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1、矩阵在解线性方程组中的应用摘要线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容. 线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的. 基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题. 本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用. 关键词: 矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换The Application of Matrix in Solving Linear EquationsABSTRACTThesolutionoflinearequationsisanimportantparto
2、falgebra.Intheprocessofsolvinglinearequations,itisveryimportanttomastervariousmethodsofsolvinglinearequations.Basedon therelationshipbetweenlinearequationsandmatrix,thedeterminantmatrixcomposedof coefficientandconstanttermoflinearequationscanbeusedtostudythesolutionoflinear equations. This papermain
3、lydiscussestheapplicationoftherankofmatrixinthejudgmentofthe solutionofequationsandtheapplicationoftheelementarytransformationofmatrixinthesolutionoflinearequations.Keywords: matrix；linear；equations；rank of matrix；elementary transformation III目录摘要IABSTRACTII一、引言1二、线性方程组的有关概念11. 线性方程组的定义12. 线性方程组的一般解
4、法2三、矩阵的有关概念31. 矩阵的概念32. 矩阵的初等变换33. 矩阵的秩434. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件5四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路6参考文献11一、引言矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置，而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点. 中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解， 通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组. 在文献1中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；文献2给出了线性方程组的一
5、般解法的主要内容；文献3-5给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念概念以及龝矩阵的逆的一些相关问题；文献6给出了线性方程组解的判断条件；文献7-10给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用. 本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具. 二、线性方程组的有关概念1. 线性方程组的定义定义 11 一般线性方程组的定义是形如的方程组，这里的代表个未知量，则表示为线性方程的未知个数. 如果我们知道一个线性方程组的全部系数以及它的常数项，那么这个线性方程组就可以确
6、定了，线性方程组就可以用下面的矩阵进行表示. 令， , ，可知线性方程组的系数矩阵，未知数矩阵为，常数项矩阵为，则可得到. 若常数项矩阵为零矩阵即，那么我们称之为齐次线性方程组. 反之，若常数项矩阵为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组. 2. 线性方程组的一般解法对于线性方程组的求解，除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外，还有两种线性方程组的一般解法：（1）消元法2所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步一步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果我们把最终初等变换得到的关于“”的恒等式(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的
7、，如果有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解. 假设在方程组有解的情况下，令为阶梯形方程中未知量的个数，由上述定义1知，则表示为线性方程的未知个数，当时，方程组有唯一确定的解；当时，方程组可以有无穷多个解. 消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法，但当未知量有个的时候，一个一个的消元工作量也会很大. （2）克拉默法则2克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上，对于线性方程组进行的一般解法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是满足未知系数的矩阵行列式不等于0，即，满足以上三种情况则可
8、使用克拉默法则. 定义 21 给出克拉默法则的一般描述：如果线性方程组的系数矩阵的行列式，即它的系数行列式为那么这个线性方程组有解，有且只有唯一的解，其系数的表达如下：，则可以得到线性方程组的解. 但克拉默法则并不适用于所有的满足条件的线性方程组，因为它的计算量太大，一般我们也不怎么会使用克拉默法则的方法求解线性方程组. 三、矩阵的有关概念1. 矩阵的概念定义 31 由个数构成行列并括以圆括弧或方括弧的数表. 即称为矩阵. 例如.2. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换不仅在矩阵的学习中是一个重要内容，在线性方程组中也有广泛的应用，首先，给出矩阵的初等变换. 定义 43 下面三种变换成为矩阵的初等变
9、换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零数乘矩阵的某行（列）；（3）矩阵的某行（列）的倍加到另一行（列）.3. 矩阵的秩4讨论矩阵和线性方程组的关系时，矩阵的秩是较为重要的概念. 定义 5 矩阵的秩是指矩阵的不为零的子式的最大阶数称为矩阵的秩，记作或. 显然易得：若中至少有一个阶子式不等于零，且在时，中所有的阶子式全为零，则的秩为. 矩阵的秩是判断线性方程组是否有解的重要条件. 因此，如何求解矩阵的秩是至关重要的. 目前，矩阵的秩的求解有如下两种方法.（1）矩阵的初等变换可以求解矩阵的秩（2）若矩阵为行，则先计算阶子式，若阶子式不为零，则秩为；如果阶子式为零，则计算阶子式，若阶子式中有一
10、个不零，则秩为，若所有的阶子式都为零，则计算阶子式，以此类推，指导计算到阶子式中不全为零，则秩为为止. 但第二种方法适应于较小时，当较大时，计算量大，也容易出错，此时可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.有关矩阵的秩的求解，下面，我们提供了一些例题.例 15 求下列矩阵的秩.解 由题意，利用初等行变换可得，所以矩阵的秩为3.例 2 求下列矩阵的秩.解 矩阵经过初等变换，可得到矩阵，则矩阵的秩为3. 例 3 求矩阵的秩. 解 矩阵有3行，则计算，则计算2阶子式. 因为，所以.下面总结了用初等变换法求矩阵的秩在解题过程中的步骤主要为：(1)通过初等行（列）变换将矩阵化为阶梯形；(2)由定理可知非零行的
11、个数即为该矩阵的秩数，因此可以求出秩. 4. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件定理 1 线性方程组有解的充分必要条件为：线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r()=r()，其中，. 若是阶的线性方程组，在判定线性方程组有解的条件下，我么还能通过矩阵的秩来进一步判定线性方程组解的个数：当时，线性方程组有无穷解；当时，线性方程组有唯一的解.在一个齐次线性方程组中有非零行方程组解的充要条件，也就是它的系数增广矩阵的行列式等于零.例 46 判断下面的方程组有无解解 由题意可以知道，上式方程组的系数矩阵为，它的增广矩阵可以写为，由初等变换，我们可以将增广矩阵化为矩阵，可知,，因为23，所以方程组
12、无解.我们学会了利用矩阵的秩来判断方程组是否有解，那在方程组有解的情况下，我们就应该利用矩阵求解线性方程组. 四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路 矩阵的初等变换是解线性方程组的基本的方法，主要是将矩阵化为阶梯形的矩阵，主要的步骤有以下几步：第一步，写出线性方程组的一个增广矩阵；第二步，通过将增广矩阵化为阶梯形以此来判断线性方程组到底是否有解，当解存在时可以对矩阵进行以下步骤：第三步，把矩阵通过初等变换化为最简形式；第四步，求出线性方程组的一个特解；第五步，求线性方程组的一个通解.例 57 解下列方程组解 由题意，利用初等行变换可得可得线性方程组，所以原方程的解为（1,1,1）.例 68
13、 解下列齐次线性方程组分析 这是一个齐次线性方程组，但它的未知量的个数比较多，用消元法计算量还是很大的，这时我们就应该选择一种简单的方法去求解，我们可以利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，这时我们只要把方程的系数矩阵描述出来，不写未知量，这也为我们节省了大量的计算和时间. 解 方程的系数矩阵为将系数矩阵初等化为阶梯形矩阵，可得所以方程的一般解为，其中为未知量. 当取时，方程组的解为，所以原方程通解为.例 79 求解下列线性方程组分析 首先计算出方程组的系数矩阵和增广矩阵，并对这两个矩阵进行简化，然后对比两个矩阵的秩是否相等从而判断解的存在情况. 解：对增广矩阵进行下列变换，首先判断方程组是否有
14、解，根据增广矩阵和系数矩阵的关系可以知道,，可以看出，所以我们可以知道这个线性方程组没有解. 例 810 讨论为何值时，方程组有唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求出通解. 分析 此线性方程组为非齐次线性方程组，这题中通过判断线性方程组是否有解来求出未知数，判断线性方程组是否有解，就是要判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相同，若有解，则可求出线性方程组的解. 解 对线性方程组的增广矩阵进行过下列变换 （1）当时，方程组有唯一的解；（2）当时，方程组无解；（3）当时，方程组有无穷多解.此时方程组为，可得特解，导出组的基础解系为，于是通解为. 总结 在解线性方程组的问题中，首先先准确地判断方
15、程组是否有解，以在方程组解存在的情况下为基础，那么在齐次线性方程组中，若齐次线性方程组的任何一组基础解为，我们称它为方程组的一个基础解系，齐次线性方程组的任何一解都能表成的线性组合.而在非齐次线性方程组中，应先求出的基础解系，则的通解为，设为非齐次线性方程组的特解，为对应的齐次线性方程组的基础解系，则的通解为，在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解. 结论矩阵在我们求解解线性方程组中已经有了广泛的研究和应用，主要是通过矩阵的初等变换求线性方程组的解，而且矩阵的初等变换还可以很好地帮助我们更准确地判断线性方程组解是否存在的实际情况. 另外，通过矩阵的初等变换可以求出矩阵
16、的秩以此来快速判断线性方程组的解也是非常重要的一种解题方法. 总而言之，矩阵再解线性方程组中有重要的作用，能够帮助我们更好地理清这类复杂问题的基本解题方法和思路，从而能让我们在实践中更好的灵活运用矩阵来快速求解线性方程组. 参考文献1 北京大学数学系前代数小组. 高等代数M. 第四版. 北京：高等教育出版社，2013.2 林清. 矩阵在解线性方程组中的应用J. 湛江市高级技工学校，2015(11)：583. 3 郑庆云，宋一杰，杨晓叶. 利用矩阵初等变换求解方程组的解J. 阴山学刊，2017(01)： 23-26. 4 王玉兰. 矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法J. 内蒙古科技与经
17、济，2002(11)：142.5 吴英柱. 矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨J. 广东石油化工学院学报， 2017(1)：71-75,94. 6 王卿文. 线性代数核心思想及应用M. 北京：科学出版社，2012. 7 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索J. 黑龙江科技信息，2012(02)：222-222. 8于永新. 用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的标准正交解系J. 辽宁科技大学学报，2016(3)：17. 9 付美鑫. 利用行列式、矩阵求解线性方程组J. 黑龙江科学，2017(3)：45-46. 10 骆旗，褚青涛. 浅析矩阵在解线性方程组中的作用J. 时代教育，2018(7)：139-139. 致谢本论文是在导师xxx教授的指导下完成的，从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的. 在此我要首先感谢老师，他能在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文. 我还要感谢所有教过我的老师，他们严谨细致、一丝不苟的作风一直会是我工作学习中的榜样. 同时我还要感谢在我学习期间给予我帮助的同学们，是你们的开导让我能够开心的度过这四年美好的大学时光. 14