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1、第第2 2讲数列求和及简单应用讲数列求和及简单应用考情分析考情分析总纲目录考点一 集合的概念及运算考点二 充分、必要条件的判断（高频考点）考点三 命题真假的判断与否定考点一数列的递推公式1.数列通项an与前n项和Sn的关系,an=2.应用an与Sn的关系式f(an,Sn)=0时,应特别注意n=1时的情况,防止产生错误.典型例题典型例题(1)(2017山西太原模拟)已知数列an中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(nN*),则其前n项和Sn=.(2)(2017安徽合肥质量检测(二)已知数列an中,a1=2,且=4(an+1-an)(nN*),则其前9项和S9=.答案答案(1)2n+2-4-
2、(2)1022解析解析(1)因为an+1=2an+3n-1,所以an+1+3(n+1)+2=2(an+3n+2),所以数列an+3n+2是首项为4,公比为2的等比数列,所以an+3n+2=2n+1,所以an=2n+1-3n-2,所以数列an的前n项和Sn=2n+2-4-.(2)由已知,得=4anan+1-4,即-4anan+1+4=(an+1-2an)2=0,所以an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故S9=210-2=1022.1.由递推公式求通项公式的三种类型(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a
3、n-an-1)求通项公式.(2)形如an+1=anf(n),常可采用叠乘法,即利用恒等式an=a1求通项公式.(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造an+1+x=b(an+x),则an+x是公比为b的等比数列,利用它可求出an.方法归纳方法归纳2.由Sn与an的关系式求通项公式当已知数列an的一个含有an,Sn的等式时,往往根据升幂或降幂的方法得到一个新的等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转化为数列的通项之间的关系,再根据这个关系求解数列的通项.跟踪集训1.(2017山西四校联考)已知数列an满足an+1=若a1=,则a2017=
4、()A.B.C.D.1.答案C因为a1=,所以根据题意得a2=,a3=,a4=,a5=,所以数列an是以4为周期的数列,又2017=5044+1,所以a2017=a1=,故选C.2.(2017湖北七市(州)联考)数列an满足an+1+(-1)nan=n+1,则an的前40项的和为.2.答案440解析当n=1时,a2-a1=2,当n=2时,a3+a2=3,当n=3时,a4-a3=4,当n=4时,a5+a4=5,由-得a3+a1=1,由+得a4+a2=7,当n=5时,a6-a5=6,当n=6时,a7+a6=7,当n=7时,a8-a7=8,当n=8时,a9+a8=9,由-得a7+a5=1,由+得a8
5、+a6=15,类似可得a11+a9=1,a39+a37=1,a12+a10=23,即a4k+2+a4k+4(kN)构成一个首项为7,公差为8的等差数列,S40=(a1+a3+a5+a7+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+a38+a40)=110+710+8=440.考点二求数列的前n项和数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和就是用此法推导的.(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用
6、此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.(3)裂项相消法把数列的每一项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减.(5)并项求和法一个数列的前n项和可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用并项求和.典型例题(2017山东,19,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数
7、列的前n项和Tn.解析(1)设an的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知,S2n+1=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=.因此Tn=c1+c2+cn=+,又Tn=+,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.方法归纳1.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项;(2)裂项相消求和法是数列求和的重要方法之一,其基本形式为:若an是等差数列且an0,则+=.2.用错
8、位相减法求和时应注意的两点(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的数列;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.跟踪集训1.(2017广西三市联考)已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及数列an的通项公式;(2)若bn=(1-an)log3(an+1),求数列的前n项和Tn.1.解析(1)6Sn=3n+1+a(nN*),当n=1时,6S1=6a1=9+a,当n2时,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,an是等比数列,a1=1,则9+a=6,得
9、a=-3,数列an的通项公式为an=3n-1(nN*).(2)由(1)得bn=(1-an)log3(an+1)=(3n+1)(3n-2),Tn=+=+=.2.(2017安徽合肥质量检测(一)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S4=24,S7=63.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=+(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.2.解析(1)设an的公差为d,则an=2n+1.(2)bn=+(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),Tn=2(41+42+4n)+-3+5-7+9-+(-1)n(2n+1)=+Gn.当n=2k(kN*)时,Gn=
10、2=n,Tn=+n;当n=2k-1(kN*)时,Gn=2-(2n+1)=-n-2,Tn=-n-2,Tn=考点三数列中的最值问题1.求解数列中的最大(小)项的常用方法(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求函数最值的方法进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数的限制条件;(2)利用数列的单调性求解,利用不等式an+1an(或an+1an)求解出n的取值范围,从而确定数列的单调性,进而确定相应的最值.2.求解Sn最值的方法(1)利用前n项和公式,求出数列的前n项和Sn,根据相应函数最值的求解思路进行求解;(2)利用数列的通项an,将其转化为不等式组的求解问题:若则
11、Sm最大;若则Sm最小.典型例题(1)若数列bn的通项公式为bn=-+13,则数列bn中的最大项的项数为()A.2或3B.3或4C.3D.4(2)(2017河南洛阳第一次统考)等比数列an的首项为,公比为-,前n项和为Sn,则当nN*时,Sn-的最大值与最小值之和为()A.-B.-C.D.答案(1)B(2)C解析(1)解法一:由bnbn-1,可得-+13-+13,整理得-1+,即n2-n-120,解得-3nbn-1,即数列bn单调递增,当n4时,bnbn+1,即数列bn单调递减,又b3=b4=6,所以数列bn的最大项的项数为3或4,故选B.解法二:设数列bn的第n项最大.由即整理得即解得n=3或n=4.又b3=b4=6,所以当n=3或n=4时,bn取得最大值,故选B.(2)依题意得,Sn=1-.当n为奇数时,Sn=1+随着n的增大而减小,1Sn=1+S1=,Sn-随着Sn的增大而增大,0Sn-;当n为偶数时,Sn=1-随着n的增大而增大,=S2Sn=1-1,Sn-随着Sn的增大而增大,-Sn-0),则f(x)=x(3x-20),令f(x)=0,解得x=(x=0舍去),当x时,f(x)单调递减,当x时,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)取得极小值.取n=6,得f(6)=-48,取n=7,得f(7)=-49,故nSn的最小值为-49.专题五立体几何