《导数与函数的极值、最值--2025年高考数学一轮复习含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数与函数的极值、最值--2025年高考数学一轮复习含答案.pdf（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题【知识点】1函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f(a)=0；而且在点x=a附近的左侧 f(x)0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f(b)=0；而且在点x
2、=b附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0,-x2-4x-1,x0,则方程 f2(x)-(k+3)f(x)+3k=0可能有()个解.A.3B.4C.5D.68(2024辽宁鞍山二模)f x=x2e-x的极大值为命题点3已知极值(点)求参数9(2024全国模拟预测)设x1,x2为函数 f x=x x-2x-a(其中a0)的两个不同的极值点，若不等式 f x1+f x20成立，则实数a的取值范围为()A.1,4B.0,4C.0,1D.4,+10(2024四川绵阳三模)若函数 f x=12ax2-x+blnx a0有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是()A.a0,b0B.a0C.ab011(20
3、24辽宁一模)已知函数 f x=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则 f 1等于12(2024全国模拟预测)已知函数 f x=lnx-x2+ax-2 aR R(1)若 f x的极值为-2，求a的值；(2)若m，n是 f x的两个不同的零点，求证：fm+n+m+n0(其中e为自然对数的底数)5命题点2含参函数的最值17(2024四川成都模拟预测)已知函数 f(x)=ex-12(a+1)x2-bx(a，bR)没有极值点，则ba+1的最大值为()A.e2B.e2C.eD.e2218(23-24高三下重庆阶段练习)若过点 a,b可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.blnaB.blna
4、C.aea19(2024全国模拟预测)函数 f x=x+2ln x+1-ax只有3个零点x1，x2，x3x1x2x33，则a+x2的取值范围是【课后强化】基础保分练基础保分练一、单选题一、单选题1(2023广西模拟预测)函数 f x=x3+ax在x=1处取得极小值，则极小值为()A.1B.2C.-2D.-12(2024四川凉山二模)若 f x=xsinx+cosx-1，x-2,，则函数 f x的零点个数为()A.0B.1C.2D.33(2024黑龙江哈尔滨一模)在同一平面直角坐标系内，函数y=f x及其导函数y=fx的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 0,1，则()A.函数
5、y=f xex的最大值为1B.函数y=f xex的最小值为1C.函数y=f xex的最大值为1D.函数y=f xex的最小值为14(2024陕西安康模拟预测)已知函数 f x=ae2x+bex+2x有2个极值点，则()A.0a0C.a2a5(2024全国模拟预测)已知函数 f x=a sinx+cosxex+x在 0,上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.0,22e4B.-,eC.0,eD.22e4,+6二、多选题二、多选题6(2024全国模拟预测)已知函数 f x=aex+bx在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则()A.ab0B.ba4e2C.4a-be20D.对于任意非零实数
6、a，总存在实数b满足题意7(2024湖北武汉模拟预测)已知各项都是正数的数列 an的前n项和为Sn，且Sn=an2+12an，则下列结论正确的是()A.当mn m，nN N*时，amanB.Sn+Sn+20且a1)(1)当a=e(e是自然对数的底)时，试讨论函数y=f(x)的单调性和最值；(2)试讨论函数y=f(x)的奇偶性；(3)拓展与探究：当k在什么范围取值时，函数y=f(x)的图象在x轴上存在对称中心？请说明理由；请提出函数y=f(x)的一个新性质，并用数学符号语言表达出来(不必证明)综合提升练综合提升练一、单选题一、单选题1(2024全国模拟预测)若函数 f x=x+1lnx-ax+1
7、是 0,+上的增函数，则实数a的取值范围是()A.-,2ln2B.0,2ln2C.-,2D.0,22(2024陕西渭南模拟预测)已知函数 f x=xex+a在区间 0,1上的最小值为1，则实数a的值为()A.-2B.2C.-1D.13(23-24高三下内蒙古赤峰开学考试)已知函数 f x=xlnx-ax有极值-e，则a=()A.1B.2C.eD.34(2024广东佛山二模)若函数 f x=alnx+4x+bx2(a0)既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是()A.a0B.b-1D.a+b085(2023甘肃兰州一模)已知函数 f x=ex+x22-lnx的极值点为x1，函数h x=lnx
8、2x的最大值为x2，则()A.x1x2B.x2x1C.x1x2D.x2x16(2024全国模拟预测)记函数y=f x的导函数为y，y的导函数为y，则曲线y=f x的曲率K=y1+y232则曲线y=lnx的曲率的极值点为()A.22B.2 33C.2 39D.237(2024北京朝阳一模)已知n个大于2的实数x1,x2,xn，对任意xii=1,2,n，存在yi2满足yi0，且极大值为0，则()A.m=2B.b=4aC.存在x0R R，使得 f x00D.直线y=3a与曲线y=f x有3个交点11(2024全国模拟预测)已知函数 f x=lna+bex-a2ex，其中e为自然对数的底数，则()A.
9、若 f x为减函数，则 f 01C.若 f 1=0，则bln2D.若 f x0，则ba三、填空题三、填空题12(2022广西模拟预测)已知函数 f x=x2+x+1ex，则 f x的极小值为.13(2023广东汕头一模)函数 f x=ax3-6x的一个极值点为1，则 f x的极大值是14(2024上海闵行二模)对于任意的x1、x2R R，且x20，不等式 ex1-x1+lnx2-x2a恒成立，则9实数a的取值范围为.四、解答题四、解答题15(2024安徽二模)已知函数 f(x)=x2-10 x+3f(1)lnx.(1)求函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)求 f(x)的单调区间
10、和极值.16(2024海南模拟预测)已知函数 f x=x2-alnx+1,aR R.(1)当a=1时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)当a0时，若函数 f x有最小值2，求a的值.1017(2024陕西西安模拟预测)已知函数 f(x)=lnxx-1e(1)求 f(x)的最大值；(2)证明：当x0时，f(x)32x2+xlnx拓展冲刺练拓展冲刺练一、单选题一、单选题1(2023湖南衡阳模拟预测)若曲线 f x=kx(k0)与g x=ex有三条公切线，则k的取值范围为()A.-1e,0B.-,-1eC.-2e,0D.-,-2e2(2023河南三模)已知函数 f(x)=x2lnx
11、，则下列结论正确的是()A.f(x)在x=1e处得到极大值-12eB.f(x)在x=e 处得到极大值e2C.f(x)在x=1e处得到极小值-12eD.f(x)在x=e 处得到极小值e23(2023湖北模拟预测)设函数 f(x)=2x3-2x，若正实数a使得存在三个两两不同的实数b，c，d满足(a,f(a)，(b,f(b)，(c,f(c)，(d,f(d)恰好为一个矩形的四个顶点，则a的取值范围为()A.0,12B.12,1C.0,33 D.33,1 4(2024湖北二模)已知函数 f x=axex+ex+1x+ex(e为自然对数的底数)则下列说法正确的是()A.函数 f x的定义域为RB.若函数
12、 f x在P 0,f 0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为e22e-2，则a=112C.当a=1时，f x=m可能有三个零点D.当a=1时，函数的极小值大于极大值二、多选题二、多选题5(2023安徽一模)已知函数 f x=x3-x xR，则()A.f x是奇函数B.f x的单调递增区间为-,-33和33,+C.f x的最大值为2 39D.f x的极值点为-33,2 39,33,-2 396(2024浙江杭州二模)过点P 2,0的直线与抛物线C：y2=4x交于A,B两点抛物线C在点A处的切线与直线x=-2交于点N，作NMAP交AB于点M，则()A.直线NB与抛物线C有2个公共点B.直线MN恒过
13、定点C.点M的轨迹方程是 x-12+y2=1 x0D.MN3AB的最小值为8 2三、填空题三、填空题7(2024全国模拟预测)函数 f x=lnx-kx2+lnx+k在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为8(2023江苏淮安模拟预测)已知函数 f x=ln2x-ax有三个零点，则a的取值范围是.四、解答题四、解答题9(23-24高三下山东菏泽阶段练习)已知函数 f x=x-1ex-ax2，aR.(1)当a=e2时，求 f x的单调区间；(2)若方程 f x+a=0有三个不同的实根，求a的取值范围1310(2024山西吕梁二模)已知函数 f x=alnx-2x-a2xa0.(1)当a=1时，求
14、 f x的单调区间和极值；(2)求 f x在区间 0,1上的最大值.1导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题【知识点】1函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f(a)=0；而且在点x=a附近的左侧 f(x)0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值 f(
15、b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f(b)=0；而且在点x=b附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0时，fx=ax+a+1ex，令 fx=0可得：x=-a+1a0，所以当x-,-a+1a时，fx0，所以，函数 f x先减后增，且当x-1a时，f x0，此时可对应；当a0，当x-a+1a,+时，fx0，所以，函数 f x先增后减，当a-1时，x=-a+1a0，且此时0-1a1，所以可对应，当-1a0，此时-1a1，所以可对应.故选：D2(23-24高三上黑龙江阶段练习)如图是函数y=f x的导函数y=fx的图象，下列结论正确的是()A.y=f x在x=-1处取得极大值B.x=1是函数
16、y=f x的极值点C.x=-2是函数y=f x的极小值点D.函数y=f x在区间-1,1上单调递减【答案】C【分析】根据导函数的正负即可求解y=f x的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当x-2时，fx0时，fx=-4x-51-12x2，令 fx=0，得x=2，当0 x2 时，fx2 时，fx0，所以当x=2 时，f x取得极小值，故选：D4(2024高三全国专题练习)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率小于零B.函数 f(x)在区间(-1，1)上单调递增C.函数 f(x)在x=1处取得极大
17、值D.函数 f(x)在区间(-3，3)内至多有两个零点【答案】D【详解】解析：由题意，得 f(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率等于零，故A错误；当x(-1，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(-1，1)上单调递减，故B错误；当-2x1时，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增，当x(-2，3)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当 f(-2)0时，f(x)在(-3，3)上有两个零点综上，函数 f(x)在区间(-3，3)内至多有两个零点，故选D.命题点2求已知函数的极值5(2024宁夏银川一模)若函数 f(x)=x2-ax-2ex在x=-2处取得极大值，则 f(
18、x)的极小值为()A.-6e2B.-4eC.-2e2D.-e【答案】C【分析】由题意求出a的值，进而求出 f x，再解出极小值即可.4【详解】因为函数 f(x)=x2-ax-2ex在x=-2处取得极大值，则 fx=x2+2-ax-2-aex，xR且 f-2=0，即4-2 2-a-2-a=0，所以a=2；所以 f x=x2-2x-2ex，fx=x2-4ex=x+2x-2ex，令 fx=0，则x=2或x=-2，由x-,-2,fx0，x-2,2,fx0，所以 f x在-,-2,2,+上单调递增，在-2,2上单调递减.所以函数 f x在x=-2处取得极大值，f极小=f 2=-2e2.故选：C.6(20
19、23全国模拟预测)函数 f x=2x-tanx-在区间-2,2的极大值、极小值分别为()A.2+1，-2+1B.-2+1，-32+1C.32-1，-2+1D.-2-1，-32+1【答案】D【分析】求出 fx，由 f(x)0可得答案【详解】由题意，得 f(x)=2-sinxcosx=2-1cos2x=2cos2x-1cos2x，当x-2,-44,2时，2cos2x-10，f(x)0，f(x)0所以 f(x)在-2,-4上单调递减，在-4,4上单调递增，在4,2上单调递减当x=-4时，f(x)取得极小值，为 f-4=-32+1；当x=4时，f(x)取得极大值，为 f4=-2-1故选：D7(多选)(
20、2024全国模拟预测)已知 f(x)=exx,x0,-x2-4x-1,x0,则方程 f2(x)-(k+3)f(x)+3k=0可能有()个解.A.3B.4C.5D.6【答案】BCD【分析】方程 f2(x)-(k+3)f(x)+3k=0得 f(x)=3或 f(x)=k，作出函数图象，数形结合判断解的个数.【详解】f(x)=exxx0，有 f(x)=exx-1x2，当0 x1时 f(x)1时 f(x)0，f(x)单调递增，当x=1时，f(x)有极小值 f 1=e.f(x)=-x2-4x-1 x0，由二次函数的性质可知，f(x)在-,-2上单调递增，在-2,0上单调递减，当x=-2时，f(x)有极大值
21、 f(-2)=3.由 f(x)=exx,x0,-x2-4x-1,x0 的图象如图所示，5由 f2(x)-(k+3)f(x)+3k=0得 f(x)=3或 f(x)=k，由图象可知 f(x)=3有3个解，f(x)=k可能有1，2，3，4个解，故方程 f2(x)-(k+3)f(x)+3k=0可能有4，5，6，7个解.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f x=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a,b上是连续不断的曲线，且 f a f b0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
22、个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点8(2024辽宁鞍山二模)f x=x2e-x的极大值为【答案】4e2【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.【详解】fx=2xe-x+x2-e-x=2x-x2e-x=-x x-2e-x，当x-,0 2,+时，fx0，故 f x在-,0、2,+上单调递减，在 0,2上单调递增，故 f x有极大值 f 2=22e-2=4e2.故答案为：4e2命题点3已知极值(点)求参数9(2024全国模拟预测)设x1,x2为函数 f x=x x-2x-a(其中a0)的两个不同的极值
23、点，若不等式 f x1+f x20成立，则实数a的取值范围为()A.1,4B.0,4C.0,1D.4,+【答案】A【分析】导函数为二次函数，x1,x2为对应的一元二次方程的两根，由 f x1+f x20，代入函数解析式，结合韦达定理化简，可解出实数a的取值范围.【详解】因为 f x=x x-2x-a，所以 fx=3x2-2 2+ax+2a又函数 f x有两个不同的极值点x1,x2，所以=4 a2-2a+40,x1+x2=2 2+a3,x1x2=2a3.解法一：由 f x1+f x20，得x31+x32-a+2x21+x22+2a x1+x20，6即 x1+x2x1+x22-3x1x2-a+2x
24、1+x22-2x1x2+2a x1+x20 将x1+x2,x1x2的值代入(*)式，得a2-5a+40，解得1a4，故选：A解法二：函数y=ax3+kx a0为奇函数，图象的对称中心为 0,0，则函数y=a x-m3+k x-m+n图象的对称中心为 m,n设g x=ax3+bx2+cx+d=a x-m3+k x-m+n，a x-m3+k x-m+n=ax3-3amx2+3am2+kx+n-am3-km，比较系数，有-3am=b3am2+k=cn-am3-km=d，解得m=-b3a,k=c-b23a,n=2b327a2-bc3a+d=g-b3a所以函数g x=ax3+bx2+cx+d a0图象的
25、对称中心为-b3a,g-b3a，即若 f x存在两个相异的极值点x1,x2，则其对称中心为点 x1,f x1和点 x2,f x2的中点，即f x1+f x22=fx1+x22由题设得 f x1+f x20，即 fx1+x220，即 f2+a30，所以a0,a+23a+23-2a+23-a0,解得1a4.故选:A10(2024四川绵阳三模)若函数 f x=12ax2-x+blnx a0有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是()A.a0,b0B.a0C.ab0【答案】C【分析】求导，构造函数g x=ax2-x+b a0，利用二次函数零点的分布，结合分类讨论以及极值点的定义即可求解.【详解】fx=a
26、x-1+bx=ax2-x+bx，令g x=ax2-x+b a0，=1-4ab，若=1-4ab0，则g x=ax2-x+b0或g x=ax2-x+b0，此时 f x单调，不存在极值点，故不符合题意，若=1-4ab0，则方程g x=ax2-x+b=0有两个实数根，由于 f x=12ax2-x+blnx a0有唯一极值点，故g x=ax2-x+b=0只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时b=0，显然满足条件，若令一个实数根为负根，则ba0，故ab0，结合选项可知，ab73或x0，当-1x73,fx0，故x=-1是极值点，故a=-2,b=-7符合题意，故 f x=x3-2x2-7x+4，故 f
27、1=-4.故答案为：-412(2024全国模拟预测)已知函数 f x=lnx-x2+ax-2 aR R(1)若 f x的极值为-2，求a的值；(2)若m，n是 f x的两个不同的零点，求证：fm+n+m+nn0，t=mn，进而构造函数g t=t-1t+1-lnt t1，利用函数的单调性进行证明即可.【详解】(1)由题知 f x的定义域为 0,+，fx=1x-2x+a=-2x2+ax+1x由 fx=0可得2x2-ax-1=0，解得x1=a-a2+84(舍去)，x2=a+a2+84，且ax2=2x22-1，f x在 0,x2上单调递增，在 x2,+上单调递减，f x有极大值 f x2=lnx2-x
28、22+ax2-2=lnx2-x22+2x22-1-2=lnx2+x22-3设h x=lnx+x2-3，则h x在 0,+上单调递增，且h 1=-2，故x2=1，即a+a2+84=1，解得a=1(2)由条件可得 f m=lnm-m2+am-2=0，f n=lnn-n2+an-2=0，两式相减，可得lnmn-m2-n2+a m-n=0，故a=m+n-lnmnm-n，fm+n+m+n=1m+n-2 m+n+a+m+n8=1m+n-lnmnm-n=1m-nm-nm+n-lnmn不妨设mn0，t=mn，则t1，要证 fm+n+m+n0，只需证明m-nm+n-lnmn0，即证t-1t+1-lnt1，则gt
29、=2t+12-1t=2t t+12t t+12=-t2+1t t+120，g t在 1,+上单调递减，g t1-11+1-ln1=0，故 fm+n+m+n1证明即可.题型二利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值命题点1不含参函数的最值13(2024陕西模拟预测)x 1,2，有a-x2lnx+x2恒成立，则实数a的取值范围为()A.e,+B.1,+C.e2,+D.2e,+【答案】C【分析】构造函数 x=-x2lnx+x2,x 1,2，求导可得函数的单调性，即可求解最值 xmax=e=e2，进而a x
30、max即可.【详解】由a-x2lnx+x2在x 1,2上恒成立，令 x=-x2lnx+x2,x 1,2，则x=-2xlnx-x+2x=-2xlnx+x=x-2lnx+1令x=0，则x=e，当x 1,e时，x0，故x在 1,e上单调递增；当xe,2时，x0，故x在e,2上单调递减；则 xe=e2，所以ae2故选:C14(2024四川模拟预测)已知 f x=x2-2x+a lnx-x，若存在x0 0,e，使得 f x00成立，则实数a的取值范围是.【答案】-1,+【分析】先用导数证明不等式x-lnx-10，然后对a-1和a-1分类讨论，即可得出结果.【详解】设g x=x-lnx，则gx=1-1x=
31、x-1x，从而当0 x1时gx1时gx0.所以g x在 0,1上递减，在 1,+上递增，故对任意x0有x-lnx=g xg 1=1，即x-lnx-10.一方面，当a-1时，由于 f 1=1-2-a=-1-a0，故存在x0=1使得 f x00成立；9另一方面，当a0，x-lnx-10)=-a-10，所以对任意x 0,e都有 f x0.综上，a的取值范围是-1,+.故答案为：-1,+.【点睛】关键点点睛：对于求取值范围问题，本质上就是要确定一个集合，使得命题成立的充要条件是参数属于该集合.故本题中我们从两个方面入手，证明了存在 x0 0,e使得 f x0 0 的充要条件是 a-1,+，即可解决问题
32、15(2024上海徐汇二模)如图，两条足够长且互相垂直的轨道l1,l2相交于点O，一根长度为8的直杆AB的两端点A,B分别在l1,l2上滑动(A,B两点不与O点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计)，直杆上的点P满足OPAB，则OAP面积的取值范围是.【答案】(0,6 3【分析】令OAB=x 0 x2，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出OAP的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设OAB=x 0 x2，则OA=ABcosx=8cosx,AP=OAcosx=8cos2x，因此OAP的面积 f(x)=12OAAPsinx=32sinxcos3x，0 x2，求导得 f(x)
33、=32(cos4x-3sin2xcos2x)=32cos4x(1-3tan2x)，当0 x0，当6x2时，f(x)0，即函数 f(x)在 0,6上递增，在6,2上递减，因此 f(x)max=f6=3232312=6 3，而 f(0)=f2=0，则00(其中e为自然对数的底数)【答案】(1)最大值为g e=1e，无最小值；10(2)证明见解析.【分析】(1)先求出函数的导数，根据导数得出函数的单调区间，从而得出函数的最值.(2)不等式转化为ex-14x3-e2-34x2-elnxx0，结合(1)知lnxx1e，从而证明：ex-14x3-e2-34x2-10，再结合导数求函数的最小值证得结果.【详
34、解】(1)由题意知g x=lnxx，定义域为 0,+，从而gx=1-lnxx2所以当x 0,e时，gx0；当x e,+时，gx0，只需证ex-14x3-e2-34x2-elnxx0由(1)知lnxx1e，从而elnxx1，当且仅当x=e时取等号下面证明：ex-14x3-e2-34x2-10设h x=ex-14x3-e2-34x2-1,x0，则hx=ex-34x2-e2-32x设H x=ex-34x2-e2-32x，则Hx=ex-32x-e2-32设F x=ex-32x-e2-32，则Fx=ex-32，故当x 0,ln32时，Fx0所以函数F x在 0,ln32上单调递减，在 ln32,+上单调
35、递增由于F 0=5-e220,F ln32=32-32ln32-e2-320，故设存在唯一的x0 ln32,2，使F x0=0，且当x 0,x0时，F x0故函数H x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增又H 0=1,H 1=e-e22+34=4e+3-2e240；当x x1,2时，H x0恒成立，即xex-14x4-e2-34x3-ef x0成立【点睛】本题第(2)问考查的是利用导数证明不等式证明时有三个关键点：一是不等式的等价变形，由第(1)问的提示可知，需要把所证明的不等式两端同时除以x，使不等式等价转11化为ex-14x3-e2-34x2-elnxx0；二是放缩法的应用，由(
36、1)知lnxx1e，从而elnxx1，此时只需再证明不等式ex-14x3-e2-34x2-10即可；三是构造函数h x=ex-14x3-e2-34x2-1，通过求导研究h x的单调性，进一步求得h x的最小值，在研究h x单调性的过程中，需要注意特殊点、端点，以及隐零点的讨论命题点2含参函数的最值17(2024四川成都模拟预测)已知函数 f(x)=ex-12(a+1)x2-bx(a，bR)没有极值点，则ba+1的最大值为()A.e2B.e2C.eD.e22【答案】B【分析】转化为 f(x)=ex-1a+1x-b0恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到b1a+1+ln a+1a+1
37、，故ba+1ln a+1+1a+12，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.【详解】函数 f x=ex-12 a+1x2-bx没有极值点，f(x)=ex-1a+1x-b0，或 f(x)0恒成立，由y=ex指数爆炸的增长性，f(x)不可能恒小于等于0，f(x)=ex-1a+1x-b0恒成立令h x=ex-1a+1x-b，则hx=ex-1a+1，当a+10恒成立，h x为R上的增函数，因为ex 0,+是增函数，-1a+1x-b-,+也是增函数，所以，此时h(x)-,+，不合题意；当a+10时，hx=ex-1a+1为增函数，由hx=0得x=-ln a+1，令hx0 x-ln a+1，h
38、x0 x0，ba+1ln a+1+1a+12，令a+1=x(x0)，u x=lnx+1x2x0，则ux=x-lnx+12xx4=-2lnx+1x3，令ux00 x1e，令ux1e，所以当x=1e时，u x取最大值u1e=e2.12故当a+1=1e，b=e2，即a=ee-1，b=e2时，ba+1取得最大值e2.综上，若函数h x没有极值点，则ba+1的最大值为e2.故选：B.【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.18(23-24高三下重庆阶段练习)若过点 a,b可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.blnaB.bl
39、naC.aea【答案】A【分析】设切点坐标为(x0,y0)，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(a,b)，关于x0的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为(x0,y0)，由于y=1x，因此切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0)，又切线过点(a,b)，则b-lnx0=a-x0 x0，b+1=lnx0+ax0，设 f(x)=lnx+ax，函数定义域是(0,+)，则直线y=b+1与曲线 f(x)=lnx+ax有两个不同的交点，f(x)=1x-ax2=x-ax2，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，
40、不合题意；当a0时，0 xa时，f(x)a时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)min=f(a)=lna+1，结合图象可知b+1lna+1，即blna.故选：A.19(2024全国模拟预测)函数 f x=x+2ln x+1-ax只有3个零点x1，x2，x3x1x2x33，则a+x2的取值范围是【答案】2,10ln23【分析】由题意对函数求导，为判断导数与零的大小关系，对导数再次求导求其最值，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，建立不等式组，可得答案.【详解】函数 f x=x+2ln x+1-ax的定义域为-1,+，则 fx=ln x+1+x+2x+1-a设g x=fx，则gx=1x
41、+1-1x+12=xx+12，所以当x-1,0时，gx0，fx单调递增，所以 fx f0=2-a当2-a0，即a2时，fx0，f x单调递增，且 f 0=0，此时 f x只有1个零点，不满足题意；13当2-a2时，由 f1ea-1=ln1ea-1+1+1ea-1+21ea-1+1-a=ea+1-2a0，fea-1=ln ea-1+1+ea-1+2ea-1+1-a=1+1ea0存在m-1,0，n 0,+，使得 fm=0，fn=0，当x-1,m n,+时，fx0；当x m,n时，fx0，f n0，由 f1ea-1=1ea-1+2ln1ea-1+1-a1ea-1=-2ae-a0，则 f x在-1,m
42、，n,+上各有1个零点，此时满足题意.所以a2，且x2=0由x30，得a2讨论，当a2时，需要利用零点存在性定理证明其满足题意，再根据x30，解出即可.4.2024北京海淀一模)已知函数 f(x)=xea-12x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)+e-2a,x(0,+)存在最大值，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)的增区间为-,2，减区间为(2,+)(2)a-1【分析】(1)对函数求导，得到 f(x)=ea-12x1-12x，再求出 f(x)0和 f(x)0对应的x取值，即可求出结果；(2)令h(x)=f(x)+e-2a，对h(x)求导，利用导数与函数单调性间的
43、关系，求出h(x)的单调区间，进而得出h(x)在(0,+)上取值范围，从而将问题转化成 2ea-1+e-2a e-2a成立，构造函数m(x)=ex-1+e-2x，再利用m(x)的单调性，即可求出结果.【详解】(1)易知定义域为R R，因为 f(x)=xea-12x，所以 f(x)=ea-12x-12xea-12x=ea-12x1-12x，由 f(x)=0，得到x=2，当x0，当x2时，f(x)2时，h(x)=xea-12x+e-2ae-2a=h(0)，当0 xh(0)，即当x(0,+)时，h(x)h(0),h(2)，所以函数g(x)=xea-12x+e-2a在(0,+)存在最大值的充要条件是
44、2ea-1+e-2a e-2a，即2ea-1+e-2a+e-2a2=ea-1+e-2a0，14令m(x)=ex-1+e-2x，则m(x)=ex-1+e-20恒成立，所以m(x)=ex-1+e-2x是增函数，又因为m(-1)=e-2-e-2=0，所以m(a)=ea-1+e-2a0的充要条件是a-1，所以a的取值范围为-1,+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，构造函数h(x)=xea-12x+e-2a，利用函数单调性得到x(0,+)时，h(x)h(0),h(2)，从而将问题转化成 2ea-1+e-2a e-2a，构造函数m(x)=ex-1+e-2x，再利用m(x)的单调性来解决问题【
45、课后强化】基础保分练基础保分练一、单选题一、单选题1(2023广西模拟预测)函数 f x=x3+ax在x=1处取得极小值，则极小值为()A.1B.2C.-2D.-1【答案】C【分析】求出函数 f(x)的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.【详解】依题意，fx=3x2+a，因为函数 f(x)在x=1处取得极小值，则 f1=3+a=0，解得a=-3，此时 fx=3x2-3=3(x+1)(x-1)，当x1时，f(x)0，当-1x1，时 f(x)0，因此函数 f(x)在-,-1,1,+上单调递增，在(-1,1)上单调递减，所以函数 f x=x3-3x在x=1处取得极小值 f(1)=-
46、2.故选：C2(2024四川凉山二模)若 f x=xsinx+cosx-1，x-2,，则函数 f x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.【详解】fx=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x-2,0时，fx0，f x单调递增，当x2,时，fx0，f 0=0，f2=2-10，f=-20恒成立，故y=f xex在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，y=f(x)ex-f(x)exex2=f(x)-f(x)ex，由图像可知x(-,0)，y=f(x)-f(x)ex0恒成立，故y=f(x)ex单调递增，当x(0,+
47、)，y=f(x)-f(x)ex0，y=f(x)ex单调递减，所以函数y=f(x)ex在x=0处取得极大值，也为最大值，f 0e0=1，C正确，D错误.故选：C4(2024陕西安康模拟预测)已知函数 f x=ae2x+bex+2x有2个极值点，则()A.0a0C.a2a【答案】A【分析】求出函数的导函数，令t=ex，依题意可得关于t的方程2at2+bt+2=0有两个不相等的正实根t1、t2，则2a00t1+t20t1t20，即可判断.【详解】函数 f x=ae2x+bex+2x的定义域为R，且 fx=2ae2x+bex+2，依题意 fx=0有两个不相等实数根，令t=ex，则关于t的方程2at2+
48、bt+2=0有两个不相等的正实根t1、t2，16所以2a0=b2-16a0t1+t2=-b2a0t1t2=1a0，所以0ab216，b0，所以g x在4,上单调递增，当x 0,4时，gx22e4，即实数a的取值范围是22e4,+，故选：D解法二由题意可得 fx=-2asinxex+1因为函数 f x在 0,上恰有两个极值点，所以 fx在0,上有两个变号零点当a0时，fx0在 0,上恒成立，不符合题意17当a0时，令h x=fx=-2asinxex+1，则hx=2 2asin x-4ex，当x4,时，hx0，h x单调递增，当x 0,4时，hx0，h x单调递减，因为h 0=h=1，h4=1-2
49、ae4，所以h4=1-2ae422e4，即实数a的取值范围是22e4,+，故选：D【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.二、多选题二、多选题6(2024全国模拟预测)已知函数 f x=aex+bx在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则()A.ab0B.ba4e2C.4a-be20D.对于任意非零实数a，总存在实数b满足题意【答案】AD【分析】根据给定条件，分类讨
50、论，逐项判断即可.【详解】由题意，得 fx=aex-bx2=ax2ex-bx2.令 fx=0，得x2ex=ba.令g x=x2ex，则gx=x x+2ex.当x-,-2 0,+时，gx0，此时g x单调递增；当x-2,0时，gx0，此时g x单调递减.g-2=4e2,g 0=0，当x-时，g x0，当0ba4e2时，f x在定义域内既存在极大值点又存在极小值点.故A正确，B不正确.当a0时，由0ba4e2知，当b0时，4a-be20，故C不正确.对于任意非零实数a，总存在实数b，使得0ban m，nN N*时，amanB.Sn+Sn+22Sn+1C.数列 S2n是等差数列D.Sn-1Snlnn