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1、第八章章末复习 立体几何初步 类型一 空间几何体的表面积和体积圆柱； , 圆锥： , 圆台： , 球的表面积和体积 .注意：正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥.解题技巧：空间几何体的表面积与体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解1已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36，则该圆柱的体积为( )A27 B36 C54 D812.已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为
2、2，母线与底面所成的角为60，则该圆锥的体积为( )A B8 C D163(2022新高考卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(2.65)( )A1.0109 m3 B1.2109 m3C1.4109 m3 D1.6109 m3 类型二 与球有关的切、接问题1(2022新高考卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边
3、长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A100 B128 C144 D1922.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )A. B. C. D163.已知PA，PB，PC两两垂直且PA，PB，PC2，则过P，A，B，C四点的球的体积为 .类型三 空间中点、线、面的位置关系平面基本性质基本事实1基本事实2基本事实3图形语言文字语言过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用确定平面判断线在面内证
4、明三点共线或三线共点推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 确定平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线与直线的位置关系共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（既不平行，也不相交）直线与平面的位置关系在平面内，有无数个公共点 符号 a 相交，有且只有一个公共点 符号 a= A平行，没有公共点 符号 a说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示平面与平面的位置关系平行没有公共点： 符号 相交有一条公共直
5、线: 符号 =a1.（多选）设，表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( )A若Al，A，Bl，B，则lB若，不重合，A，A，B，B，则ABC若l，Al，则AD若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，则与重合2.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )A点P一定在直线BD上B点P一定在直线AC上C点P一定在直线AC或BD上D点P既不在直线AC上，也不在直线BD上3.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC 12.求
6、证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）GE与HF的交点在直线AC上. 类型四 平行、垂直关系基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行1.线面平行的判定 符号： 2.线面平行的性质 符号: 3.线面垂直的判定 符号：4.性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面符号语言：ab, a b性质：垂直于同一直线的两平面平行 符号： 推论： ，ll5.面面平行的判定 符号： 6面面平行的性质 符号： 补充：平行于同一平面的两平面平行. 符号：，.两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行. 符号：，aa.7.
7、面面垂直的判定符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。8.面面垂直的性质 符号：，m，l，lml9.证明线线平行的方法三角形中位线 平行四边形 线面平行的性质 平行线的传递性 面面平行的性质 垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，a.1.(2022高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中
8、，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A平面B1EF平面BDD1B平面B1EF平面A1BDC平面B1EF平面A1ACD平面B1EF平面A1C1D2.（多选）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是( )A AECE BBEDE CDE平面CEB D平面ADE平面BCE3.如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD平面ABCD，PDAD.求证：(1)平面EFO平面PAD；(2)PD平面ABCD.4.如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，
9、将ADE沿AE折叠，使得DEEC.（1）求证：AE平面CDE；（2）求证：FG平面BCD；（3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.类型五 空间角1.异面直线所成的角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。,90。.2.线面角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：0。,90。.如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角：若有()Ol；()OA，OB；
10、()OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.范围：0AOB180.1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为_2.在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为_3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为_4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABABC90，且ABBC2AD2，侧面PAB底面ABCD，PAB是等边三角形.（1）求证：BDPC；（2）求二面角BPCD的大小.课后作业1.已知互相垂直的平面，交于
11、直线l.若直线m，n满足m，n，则( )Aml Bmn Cnl Dmn2.如图RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是( )A B1 C D23.下列说法正确的是( )A多面体至少有3个面B有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形4.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )A圆柱的侧面积为2R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3125.平面与平面平行的条件可以是( )A内有无数条直线都与平行
12、B直线a，a，且直线a不在内，也不在内C内的任何直线都与平行D直线a在内，直线b在内，且a，b6.（多选）若a，b为不重合的直线，为平面，则下列结论正确的是( )A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若a，b，则ab7.(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是( )APC平面OMNB平面PCD平面OMNCOMPAD直线PD与直线MN所成角的大小为908.给出下列四种说法：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
13、直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D39.已知A，B是球O的球面上的两点，AOB90，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )A16 B36 C64 D14410.如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是( )AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体A-BCD的体积为11. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个
14、铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_厘米12.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且EDAD，AB2，BC，ED.则点B到平面AED的距离与EF到平面ABCD的距离的和为_13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD.(1)求证：BDPC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BCl. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAD为正三角形，ABCD，AB2CD，BAD90，PACD，E，F分别为棱PB，PA的中点(1)求证：平面PAB平面EFDC；(2)若AD2，直线PC与平面PAD所成的角为45，求四棱锥P-ABCD的体积15.
15、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是，那么这个三棱柱的侧面积为_，体积是_16.试在PCBD，PCAB，PAPC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P-ABCD中，ACBDO，底面ABCD为菱形，若_，且ABC60，异面直线PB与CD所成的角为60，求二面角A-PB-C的余弦值答案类型一1.C2.A3.C由已知得该棱台的高为157.5-148.59(m)，所以该棱台的体积V9(140180)10660(163)10660(1632.65)1061.4371091.4109(m3
16、).类型二1.A 2.B 3.类型三1.ABD 2.B3.【证明】 （1）因为BGGCDHHC，所以GHBD，又因为E、F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFGH，所以E、F、G、H四点共面.（2）因为G、H不是BC、CD的中点，所以EFGH.又EFGH，所以EG与FH不平行，则必相交，设交点为M，M平面ABC且M平面ACDM在平面ABC与平面ACD的交线上MAC.所以GE与HF的交点在直线AC上. 类型四1.A 2.ABD3.证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点因为E，F分别是PC，DC的中点，所以EFPD.又EF平面PAD，PD平面PAD，所以EF平面PAD.
17、同理可得，FO平面PAD.又EFFOF，EF，FO平面EFO，所以平面EFO平面PAD.(2)因为平面PAD平面ABCD，PDAD，且平面PAD平面ABCDAD，PD平面PAD，所以PD平面ABCD.4.（1）证明：由已知得DEAE，AEEC.因为DEECE，DE，EC平面DCE，所以AE平面CDE.（2）证明：取AB的中点H，连接GH，FH，所以GHBD，FHBC，因为GH平面BCD，BD平面BCD，所以GH平面BCD.同理FH平面BCD，又GHFHH，所以平面FHG平面BCD，因为GF平面FHG，所以GF平面BCD.（3）取线段AE的中点R，则平面BDR平面DCB.证明如下：取线段DC的中
18、点M，取线段DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MSBC，又REBC，所以MSRE，所以四边形MERS是平行四边形，所以RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，所以EMDC.由（1）知AE平面CDE，AEBC，所以BC平面CDE.因为EM平面CDE，所以EMBC.因为BCCDC，所以EM平面BCD，因为EMRS，所以RS平面BCD.因为RS平面BDR，所以平面BDR平面DCB. 类型五1.60 2.30 3. 4.（1）证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO.因为PAB是等边三角形，所以POAB.又侧面PAB底面ABCD，所以PO底面ABCD，又BD平面ABCD，所以
19、POBD.又ABBC2AD2，ABCDAB90，所以DABOBC，所以BCOABD，所以BDOC，又OC，PO平面POC，OCPOO，所以BD平面POC，又PC平面POC，所以BDPC.（2）如图，取PC的中点E，连接BE，DE，因为PBBC，所以BEPC.又BDPC，BEBDB，所以PC平面BDE，所以PCDE，所以BED是二面角BPCD的平面角.因为BCAB，平面PAB平面ABCDAB，平面PAB平面ABCD，ADAB，所以AD平面PAB，BC平面PAB.所以BCPB，ADPA，由平面几何知识，可求得BEPC，PDBD，所以DE，所以BE2DE2BD2，所以BED90，即二面角BPCD的大
20、小为90.课后作业1.C 2.D 3.D 4.CD 5.C 6.AC 7.ABC 8.B 9.A 10.B11.12 12. 213.(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC.又因为PBPD，O为BD的中点，所以BDPO.因为POACO，PO，AC平面PAC，所以BD平面PAC.因为PC平面PAC，所以BDPC.(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD.因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BCl.14.(1)证明：因为PAD为正三角形，F为棱PA的中点，所以PADF.又PA
21、CD，CDDFD，CD，DF平面EFDC，所以PA平面EFDC，又PA平面PAB，所以平面PAB平面EFDC.(2)因为ABCD，PACD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，所以CD平面PAD，所以CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即CPD45，所以CDPDAD2.又AB2CD，所以AB4，所以S直角梯形ABCDAD(CDAB)2(24)6.又AB平面PAD，AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.过P作POAD，垂足为O(图略)，则PO平面ABCD.因为PAD为正三角形，所以POAD2，所以V四棱锥P-ABCDPOS直角梯形ABCD62.15.设球的半径为r
22、，则r3，得r2，柱体的高为2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的侧面积S侧34448，体积V(4)2448.答案：48 4816.若选：由PO平面ABCD知POAB，又PCAB，POPCP，所以AB平面PAC，因为AC平面PAC，所以ABAC，所以BAC90，BCBA，这与底面ABCD为菱形矛盾，所以必不选，故选.下面证明PO平面ABCD.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为PCBD，PCACC，所以BD平面APC.又因为PO平面APC，所以BDPO.因为PAPC，O为AC的中点，所以POAC.又ACBDO，所以PO平面ABCD.设菱形ABCD的边长为2，POa.因为ABC60，所以AO1，BO.所以PA ，PB .因为ABCD，所以PBA为异面直线PB与CD所成的角，所以PBA60.在PBA中，由余弦定理得a214a23-22，解得a或a-(舍去).又CBAB，CPAP，PBPB，所以CPBAPB.过点C作CEPB，垂足为E，连接AE(图略)，则AEPB，所以CEA为二面角A-PB-C的平面角由等面积法易得CEAE，在AEC中，cos CEA，故二面角A-PB-C的余弦值为.8学科网（北京）股份有限公司