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1、小结与复习第三章 圆要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、圆的基本概念及性质1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距O要点梳理要点梳理二、点与圆的位置关系A AB BC C点与圆的位点与圆的位置关系置关系点到圆心的距离点到圆心的距离d d与圆的半径与圆的半径r r之间关系之间关系点在圆外点在圆外点在圆上点在圆上点在圆内点在圆内O Od dr rdrdrd=rd=rdrdr三、圆的对称性1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角
2、度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 4.4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等OABCDMAM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”若 CD是直径 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.四、垂径定理及推论垂径定理的逆定理CDAB,n由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.圆周
3、角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.BAC=BOC五、圆周角和圆心角的关系推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.ADB与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是圆的直径.AB是O的直径 ACB=90推论：圆的内接四边形的对角互补.六、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交ldrdrdr0 0d=rd=r切线drdr割线2 2drdrd=rd=r1 1七、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d
4、=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.2.切线长及切线长定理八、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.ACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.重 要 结 论只适合于直角三角形九、圆内接正多边形OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r
5、中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每 一 条 边 所对 的 圆 心 角正多边形的中心角边心距正多边形的边心距1.概念正多边形的内角和=中心角=圆内接正多边形的有关概念及性质2.计算公式（1）弧长公式：）弧长公式：（2）扇形面积公式：）扇形面积公式：十、弧长及扇形的面积考点一 与圆有关的概念 例1 在图中，BC是 O的直径，ADBC,若D=36,则BAD的度数是（）A.72 B.54 C.45 D.36 ABCD解析 根据圆周角定理的推论可知，B=D=36,BAC=90，所以BAD=54，故选B.BO考点讲练考点讲练 1.如图a，四边形ABCD为 O的
6、内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的度数是 .2.如图b，线段AB是直径，点D是 O上一点，CDB=20,过点C作 O的切线交AB的延长线于点E,则E等于 .（135CDBAPO图aOCABED图b50针对训练考点二 垂径定理 例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8mmAB解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.方法归纳 在涉及到求半径
7、r、弦长a、弦心距d、弓形高h的问题时，通常构造直角三角形来解决.h=r-d,.8CDO3.如图,AB是 O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 和36，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .（ABCDP O针对训练考点三 圆周角定理 例3 如图，O的直径AE=4cm,B=30,则AC=.ABCEO2cm解析 连接CE，则E=B=30,ACE=90所以AC=AE=2cm.方法归纳 有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.4.（多解题）如图，AB是O的直径，弦BC=2,F是弦BC的中点，ABC=60.若动点E以2cm/
8、s的速度从A点出发沿着AB A的方向运动，设运动时间为t（s)(0t3)连接EF，当t=s时，BEF是直角三角形.ABCEOF思路点拨 根据圆周角定理得到直角三角形ABC，再根据含30交点直角三角形的性质得到AB=6cm，则当0t3时，即点E从点A到点B再到点O，此时和点O不重合，若BEF是直角三角形，则BFE=90或BFE=90.针对训练考点四 点或直线与圆的位置关系 例4 如图所示，已知NON=30，P是ON上的一点，OP=5，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与P只有一个公共点，求r的值或取值范围.解：当射线OM与P相切时，射线OM与P只有一个公共点.过点P作PAOM于A，如图1所
9、示.在RtAOP中，r=PA=OPsinPOA=2.5（）.当射线OM与P相交且点O在P内时，射线OM与P只有一个公共点.如图2所示.射线OM与P相交，则r2.5 又点O在P内，则rOP，即r5 综合、可得r5.综上所述，当射线OM与P只有一个公共点时，r=2.5或r5.图1 图2 本题之类的题目中，常因混淆了“直线与圆只有一个交点”和“线段与圆只有一个交点”或“射线与圆只有一个交点”的区别.实际上，当直线与圆只有一个交点时，直线与圆一定相切，而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能是相交.方法总结5.如图，直线l：y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点
10、M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作M，当M与直线l相切时，则m的值为_ 针对训练例5 如图，以ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与O是否相切？解：BC与O相切理由：连接OD，BD，DE切O于D，AB为直径，EDOADB90.又DE平分CB，DE2(1)BCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC与O相切考点五 切线的性质与判定 6.已知：如图，PA，PB是O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度数；(2)若PA4
11、 cm，求PDE的周长针对训练解：(1)连接OA、OB、OC，O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，OAPA，OBPB，OCDE，ADCD，BECE，OD平分AOC，OE平分BOC.DOE2(1)AOB.PAOB180，P70，DOE55.(2)O分别切PA、PB、DE于A、B、C，ADCD，BECE.PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)考点六 圆内接正多边形例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF
12、都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点CC的位置，则构造出一个直角三角形ACC，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形.AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在RtACC中，得正方形ABCD外接圆的半径为正方形ABCD的边长为 当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形，为进一
13、步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.方法总结7.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的O，四边形EFGH是正方形求正方形EFGH的面积；连接OF、OG，求OGF的度数针对训练解：正六边形的边长与其半径相等，EF=OF=5.四边形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH 的面积是25.正六边形的边长与其半径相等，OFE=600.正方形的内角是900，OFG=OFE+EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF=（1800-OFG）=（1800-1500）=150.考点七 弧长和扇形面积 例7（1）一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这
14、条弧的半径为 .（2）一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.40cm120解析(1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即 及 ;还要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.8.如下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm,求：（1）扇形OAB的圆心角；（2）这个纸杯的表面积.（面积计算结果保留用）.解：（1）由题意知：AB=6，CD=4,设AOB=n,AO=Rcm,则C
15、O=（R-8）cm，由弧长变形公式得：（即解得R=24.针对训练ABCDOEF6cm4cm8cm解：（2）由（1）知OA=24cm,则CO=24-8=16cm,S扇形OCD=cm2.S扇形OAB=S纸杯侧=S扇形OAB-S扇形OCD=72-32=40，S纸杯底=4，S纸杯表=40+4=44（cm2).考点八 有关圆的综合性题目 例8 如图，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）
16、求直线AD的函数表达式.解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示.点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2）P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90.P与x轴相切.（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.AF=2CP.AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图所示.AD为P的直径，ABD=90.BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）=x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9.点A（0，9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，9），D（6，1）代入，得 解得 直线AD的函数表达式为 .圆圆的有关性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算垂径定理添加辅助线连半径，作弦心距，构造直角三角形圆周角定理添加辅助线作弦，构造直径所对的圆周角点与圆的位置关系点在圆环内：r d R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形弧长和扇形灵活使用公式课堂小结课堂小结