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1、1热点：关于立体图形的等积变形问题热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。一、填空题。1 在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。2 把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。3 一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。如果把容器如图2那样放置，那么水的高度是()cm。4 甲图是由1立方厘米的小正方体堆成的一个大长方体，把甲图推倒后，再利
2、用这一堆小正方体在乙图这样的“地基”上往上堆成一栋“大楼”。这栋“大楼”有()层。5 一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为2厘米的正方形，如果把它捏成圆锥，这个圆锥的体积是()立方厘米。6 将一个底面积3.14平方厘米，高是2厘米的圆柱形容器装满水，倒入一个圆锥形容器中，刚好装满，已知圆锥形容器的底面半径是2厘米，这个圆锥形容器的高是()厘米。7 用同一块橡皮泥捏成棱长为4厘米的正方体，后捏成一个长为2厘米，宽4厘米的长方体，这个长方体的高为()厘米。8 一个圆柱形橡皮泥，底面积是30cm2，高是12cm。(1)如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是()cm。(2)如果把它捏成同样
3、高的圆锥，这个圆锥的底面积是()cm2。9 一个正方体水箱，棱长1米，里面盛满了水，如果把水全部倒入一个长为20分米，宽为10分米的长方体水箱里，水深()分米。10 一个圆锥形碎石堆，底面周长是62.8米，高是0.9米，将这堆碎石铺在10米宽的公路上，厚度为6厘米，能铺()米。二、解答题二、解答题热点：关于立体图形的等积变形问题热点：关于立体图形的等积变形问题-2024年小升初数学（解析版）年小升初数学（解析版）211把一块棱长是6分米的正方体钢锭熔铸成一个长为1.2米，宽为6分米的长方体钢柱，这根钢柱的高是多少分米？12一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截
4、面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少米？13中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据 管子 记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60厘米的正方体铁块，锻铸成一个长25厘米，宽16厘米的长方体铁棒，这个长方体铁棒的高是多少厘米？14有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是30厘米，宽是26厘米，高是20厘米，平放时水面高14厘米(下图)。如果把这个容器竖起来放(下图)，水的高度会是多少厘米？15一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5高。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？16把一块长15分米、宽8分米、高20分米的长方体钢坯熔铸成一块底面周长是18.84分
5、米圆柱体，这块圆柱体的高是多少？(得数保留整数)17把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12分米的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？318把一块长方体铁块熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形铁块。这个圆柱形铁块的高是多少？19把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？20把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？(损耗不计)21如图(单位：厘米)，一个密封的容器中有一部分水。如果把它
6、的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？22如图所示，圆柱形容器甲是空的，正方形容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？1热点：关于立体图形的等积变形问题热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。一、填空题。1在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。【答案】0.9【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是=长宽高。放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。但是底面积发生可改变。现在水的高度=
7、水的体积底面积。注意：求的是水位上升的高度。水位上升的高度=现在水的高度-开始水的高度。【详解】2093.6=648(立方分米)209-66=180-36=144(平方分米)648144=4.5(分米)4.5-3.6=0.9(分米)则水位上升了0.9米。2把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。【答案】32301.44【分析】根据题意可知，把一个圆柱体铁块熔铸成一个圆锥体，铁块的形状变了，但体积不变；先根据圆柱的体积公式V=r2h，求出这个铁块的体积，也就是圆锥的体积；再根据圆锥的高h=3VS，求出这个圆
8、锥体的高。【详解】铁块的体积：3.14426=3.14166=50.246=301.44(立方分米)圆锥的底面积：3.1432=3.149=28.26(平方分米)圆锥的高：301.44328.26=904.3228.26=32(分米)这个圆锥体的高是32分米，体积是301.44立方分米。3一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。如果把容器如图2那样放置，那么水的高度是()cm。2【答案】5【分析】两种放置状态下水的体积不变。长方体的体积=长宽高，据此先根据图1求出水的体积，即101010=1000(cm3)；由长方体的
9、体积公式可推导出：高=长方体的体积长宽，据此再用10002010求出图2中水的高度。【详解】1010102010=10002010=5010=5(cm)所以如果把容器如图2那样放置，那么水的高度是5cm。【点睛】明确图1和图2中水的体积相等是解决此题的关键。4 甲图是由1立方厘米的小正方体堆成的一个大长方体，把甲图推倒后，再利用这一堆小正方体在乙图这样的“地基”上往上堆成一栋“大楼”。这栋“大楼”有()层。【答案】9【分析】观察图形可知，甲图的长方体的长是4个小正方体，宽是3个小正方形体，高是3个小正方体，根据长方体的体积公式：体积=长宽高，代入数据，计算出甲图的小正方体的个数，也就是甲图的体
10、积，由于体积不变；乙图的长是2个小正方体，宽是2个小正方体，根据：高=体积(长宽)，代入数据，即可求出这栋“大楼”的高，也就是有多少层，据此解答。【详解】433(22)=1234=364=9(层)把甲图推倒后，再利用这一堆小正方体在乙图这样的“地基”上往上堆成一栋“大楼”。这栋“大楼”有 9层。【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键。5 一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为2厘米的正方形，如果把它捏成圆锥，这个圆锥的体积是()立方厘米。【答案】6.28【分析】根据题意，一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为2厘米的正方形，说明圆柱的底面直径和高都等于2厘米；如果把它捏成
11、圆锥，形状变了，但橡皮泥的体积不变；根据圆柱的体积公式V=r2h，代入数据计算即可求解。3【详解】3.14(22)22=3.1412=6.28(立方厘米)这个圆锥的体积是6.28立方厘米。【点睛】本题考查圆柱的特征以及圆柱体积公式的运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。6将一个底面积3.14平方厘米，高是2厘米的圆柱形容器装满水，倒入一个圆锥形容器中，刚好装满，已知圆锥形容器的底面半径是2厘米，这个圆锥形容器的高是()厘米。【答案】1.5【分析】圆柱的底面积3.14平方厘米，高是2厘米，根据圆柱的体积公式：V=Sh，代入数据即可求出圆柱的体积。倒入一个圆锥形容器中，刚好装满，
12、说明体积不变，再根据圆锥的体积公式，即可求出这个圆锥形容器的高。【详解】3.142=6.28(立方厘米)6.28133.1422=6.28133.144=6.28133.144=6.2833.144=18.843.144=1.5(厘米)即这个圆锥形容器的高是1.5厘米。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。7用同一块橡皮泥捏成棱长为4厘米的正方体，后捏成一个长为2厘米，宽4厘米的长方体，这个长方体的高为()厘米。【答案】8【分析】根据题意，先把一块橡皮泥捏成正方体，后又把这块橡皮泥捏成长方体，形状变了，但这块橡皮泥的体积不变；先根据正方体的体积=棱长棱长棱长，求出这块橡皮泥
13、的体积；再根据长方体的体积=长宽高可知，长方体的高=体积(长宽)，代入数据计算即可求解。【详解】橡皮泥的体积：444=64(立方厘米)长方体的高：64(24)=648=8(厘米)这个长方体的高为8厘米。【点睛】本题考查正方体的体积、长方体的体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。8一个圆柱形橡皮泥，底面积是30cm2，高是12cm。(1)如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是()cm。(2)如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是()cm2。4【答案】(1)36(2)90【分析】(1)根据圆柱的体积公式：底面积高；求出圆柱的体积，由于捏成同样底面大小的
14、圆锥，那么圆柱的体积和圆锥的体积相等，根据圆锥的体积公式：底面积高13，把数代入即可求出圆锥的高；(2)用圆柱的体积乘3再除以12即可求出圆锥的底面积。【详解】(1)3012330=3030123=36(cm)这个圆锥的高是36cm。(2)3012312=3031212=901=90(cm2)这个圆锥的底面积是90cm2。【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。9一个正方体水箱，棱长1米，里面盛满了水，如果把水全部倒入一个长为20分米，宽为10分米的长方体水箱里，水深()分米。【答案】5【分析】先将1米化为10分米，然后根据正方体的体积=棱长棱长棱长，用1010
15、10求出水的体积，再根据长方体的体积=长宽高，用水的体积2010即可求出长方体水箱里水的深度。【详解】1米=10分米101010=1000(立方分米)10002010=5(分米)水深5分米。【点睛】本题考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。10一个圆锥形碎石堆，底面周长是62.8米，高是0.9米，将这堆碎石铺在10米宽的公路上，厚度为6厘米，能铺()米。【答案】157【分析】先根据圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径，再利用“V圆锥=13r2h”表示出这堆碎石的体积，最后根据“a=V长方体bh”求出这堆碎石可以铺路的长度，据此解答。【详解】6厘米=0.06米62.83.1
16、42=202=10(米)130.93.14102100.06=0.33.14100100.06=0.942100100.06=9.420.06=157(米)5所以，能铺157米。【点睛】熟练掌握圆锥和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。二、解答题二、解答题11把一块棱长是6分米的正方体钢锭熔铸成一个长为1.2米，宽为6分米的长方体钢柱，这根钢柱的高是多少分米？【答案】3分米【分析】根据1米=10分米，高级单位转化为低级单位乘进率，将1.2米化成12分米；正方体的体积=棱长棱长棱长，据此求出正方体钢锭的体积，熔铸成长方体后体积不变，根据长方体的体积=长宽高，则高=体积长宽，代入求解即可。【详解
17、】1.2米=12分米666126=366126=216126=186=3(分米)答：这根钢柱的高是3分米。12一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少米？【答案】2.4米【分析】根据正方体体积公式：体积=棱长棱长棱长，代入数据，求出棱长是6分米的长方体的体积，由于体积不变，根据正方形面积公式：面积=边长边长，代入数据，求出锻造成长方体的横截面的面积，也就是长方体的底面积；再根据长方体体积公式：体积=底面积高；高=体积底面积，代入数据，即可解答。【详解】666(33)=3669=2169=24(分米)24分米=2.4米答：这
18、根钢材长2.4米。13中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据 管子 记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60厘米的正方体铁块，锻铸成一个长25厘米，宽16厘米的长方体铁棒，这个长方体铁棒的高是多少厘米？【答案】540厘米【分析】根据正方体体积=棱长棱长棱长，求出铁块体积，再根据长方体的高=体积底面积，列式解答即可。【详解】606060(2516)=216000400=540(厘米)答：这个长方体铁棒的高是540厘米。14有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是30厘米，宽是26厘米，高是20厘米，平放时水面高14厘米(下图)。如果把这个容器竖起来放(下图)，水的高度会是多少厘米？6【答案】
19、21厘米【分析】根据题意可知：平放和竖放容器内的水的体积没变，只是水在容器内体积的形状改变了；先根据长方体的体积公式：体积=长宽高，求出容器内水的体积，然后用体积除以竖放时容器的底面积，列式解答即可。【详解】302614(2026)=78014520=10920520=21(厘米)答：水的高度会是21厘米。【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键。15一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5高。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？【答案】117.75米【分析】根据圆锥的体积公式：体积=底面积高13，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，把铺公路看作一个
20、长方体，长方体的体积等于圆锥形沙堆的体积，根据长方体体积公式：体积=长宽高，长=体积(宽高)，代入数据，即可解答。【详解】2厘米=0.02米28.262.513(100.02)=70.65130.2=23.550.2=117.75(米)答：能铺117.75米。【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。16把一块长15分米、宽8分米、高20分米的长方体钢坯熔铸成一块底面周长是18.84分米圆柱体，这块圆柱体的高是多少？(得数保留整数)【答案】85分米【分析】根据长方体体积=长宽高，求出钢坯体积，确定圆柱底面半径，根据圆柱的高=体积底面积，列式解
21、答即可，结果用四舍五入法保留近似数。【详解】15820=2400(立方分米)18.843.142=3(分米)2400(3.1432)=2400(3.149)=240028.2685(分米)7答：这块圆柱体的高是85分米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆柱体积公式。17把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12分米的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？【答案】141.3平方分米【分析】已知圆柱形钢材的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V=r2h，求出这根钢材的体积；再把这根钢材熔铸成一个圆锥，钢材的形状变了，但体积不变；根据圆锥的体积公式V=13Sh可知，
22、圆锥的底面积S=3Vh，代入数据计算，即可求出这个圆锥的底面积。【详解】钢材的体积：3.14(122)25=3.14365=565.2(立方分米)圆锥的底面积：565.2312=1695.612=141.3(平方分米)答：熔铸成的这个圆锥的底面积是141.3平方分米。【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。18把一块长方体铁块熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形铁块。这个圆柱形铁块的高是多少？【答案】18分米【分析】根据长方体体积=长宽高，求出铁块体积，再根据圆柱的高=体积底面积，列式解答即可。【详解】18.8486=904.32(立方分米
23、)904.32(3.1442)=904.32(3.1416)=904.3250.24=18(分米)答：这个圆柱形铁块的高是18分米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆柱体积公式。19把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？【答案】4厘米【分析】由题意可知：圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的体积=长宽高”求出长方体铁块的体积；再根据“正方体的体积=棱长棱长棱长”求出正方体铁块的体积；再8用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积；最后根据“圆锥的
24、高=圆锥的体积13底面积”求出圆锥的高。【详解】1.2平方分米=120平方厘米843+444=96+64=160(立方厘米)16013120=1603120=480120=4(厘米)答：高是4厘米。【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁块的形状发生了变化，但体积不变。20把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？(损耗不计)【答案】50厘米【分析】根据正方体的体积公式：V=a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V=abh，代入数据即可求出这个长
25、方体铁块的长。【详解】4.5分米=45厘米1.2分米=12厘米303030(4512)=27000540=50(厘米)答：这个长方体铁块的长是50厘米。【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。21如图(单位：厘米)，一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【答案】14厘米【分析】根据长方体的体积=长宽高，用35228即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积2220即可求出现在水面的高度。【详解】35228=6160(立方厘米)61602220
26、=14(厘米)答：水面的高是14厘米。9【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。22如图所示，圆柱形容器甲是空的，正方形容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？【答案】8厘米【分析】根据长方体的体积公式：长宽高，把数代入公式即可求出水的体积；由于把这些水倒入圆柱形容器，那么水的体积不变，根据圆柱的提交公式：底面积高，即用水的体积圆柱的底面积=水深，把数代入即可求解。【详解】10106.28=628(立方厘米)6283.14(102)2=6283.1452=6283.1425=62878.5=8(厘米)答：这时水深是8厘米。【点睛】本题主要考查长方体的体积公式以及圆柱的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。