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1、第四章第四章 三角形三角形第第 22 课时课时 解直角三角形的应用解直角三角形的应用1.（2016怀化市怀化市）在）在 RtABC 中，中，C=90，sin A=，AC=6 cm，则，则 BC 的长度为（的长度为（）A6 cm B7 cmC8 cm D9 cm2.（2015济宁市济宁市）如图，斜面）如图，斜面 AC 的坡度（的坡度（CD 与与 AD的比）为的比）为 1 2，AC=m，坡顶有一旗杆，坡顶有一旗杆 BC，旗杆，旗杆顶端顶端 B 点与点与 A 点有一条彩带相连若点有一条彩带相连若 AB=10 m，则，则旗杆旗杆 BC 的高度为（的高度为（）A5 m B6 m C8 m D(3+)mC
2、A3.（2016临夏回族自治州临夏回族自治州）如图，点）如图，点 A(3，t)在第一象在第一象限，限，OA 与与 x 轴所夹的锐角为轴所夹的锐角为，tan=，则，则 t 的值的值是是_4如图，在小山的东侧如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西点有一个热气球，由于受西风的影响，以风的影响，以 30 m/min 的速度沿与地面成的速度沿与地面成 75角的方向角的方向飞行，飞行，25 min 后到达后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山处，此时热气球上的人测得小山西侧西侧 B 点的俯角为点的俯角为 30，则小山东西两侧，则小山东西两侧 A，B 两点间两点间的距离为的距离为_m考点一：直角
3、三角形的边角关系考点一：直角三角形的边角关系180901如图，在如图，在 RtABC 中，中，C=90，A，B，C的对边分别为的对边分别为 a，b，c，则：，则：(1)三边关系：三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理）.(2)三角关系：三角关系：A+B+C=_；A+B=C=_(3)边角关系：边角关系：sin A=；cos A=；tan A=；sin B=_；cos B=_；tan B=_.考点二：解直角三角形考点二：解直角三角形2解直角三角形的概念：在直角三角形的两个锐角、解直角三角形的概念：在直角三角形的两个锐角、三条边共三条边共_元素中，已知两个（至少一个是边）元素中，已知两个（
4、至少一个是边）元素，求出其余元素，求出其余_的过程，叫做解直角三的过程，叫做解直角三角形角形.3解直角三角形的四种类型：解直角三角形的四种类型：五个五个三个元素三个元素Acsin Accos AA考点三：解直角三角形在实际应用考点三：解直角三角形在实际应用中常见的有关的名词、术语中常见的有关的名词、术语4仰角和俯角（如图仰角和俯角（如图）：在进行测量时，从下往上看，）：在进行测量时，从下往上看，_的夹角叫做仰角；从上往下看，的夹角叫做仰角；从上往下看，_的夹角叫做俯角的夹角叫做俯角.视线和水平线视线和水平线视线和水平线视线和水平线5坡度（或坡比）：我们通常把坡面的坡度（或坡比）：我们通常把坡面
5、的_和和_的比叫做坡度（或坡比），用的比叫做坡度（或坡比），用 i 表示表示._与与_的夹角叫做坡角，如图的夹角叫做坡角，如图 的的为坡角即为坡角即 i=_=_ .铅直高度铅直高度h水平宽度水平宽度l坡面坡面水平面水平面tan 6方位角（如图方位角（如图）：平面上，过观测）：平面上，过观测点点 O 作一条水平线（向右为东向）和一作一条水平线（向右为东向）和一条铅直线（向上为北向），则从条铅直线（向上为北向），则从 O 点出点出发发_的所夹的小于的所夹的小于90 的角叫做方位角如图，的角叫做方位角如图，OA是表示是表示_方向的一条射线其中方向的一条射线其中东北方向是东北方向是_，东南，东南方向是
6、方向是_，_是北偏西是北偏西45 方向，方向，_是南偏西是南偏西45 方向方向.视线与铅直线视线与铅直线北偏东北偏东60北偏东北偏东45方向方向南偏东南偏东45方向方向西北方向西北方向西南方向西南方向考点四：特别要注意的三种基本图形考点四：特别要注意的三种基本图形7看下面三个图看下面三个图.图图有结论：有结论：图图有结论：有结论：图图有结论：有结论：(1)AB=ADtan，BE=CEtan (2)DC=AE=AB-BE=ADtan-CEtan【例例 1】（2015资阳市资阳市）北京时间）北京时间 2015 年年 04 月月 25 日日14 时时11 分，尼泊尔发生分，尼泊尔发生 8.1 级强烈
7、地震，我国积极组织抢险级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作如图，某探测队在地面队赴地震灾区参与抢险工作如图，某探测队在地面 A，B 两处均探测出建筑物下方两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是线与地面的夹角分别是 25 和和 60，且，且 AB=4 m，求该生，求该生命迹象所在位置命迹象所在位置 C 的深度的深度（参考数据：（参考数据：结果精确到结果精确到1 m）分析：作分析：作 CDAB 交交 AB 的延长线于点的延长线于点 D，设，设 CD=x m.在在 RtADC 中，根据中，根据tanDAC=，求得，求得 AD=2x
8、.在在 RtBDC 中，由中，由tanDBC=即可求得即可求得 x.解：作解：作 CDAB 交交 AB 的延长线于点的延长线于点 D，设，设 CD=x m.RtADC中，中，DAC=25，tan 25=0.5.AD=2xRtBDC中，中，DBC=60，由由 ，解得，解得 x3.生命迹象所在位置生命迹象所在位置 C 的深度约为的深度约为 3 m.点评：本题考查的是构造直角三角形并解直角三角形，点评：本题考查的是构造直角三角形并解直角三角形，过点作高是构造直角三角形的常用方法过点作高是构造直角三角形的常用方法.【例例 2】（2015泸州市泸州市）如图，海中一小岛上有一个观）如图，海中一小岛上有一个
9、观测点测点 A，某天上午，某天上午 9：00 观测到某渔船在观测点观测到某渔船在观测点A的西的西南方向上的南方向上的 B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行当天上午处跟踪鱼群由南向北匀速航行当天上午9：30 观测到该渔船在观测点观测到该渔船在观测点 A 的北偏西的北偏西 60 方向上的方向上的C 处若该渔船的速度为每小时处若该渔船的速度为每小时 30 海里，在此航行过程中，海里，在此航行过程中，问该渔船从问该渔船从 B 处开始航行多少小时，离观测点处开始航行多少小时，离观测点 A 的距离的距离最近最近?（结果保留根号）（结果保留根号）分析：如右下图，首先根据题意可得分析：如右下图，首先根据题意可得PC
10、AP，然后设，然后设AP=x 海里，分别在海里，分别在RtAPC 中与中与RtAPB 中，利用正中，利用正切函数求得出切函数求得出PC与与BP的长，由的长，由PC+BP=BC=30 ，即可，即可得方程，解此方程求得得方程，解此方程求得 x 的值，再计算出的值，再计算出 BP，然后根据，然后根据时间时间=路程路程速度即可求解速度即可求解解：过点解：过点 A 作作APBC，垂足为，垂足为P，设，设AP=x 海里海里在在RtAPC中，中，APC=90，PAC=30，tanPAC=CP=APtanPAC=x(海里海里)在在RtAPB中，中，BP=AP=xPC+BP=BC=30 ，x+x=15，解得，解得 x=.PB=x=(海里海里)航行时间为航行时间为 答：该渔船从答：该渔船从 B 处开始航行处开始航行 小时，小时，离观测点离观测点 A 的距离最近的距离最近点评：此题考查了解直角三角形的应用点评：此题考查了解直角三角形的应用方向角问题、方向角问题、锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用是解题的关键，注意数形结合思想的应用