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1、物理课标版第4讲圆周运动中的临界问题考点一水平圆周运动的临界问题考点一水平圆周运动的临界问题1.两个物体间不发生相对滑动的临界条件:物体间静摩擦力小于等于最大静摩擦力;2.绳子不断裂的临界条件:绳中张力不超过绳子能承受的最大拉力。水平面内的很多圆周运动都存在临界状态,解答此类问题的关键是发现临界状态,找到临界条件。例如“刚好不发生相对滑动”的临界条件是静摩擦力等于最大静摩擦力、“刚好不离开”的临界条件是接触面间正压力等于零。在火车转弯处,让外轨高于内轨,如图所示,转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。设车轨间距为L,两轨高度差为h,车转弯半径为R,质量为M的火车运行时应当有多大的速度?据三角
2、形边角关系知sin=,对火车的受力情况分析得tan=。因为角很小,所以sint a n,故=,所以向心力F合=Mg。又因为F合=,所以车速v=。由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的,故火车转弯时的车速应是一个定值,否则将对铁轨有不利影响,如:(1)火 车 在 弯 道 处 的 速 度 大 于时,重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动需要的向心力,火车要挤压外侧车轨,外侧车轨受挤压发生形变产生弹力,补充不足的向心力。(2)火 车 在 弯 道 处 的 速 度 小 于时,重力和支持力的合力大于火车做圆周运动需要的向心力,火车就要挤压内侧车轨,内侧车轨受挤压发生形变产生弹力,抵消一部分重力和支持力的
3、合力。1-1(2016浙江理综,20,6分)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道,两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧,直道 与 弯 道 相 切。大、小 圆 弧 圆 心O、O距离L=100m。赛车沿弯道路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动,在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑,绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大,重力加速度g=10m/s2,=3.14),则赛车()A.在绕过小圆弧弯道后加速B.在大圆弧弯道上的速率为45m/sC.在直道上的加速度大小为5.63m/s2D.通过小圆弧弯道的时间为5.58s
4、答案答案AB赛车用时最短,就 要 求 赛 车 通 过 大、小 圆弧 时,速度都应达到允许的最大速度,通过小圆弧时,由2.25mg=得v1=30m/s;通过大圆弧时,由2.2 5mg=得v2=45m/s,B项正确。赛车从小圆弧到大圆弧通过直道时需加速,故A项 正 确。由 几 何 关 系 可 知 连 接 大、小 圆 弧的 直 道长x=50m,由匀加速直线运动的速度位移公式:-=2ax得a6.50m/s2,C项错误;由几何关系可得小圆弧所对圆心角为120,所以通过小圆弧弯道的时间t=2.79s,故D项错误。1-2(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差
5、h 的设计不仅与r有关,还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是()A.速率v一定时,r越小,要求h越大B.速率v一定时,r越大,要求h越大C.半径r一定时,v越小,要求h越大D.半径r一定时,v越大,要求h越大答案答案AD火车转弯时,圆周平面在水平面内,火车以设计速率行驶时,向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供,如图所示,则有mgtan=,据三角形边角关系知sin=,因为角很小,所以sintan,则有mg=,通过分析可知A、D正确。1-3如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30。小
6、球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1=时,求绳对小球的拉力;(2)当v2=时,求绳对小球的拉力。答案答案(1)1.03mg(2)2mg解析解析如图甲所示,小球在锥面上运动,但支持力FN=0,小球只受重力mg和绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有:甲mgtan=m=m解得:v0=(1)因为v1v0,所以小球与锥面脱离接触,设绳与竖直方向的夹角为,此时小球受力如图丙所示。根据牛顿第二定律有:FTsin=FTcos-mg=0解得:FT=2mg方法指导方法指导对临界问题的分析要做好以下几方面工作1.判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表
7、明题述的问题存在着临界点;若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态;若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。2.确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件。3.选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别对于不同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。考点二竖直圆周运动的临界问题考点二竖直圆周运动的临界问题在竖直平面内做圆周运动的物体,按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一类是无支撑
8、(如球与线连接,沿内轨道的“过山车”等),称为“线球模型”;二是有支撑(如球与杆连接,在弯管内的运动等),称为“杆球模型”。1.车过拱桥问题分析如图所示为汽车过拱桥的三种情境的比较分析:质量为m的汽车在拱桥上以速率v前进,桥面的圆弧半径为r,FN为桥面对汽车的支持力,其大小等于汽车对桥面的压力。甲为凸形桥面,乙为凹形桥面,丙为水平桥面。对甲分析,因为汽车对桥面的压力FN=m g-,所以(1)当v=时,汽车对桥面的压力FN=0;(2)当0v时,0时,汽车将脱离桥面、发生危险。对乙分析,当汽车过凹形桥面最低点时,汽车的支持力和重力的合力提供向心力。则:FN-mg=m,FN=mg+m,支持力一定大于
9、重力mg。对丙分析,汽车在水平桥面上匀速行驶,FN=mg。线球模型杆球模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg=m得v临=由小球恰能做圆周运动即可得v临=0临界分析(1)过最高点时,v,FN+mg=m,线、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点,v,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0v时,FN+mg=m,FN指向圆心并随v的增大而增大2.线球模型与杆球模型在最高点的FN-v2图像取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向2-1如图,质量为M的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直
10、面内做圆周运动。A、C点分别为圆周的最高点和最低点,B、D点是与圆心O在同一水平线上的点。小滑块运动时,物体M在地面上静止不动,则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法正确的是()A.小滑块在A点时,NMg,摩擦力方向向左B.小滑块在B点时,N=Mg,摩擦力方向向右C.小滑块在C点时,N=(M+m)g,M与地面间无摩擦D.小滑块在D点时,N=(M+m)g,摩擦力方向向左答案答案B因为轨道光滑,所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时,与轨道的作用力在竖直方向上,水平方向对轨道无作用力,所以物体M相对于地面没有相对运动趋势,即摩擦力为零;当小滑块的速度v=时,对轨道的压力为零,物体
11、M对地面的压力N=Mg,当小滑块的速度v时,对轨道的压力向上,物体M对地面的压力N(M+m)g,选项C错误。小滑块在D点时,对轨道的作用力沿水平方向向右,所以物体M对地有向右运动的趋势,地面给物体M向左的摩擦力;竖直方向上对轨道无作用力,所以物体M对地面的压力N=Mg,选项D错误。2-2(2017广西桂林金州测试)(多选)如图甲所示,一长为l的轻绳,一端穿在过O点的水平转轴上,另一端固定一质量未知的小球,整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时,绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示,重力加速度为g,下列判断正确的是()A.图线的函数表达式为F=m+mgB.重力加速度g=C.绳
12、长不变,用质量较小的球做实验,得到的图线斜率更大D.绳长不变,用质量较小的球做实验,图线b点的位置不变答案答案BD在最高点对小球受力分析,由牛顿第二定律有F+mg=m,可得图线的函数表达式为F=m-mg,故A项错误。图乙中横轴截距为b,则有0=m-mg,得g=,则b=gl,若l不变,m变小,因b与m无关,所以b不变,B、D项正确。由图线的函数表达式可知图线斜率k=,若l不变,m变小,则k减小,C项错误。2-3如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半 径 为R,小球半径为r,则下列说法正确的是()A.小球通过最高点时的最小速度vmin=B.小球通过最高点时的最小速度vmin=
13、0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力答案答案B小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即:FN-Fmg=m,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用力,C错误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,当小球速度较小时,外侧壁对小球无作用力,D错误。方法指导方法指导对于竖直面内圆周运动临界问题的解答关键是要看清楚到底是“线
14、球模型”(例如2-1和2-2都属于“线球模型”),还是“杆球模型”(例如2-3属于“杆球模型”),然后依据临界条件和相关结论准确进行动力学分析。考点三斜面内圆周运动的临界问题考点三斜面内圆周运动的临界问题物体在斜面上做非匀速圆周运动,通常分为两种情况:(1)光滑斜面问题绳子拉力与物体重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力(如下面31题);(2)倾斜转台问题静摩擦力与物体重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力(如下面32题)。对于斜面内圆周运动的临界问题要注意以下几点:(1)临界点为研究对象在运动轨迹上的势能最低点;(2)做好受力分析,研究对象在临界点受到的摩擦力指向圆心;(3)注意“不发生相对滑动
15、的条件:f静fmax”的准确应用。3-1如图所示,在倾角为=30的光滑斜面上,有一根长为L=0.8m的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2kg的小球,沿斜面做圆周运动,若要小球能通过最高点A(g=10m/s2,空气阻力不计),则小球在最低点B的最小速度是()A.2m/sB.2m/sC.2m/sD.2m/s答案答案C小球恰好通过A点,受力分析如图所示。有F向=m gsin=,则通过A点的最小速度vA=2m/s,根据机械能守恒定律得m=m+2mgLsin,解得vB=2m/s,选项C正确。3-2(2014安徽理综,19,6分)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度
16、转动,盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30,g取10m/s2。则的最大值是()A.r a d/s B.rad/sC.1.0rad/sD.0.5rad/s答案答案C当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,转盘的角速度最大,其受力如图所示(其中O为对称轴位置)由沿盘面的合力提供向心力,有mgcos30-mgsin30=m2R得=1.0rad/s,选项C正确。方法指导方法指导对于光滑斜面上物体在绳的束缚下的圆周运动问题,也可以通过等效重力的角度加以理解分析,如上面3-1题中的小球可以认为受到一个沿斜面向下的等效重力mgsin,该等效重力会产生等效重力加速度gsin。