《数学第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例配套 理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例配套 理.ppt（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第8讲解三角形应用举例考纲要求考点分布考情风向标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2011 年新课标第 15 题考查余弦定理和面积公式；2012 年新课标第 17 题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；2013 年新课标第 10 题以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2014 年新课标第 16 题以解三角形为背景，考查正弦定理；2015 年新课标第 17 题以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面积公式；2017 年新课标第 11 题、新课
2、标第16 题、新课标第 15 题考查正弦定理1.本节复习时，应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 与 c.在有解时只有一解1.解三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180
3、求另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角 A，B；再由 ABC180求角 C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；最后利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角如图 381(1).图 381(2)方向角：相对于
4、某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点 B 的方位角为如图 381(2).(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数.1.若点 A 在点 B 的北偏西 30，则点 B 在点 A 的()A.北偏西 30C.南偏东 30B.北偏西 60D.东偏南 30C解析：如图 D21，点 B 在点 A 的南偏东 30.图 D212.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距()解析：如图 D22，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为B.设A处测得船C，
5、D的俯角分别为45，30，连接BC，BD.在RtABC中，ACB45，则ABBC30 m.在RtABD图 D22答案：D3.如图 382，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA)45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为(图 382A4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是()A.5 海里/时解析：如图D23，依题意有BAC60，BAD75，故CADCDA15，从而CDCA10.在RtABC中，时
6、).图 D23答案：C考点测量问题考向 1 测量距离问题例 1：(2016 年广东广州模拟)如图 383，某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点 A，B 之间的距离，在长江南岸找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点B，C.测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 m.(1)求CDE 的面积；(2)求 A，B 之间的距离.图 383解：(1)在CDE中，DCE3609015105因为 cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60si
7、n 45连接 AB，在ABC 中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【互动探究】1.(2014年四川)如图384，从气球A上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC()图 384答案：C2.(2017 年四川成都外国语学校统测)如图385，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量 A，B 两点间的距离，选取一条基线 CD，A，B，C，D 在同一平面内.测
8、得 CD200 m，ADBACB30，CBD60，则 AB()D.数据不够，无法计算图 385解析：如题图，ADBACB30，CBD60，ACBD.设 ACBDO，则AODBOC.设 OAx m，答案：A考向 2 测量高度问题例 2：(1)(2015 年湖北)如图 386，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 386(2)(2014 年新课标)如图387，为测量山高 MN，选择点A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测
9、得点 M 的仰角为MAN60，点C的仰角为CAB45，以及MAC75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.图 387答案：150【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理.【互动探究】3.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为_m.解析：如图 D24，由已知可得BAC30，CAD30.图 D24BCA60，ACD30，ADC120.在ACD 中，由余弦定理，得AC22CD22CD2cos 1203CD2.答案：4003考
10、向 3 测量角度问题例 3：如图 388，在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得cos _.图 388【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.【互动探究】B4.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A.北偏东 10C.南偏东 10B.北偏
11、西 10D.南偏西 10难点突破三角函数在解三角形中的应用例题：(2014年新课标)四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C,BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.【互动探究】5.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积.解：如图 D25，连接 BD，则有四边形 ABCD 的面积图 D25A120.2242224cos A2016cos A.在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.2016cos A5248cos C.