:根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积.能力大提升5继续学习数学第一讲集合思路分析思路分析 解析答案C因为集合A表示函数y=中x的取值范围,即该函数的定
25、义域由1-|x|0得-1x1,即A=x|-1x1,又集合B表示函数y=x2在定义域R上的值域,由x20得B=y|y0,所以结合数轴,如图1-1-7所示阴影部分可得:AB=x|0 x1.图1-1-7返回目录能力大提升6【归纳总结】数学第一讲集合1.对连续的数集间的运算,一般借助数轴的直观性,进行合理转化;2.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,一般借助Venn图求解.能力大提升7继续学习数学第一讲集合方法3特值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其求解的基本步骤如下:(1)辨差异:分
26、析各选项,辨别各选项的差异.(2)定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素.(3)验排除:将特殊的元素代入进行验证,排除干扰项.(4)定结果:根据排除的结果确定正确的选项.能力大提升8-继续学习示例10已知U为全集,集合A=x|x2-2x-30,B=x|2x4,那么集合B(UA)=A.x|-1x4 B.x|2x3 C.x|2x3 D.x|-1x4思路分析解析A项与D项的不同之处在于元素-1,4是否属于该集合;B项与C项的区别在于2与3是否属于该集合.A,D与B,C的区别可通过检验0是否属于该集合来判断.因为0B,所以0B(UA),故可排除A,D;因为2B,所以2B(UA),故可排除C.答案B
27、数学第一讲集合返回目录能力大提升9【归纳总结】数学第一讲集合用特值法求解集合运算问题的关键在于根据各选项的差异灵活选择适当的特殊元素,然后根据特殊元素与各集合的关系检验其是否满足运算,从而排除选项.易混易错能力大提升10继续学习数学第一讲集合忽视空集是任何集合的子集出错示例11已知集合A=x|x2-x-120,B=x|2m-1xm+1,且AB=B,则实数m的取值范围为A.-1,2)B.-1,3C.2,+)D.-1,+)易错分析集合B为不等式2m-1xm+1的解集,但m取值不同,解集也不同.当m+12m-1时,集合B为空集.而空集是任何集合的子集,且是任何非空集合的真子集,求解时应分B=和B两种情况,结合数轴,讨论求解.能力大提升11继续学习数学第一讲集合解析由x2-x-120,得(x+3)(x-4)0,得-3x 4,所以A=x|-3x4.又AB=B,所以BA.(1)当B=时,有m+12m-1,解得m2.(2)当B时,有 解得-1m2.综上,得m-1.答案D返回目录能力大提升12【易错警示】数学第一讲集合当题目中出现AB或AB=A或AB=B时,在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论,即分A=和A两种情况进行讨论,并注意端点值的检验.