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1、第第1 1讲讲 等差数列、等比数列等差数列、等比数列考情分析考情分析总纲目录考点一 等差、等比数列的基本运算考点二 等差、等比数列的判定与证明考点三 等差、等比数列的性质考点一等差、等比数列的基本运算(1)通项公式:等差数列:an=a1+(n-1)d;等比数列:an=a1qn-1(q0).(2)求和公式:等差数列:Sn=na1+d;等比数列:当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8(2)(2017课标全国,17,12分)已知等差数列a
2、n的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(i)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(ii)若T3=21,求S3.解析解析(1)设等差数列an的公差为d,S6=48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.(2)设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(i)由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得(舍去)或因此bn的通项公式为bn=2n-1.(ii)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=
3、4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.答案答案(1)C方法归纳方法归纳等差(比)数列的运算策略在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体代入的运用,以减少计算量.跟踪集训跟踪集训1.(2017福州综合质量检测)设等差数列an的公差d0,且a2=-d,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k=()A.5B.6C.9D.11答案答案C因为ak是a6与ak+6的等比中项,所以=a6ak+6,又等差数列an的公差d0,且a2=-d,所以a2+(k-2)d2=(a2+4d)a2
4、+(k+4)d,所以(k-3)2=3(k+3),解得k=9或k=0(舍去),故选C.2.(2017昆明教学质量检测)已知数列an的前n项和为Sn,且2,Sn,an成等差数列,则S17=()A.0B.2C.-2D.34答案答案B由2,Sn,an成等差数列,得2Sn=an+2,2Sn+1=an+1+2,-,整理得=-1,又2a1=a1+2,所以a1=2,所以数列an是首项为2,公比为-1的等比数列,所以S17=2,故选B.3.(2017湖北七市(州)联考)已知等比数列an的前n项和Sn=2n+1+a,数列bn满足bn=2-log2.(1)求常数a的值;(2)求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)
5、当n=1时,a1=S1=22+a=4+a,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n,an为等比数列,=a1a3,即(22)2=(4+a)23,解得a=-2.(2)由(1)知an=2n,则bn=2-log223n=2-3n,bn+1-bn=-3对一切nN*都成立,bn是以-1为首项,-3为公差的等差数列,即b1=-1,d=-3,Tn=nb1+d=.考点二等差、等比数列的判定与证明1.证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义证明an+1-an(nN*)为一常数;(2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n2).2.证明数列an是等比数列的两种基本方法(
6、1)利用定义证明(nN*)为一常数;(2)利用等比中项,即证明=an-1an+1(n2).典型例题典型例题(2017贵州适应性考试)已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求an的通项公式.解析解析(1)由已知得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得=2,即-=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列.则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.方法归纳方法归纳
7、(1)判定一个数列是等差(比)数列,可以利用通项公式或前n项和公式,但不能将其作为证明方法;(2)=q和=an-1an+1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件,判定时还要看各项是否为零.跟踪集训跟踪集训1.已知Sn是等比数列an的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,下列结论正确的是()A.a1,a7,a4成等差数列B.a1,a7,a4成等比数列C.a1,2a7,a4成等差数列D.a1,2a7,a4成等比数列答案答案A显然q=1时不合题意,依题意得S3+S6=2S9,即(1-q3)+(1-q6)=(1-q9)1+q3=2q6a1+a1q3=2a1q6a1+a4=2a7,a1,a7,
8、a4成等差数列.2.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析解析(1)设an的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.考点三等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;(2)an=am+(n-m)d;(3)Sm,S2m-
9、Sm,S3m-S2m,仍成等差数列(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则aman=apaq;(2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列(q-1)典型例题典型例题(1)(2017云南11校跨区调研)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()A.40B.60C.32D.50(2)设Sn为等差数列an的前n项和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若-1,则()A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7解析解析(1)由等比数列的性质可知,数列S3,
10、S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,则S9-S6=16,S12-S9=32,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.(2)由(n+1)SnnSn+1得(n+1)n,整理得anan+1,所以等差数列an是递增数列,又0,a70,所以数列an的前7项为负值,即Sn的最小值是S7,故选D.答案答案(1)B(2)D方法归纳方法归纳应用数列性质解题的方法(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中,“若m+n=p+q,则a
11、m+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”这一性质与求和公式Sn=的综合应用.跟踪集训跟踪集训1.(2017太原模拟试题)已知Sn是等差数列an的前n项和,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=()A.66B.55C.44D.33答案答案D因为a1+a5=2a3,a8+a10=2a9,所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36,所以a3+a9=6,所以S11=33,故选D.2.一个项数为偶数的等比数列an,全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=()A.11B.12C.13D.14答案答案B设数列an的公比为q,全部奇数项、偶
12、数项之和分别记为S奇、S偶,由题意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因为数列an的项数为偶数,所以q=.又a1(a1q)(a1q2)=64,所以q3=64,故a1=12.3.在数列an中,a1=5,(an+1-2)(an-2)=3(nN*),则该数列的前2016项的和是.答案答案8064解析解析因为(an+1-2)(an-2)=3,所以(an+2-2)(an+1-2)=3,因此an+2-2=an-2,即an+2=an,所以数列an是以2为周期的数列.又a1=5,因此(a2-2)(a1-2)=3,故a2=3,a1+a2=8.注意到2016=21008,因此该数列的前2016项的和等于100
13、8(a1+a2)=8064.1.(2017贵州适应性考试)已知数列an满足an=an+1,若a3+a4=2,则a4+a5=()A.B.1C.4D.8随堂检测随堂检测答案答案C解法一:因为an=an+1,a3+a4=2,所以an0,可得=2,所以an为等比数列,由an=amqn-m,得a3+a324-3=2,解得a3=,所以an=a3qn-3=2n-3,由此可得a4=a32=,a5=a322=,所以a4+a5=+=4.解法二:已知an=an+1,可得an+1=2an,所以a4+a5=2a3+2a4=2(a3+a4)=22=4.2.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若点(n,Sn)在函数
14、y=2x+1+m的图象上,则m=()A.-2B.2C.-3D.3答案答案A易知q1,Sn=-qn=-qn+1,又点(n,Sn)在函数y=2x+1+m的图象上,所以Sn=2n+1+m,所以q=2,解得m=-2.3.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.答案答案1解析解析设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.a1=b1=-1,a4=b4=8,a2=2,b2=2.=1.4.(2017广西三市第一次联考)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log4an+1,求bn的前n项和Tn.解析解析(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.当n=1时,a1=2-1=1,满足an=2n-1,数列an的通项公式为an=2n-1(nN*).(2)由(1)得,bn=log4an+1=,则bn+1-bn=-=,数列bn是首项为1,公差d=的等差数列,Tn=nb1+d=.