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1、第第2 2讲讲 空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系考情分析考情分析总纲目录考点一 空间线、面位置关系的判断考点二 空间线面平行、垂直关系的证明考点三 平面图形的翻折问题考点一空间线、面位置关系的判断典型例题典型例题(2016课标全国,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案答案解析解析对于命题,可运用长方体举反例证明其错误:如图,不妨设AA为直线m,CD为直线n,ABCD所在的平面为,ABCD所在的平面为
2、,显然这些直线和平面满足题目条件,但不成立.命题正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面相交于直线l,则ln,由m知ml,从而mn,结论正确.由平面与平面平行的定义知命题正确.由平行的传递性及线面角的定义知命题正确.方法归纳方法归纳判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问题;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面位置关系,并结合有关定理进行判断.跟踪集训跟踪集训1.(2017湖南湘中名校高三联考)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,m,则C.若,则
3、D.若m,n,则mn答案答案D对于选项A,两直线可能平行,相交或异面;对于选项B,两平面可能平行或相交;对于选项C,两平面可能平行或相交;对于选项D,由线面垂直的性质定理可知结论正确.2.(2017新疆第二次适应性检测)设m,n是不同的直线,是不同的平面,有以下四个命题:若,则;若,m,则m;若m,m,则;若mn,n,则m.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案答案A对于,因为平行于同一个平面的两个平面相互平行,所以正确;对于,当直线m位于平面内,且平行于平面,的交线时,满足条件,但显然此时m与平面不垂直,因此不正确;对于,在平面内取直线n平行于m,则由m,mn,得n,又n,因此有,正确
4、;对于,直线m可能位于平面内,显然此时m与平面不平行,因此不正确.综上所述,正确命题的序号是,故选A.考点二空间线面平行、垂直关系的证明1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,=bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b.(4)面面平行的性质定理:,=a,=bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala.典型例题典型例题(2017山东,18,12
5、分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面AB
6、CD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.方法归纳方法归纳平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.跟踪集训跟踪集训1.(2017湖北七市(州)联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合
7、体中,AB=AD,A1B1=A1D1.台体体积公式:V=(S+S)h,其中S,S分别为台体上、下底面的面积,h为台体的高.(1)证明:直线BD平面MAC;(2)若AB=1,A1D1=2,MA=,三棱锥A-A1B1D1的体积V=,求该组合体的体积.解析解析(1)证明:由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱,AD平面MAB,ADMA,又MAAB,ADAB=A,AD平面ABCD,AB平面ABCD,MA平面ABCD,MABD.AB=AD,矩形ABCD为正方形,BDAC,又MAAC=A,MA平面MAC,AC平面MAC,BD平面MAC.(2)设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h,则三棱锥A-
8、A1B1D1的体积V=22h=,h=,故该组合体的体积V=11+(12+22+)=+=.2.(2017广西三市第一次联考)在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:PCAE;(2)求证:CE平面PAB.证明证明(1)在RtABC中,AB=1,BAC=60,BC=,AC=2,取PC的中点F,连接AF,EF,PA=AC=2,PCAF.PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD,ACD=90,CDAC,又PAAC=A,CD平面PAC,又PC平面PAC,CDPC,EF是PCD的中位线,EFCD,EFPC.又AF
9、EF=F,PC平面AEF.AE平面AEF,PCAE.(2)取AD的中点M,连接EM,CM,则EMPA.EM平面PAB,PA平面PAB,EM平面PAB.在RtACD中,CAD=60,AC=AM=2,ACM=60,而BAC=60,MCAB.MC平面PAB,AB平面PAB,MC平面PAB.EMMC=M,平面EMC平面PAB.CE平面EMC,CE平面PAB.考点三平面图形的翻折问题典型例题典型例题(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5
10、,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.解析解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.方法归纳方法归纳平面图形翻折问题的求解方法(1
11、)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.跟踪集训跟踪集训(2017合肥第二次教学质量检测)如图,平面五边形ABCDE中,ABCE,且AE=2,AEC=60,CD=ED=,cosEDC=.将CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,且AP=,得到四棱锥P-ABCE.(1)求证:AP平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:ABl.证明证明(1)在CDE中,CD=ED=,cosEDC=,由余
12、弦定理得CE=2.连接AC,AE=2,AEC=60,AC=2.又AP=,在PAE中,PA2+AE2=PE2,即APAE.同理,APAC.而AC平面ABCE,AE平面ABCE,ACAE=A,故AP平面ABCE.(2)ABCE,且CE平面PCE,AB平面PCE,AB平面PCE.又AB平面PAB,平面PAB平面PCE=l,ABl.1.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.随堂检测随堂检测证明证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EF
13、AD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.2.(2017郑州第一次质量预测)如图,已知四棱锥S-ABCD,底面梯形ABCD中,ADBC,平面SAB平面ABCD,SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=2,M是SD上任意一点,=m,且m0.(1)求证:平面SAB平面MAC;(2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍.解析解析(1)在ABC中,由于AB=2,AC=4,BC=2,AB2+AC2=BC2,故ABAC.又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,AC平面ABCD,AC平面SAB,又AC平面MAC,故平面SAB平面MAC.(2)V三棱锥S-MAC=V三棱锥M-SAC=V三棱锥D-SAC=V三棱锥S-ACD,=2=3,m=2.