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1、 第 1 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司【新结构】【新结构】2024 届安徽省鼎尖名校联盟高三届安徽省鼎尖名校联盟高三 5 月第三次联考数学试卷月第三次联考数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知果合，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为()A.B.C.D.2.已知某地区高中生的身高 X 近似服从正态分布，若，则()A.B.C.D.3.若，则()A.B.C.D.4.直线与圆的公共点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 5.已知为等比数列，是它的前 n 项和若，且与的等差中项为，则(
2、)A.29 B.31 C.33 D.35 6.已知圆台的上、下底面积分别为，体积为，线段 AB，CD分别为圆台上、下底面的两条直径，且 A，B，C，D 四点不共面，则四面体 ABCD的外接球表面积为()A.B.C.D.7.已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，且，则 第 2 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司()A.B.C.D.8.已知抛物线与直线交于 M，N 两点，点 P 在线段 MN上，且，若点在直线 OP 上，则()A.B.C.D.二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
3、分。9.若复数，是方程的两根，则()A.，实部不同 B.，虚部不同 C.D.在复平面内所对应的点位于第三象限 10.已知中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其中，则()A.B.的外接圆面积为 C.若，则 D.若，则 11.已知函数其中，且，则()A.B.函数有 2个零点 C.D.第 3 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.的展开式中的系数为_.13.已知四棱锥的底面 ABCD为矩形，其中，点平面 ABCD，点M，N 分别在线段 AB，SD上 不含端点位置，其中，则四面体 CBMN的体积最大值为_.14.我们把
4、焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“友好曲线”.已知，为一对“友好曲线”的左、右焦点，M 为两者在第一象限的交点，当时，这一对“友好曲线”中双曲线的离心率为_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题 13分 已知函数 求曲线在处的切线方程;若，求函数在上的最值.16.本小题 15分 近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某地区中学生 包含初中生与高中生 对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运
5、动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 在犯错误的概率不超过小概率值的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取 4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求 X 的分布列以及数学期望 参考公式：，其中 参考数据：第 4 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 17.本小题 15分 如图，已知四棱锥中，点 S 在平面 ABCD内的投影为点 A，求证：平面平面 若平面 SAB与平面 SCD所成角的正弦值为，求 SA 的值.18.本小题 17分 已知椭圆的长轴长为 4，左，右焦点分别为，上顶点为 A，其中直线的斜率为 求
6、椭圆 C 的标准方程;已知直线 l与椭圆 C 交于 M，N 两点，若原点到直线 l的距离为 1，求周长的取值范围.19.本小题 17分 已知数列的前 n 项和为，若数列满足：数列为有穷数列;数列为递增数列;，使得 则称数列具有“和性质”.已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论 若首项为 1 的数列具有“和性质”.比较与的大小关系，并说明理由;第 5 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 若数列的末项为 36，求的最小值.第 6 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分
7、析】本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题.由条件求出集合 A 和 B，再由结合运算即可得解.【解答】解：由图可知，阴影部分表示的集合的元素为集合 A 中的元素除去掉集合的元素构成，而，故所求集合为，故选 2.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查正态分布的概率计算，属于基础题 根据题意利用正态曲线的对称性进行解答即可，【解答】解：依题意，故选 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查比较大小、涉及对数函数的性质，属于基础题.根据对数函数的性质，可比较 a，b，然后 a，c再与 2比较大小，可得结果.【解答】解：依题意，故而，故，故选 4.【答案】C 【解析】【分析】第 7 页，共 18
8、页 学科网（北京）股份有限公司 本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点即可判定.【解答】解：直线 l过定点，而又在圆 C上，而直线 l的斜率显然存在，故公共点的个数为 2，故选：5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属于中档题 由题意可得，联立可解得，进而即可求解的值【解答】解：设等比数列的公比为 q，与的等差中项为，即 联立可解得，故选 6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆台的体积、球的表面积、球的切、接问题，属于一般题.利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据 四面体 ABC
9、D的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果.第 8 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：依题意，设圆台 的高为 h，则 ，解得 四面体 ABCD的外接球即为圆台 的外接球，设其半径为 R，球心为 O，由已知易得圆台 的上、下底面圆半径分别为，则，故，解得，故，故四面体 ABCD的外接球表面积为 7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了五点法作图和两角和与差的余弦公式，属于中档题.利用五点法作图，结合函数的图象得、和，再利用两角差的余弦公式，计算得结论.【解答】解：因为，所以，而，因此，即 因为，所以由“五点法”作图得：，解得，因此 因为，
10、所以，因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，所以由和得：，第 9 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 因此 8.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题.设直线 OM，ON 的方程分别为，由点到直线 OM的距离为 r，得，设，则，故，将直线 l与抛物线联立，由韦达定理可得 k 的值.【解答】解：已知直线，设直线 OM，ON的方程分别为，记点到直线 OM 的距离为 r，则，整理得，同理可得，故，是方程的两根，故，设，则，故，联立 故，故，则，故，解得，故选 9.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查复数集内解方程、复数的模及其几何意义、共轭复数、复数的
11、代数表示及其几何意义、复数的除法运算，属于一般题.方程可化为，求出，再对各选项逐项判定，即可求出结果.第 10 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：方程可化为，故，则，是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，故 A错误，B 正确;而，故 C 正确;，故在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故 D错误.故选 10.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题.先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得，则，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【解答】解：依题意，则，由正弦定理，因为，且，故，故，因为，故，故 A错误;
12、则，故其外接圆面积为，故 B 正确;而，记，所以，在中，由正弦定理，即，在中，由余弦定理，故，解得，第 11 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 因为，则，故 C、D 正确;故选 11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了分段函数和函数零点，是中档题.先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.【解答】解：，故 A正确;作出函数的图象如图所示，观察可知，而，故，有 3个交点，即函数有 3 个零点，故 B错误;由对称性，而，故，故 C 正确;b，c是方程的根，故，令，则，故，而，均为正数且在上单调递增，故，故 D 正确，故选 12.【答案】【解析】【分析】第 12 页，共 18 页 学
13、科网（北京）股份有限公司 本题主要考查二项展开式中指定项的系数，属于基础题 由题意利用乘方的几何意义，二项展开式的通项公式，求出展开式中含的项，可得结论【解答】解：要想产生，则出 1个，出 2 个，y出 2 个，故所求系数为 13.【答案】【解析】【分析】本题考查了棱锥的体积，是中档题.设，其中，计算四面体 CBMN的体积，再研究最值即可.【解答】解：在 AD上取点 G，使得，由，设，其中，由，平面 ABCD，可得，因为，故平面 ABCD，在中，则，则的面积为，故，当且仅当时等号成立.14.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆、双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，同时考查了余弦定理，属于较
14、难题 分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，双曲线的实半轴长为 a，双曲线的离心率为 e，则，设，则，第 13 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 当点 M 被看作是椭圆上的点时，有，当点 M 被看作是双曲线上的点时，有，两式联立消去 xy 得，即，所以，又，所以，整理得，解得或舍去，所以，即双曲线的离心率为 15.【答案】解：依题意，故，而，故切点为，则所求切线方程为 由可知，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，而，故所求最大值为，最小值为 【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与
15、单调性关系的简单应用，属于中档题 利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；利用导数与函数单调性间的关系，求出 和 的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.16.【答案】解：零假设不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则，故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;依题意，X，第 14 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司，故 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 则 【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题.先得
16、出，对照临界值表可得结论；依题意，X，得出对应概率，可得 X的分布列以及数学期望 17.【答案】解：设 BC 中点为 E，连接 AE，因为，且，故四边形 ADCE为正方形，而，所以，所以，因为平面 ABCD，平面 ABCD，所以，又 SA，平面 SAB，所以平面 SAB，因为平面 SAC，所以平面平面 以 A 为坐标原点，AE、AD、AS 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，设平面 SCD的法向量为，第 15 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 则即 令，所以，由知，平面 SAB的法向量为，则，解得 【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面
17、所成角的向量求法，是中档题.先证明平面 SAB，由面面垂直的判定即可得证；建立空间直角坐标系，设，得出平面 SCD的法向量和平面 SAB的法向量，利用空间向量求解即可.18.【答案】解：依题意，联立三式，解得，故椭圆 C 的方程为 设，则，同理可得，易知直线 l与单位圆相切，设切点为 B，同理可得，第 16 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 故的周长为，当直线 l的斜率不存在时，l的方程为或，此时的周长为 4或；当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为，则原点到直线 l的距离，故，联立化简可得，故，易知，故，同号;当时，即，此时点 M 在 y轴右侧，所以，此时的周长为为定值;当时，即
18、，此时点 M 在 y轴左侧，所以，此时的周长为 ，因为，故，当且仅当或时取等号，从而，故的周长的取值范围为 综上所述，的周长的取值范围为 【解析】本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，是较难题.由条件联立方程组，解出可得椭圆 C的标准方程;第 17 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 设，易得的周长为，再分直线 l的斜率不存在和存在，两种情况求解计算即可.19.【答案】解：因为，所以当时，；当时，而当时，满足，因此数列的通项公式为 该数列具有“和性质”.因为首项为 1的数列具有“和性质”，所以，使得，且，因此，所以 因此，所以将上述不等式相加得：，即 因为，所以，因此 因为
19、数列具有“和性质”，所以由得：，因此数列中的项均为整数.构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，因此这两个数列具有“和性质”，此时 下面证明的最小值为 75，即证明不可能存在比 75 更小的 假设存在性显然，因为满足的数列只有有限个 第一步：首先说明有穷数列中至少有 7个元素.设有穷数列中元素组合的集合为 A，由知：，而，因此，所以 第二步：证明，若，设 因为，所以为了使得最小，则在数列中一定不含有，使得，因此 假设，根据“和性质”，对，有，使得 显然，因此，第 18 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 所以由有穷数列中至少有 7 个元素得：集
20、合 A中至少还有 4个不同于，的元素，因此，与矛盾，所以，且 同理可证：根据“和性质”得：存在、，使得 我们需要考虑如下几种情形：当，时，至少还需要一个大于等于 4的，才能得到 8，因此 当，时，至少还需要一个大于 4的，才能得到 7，则；当，时，此时为：1，2，3，6，9，18，36，因此；当，时，此时为：1，2，4，5，9，18，36，因此；综上所述，的最小值为 【解析】本题考查了数列的前 n 项和及与的关系和数列的新定义问题，属于难题.利用数列的前 n 项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断；利用题目所给定义得，再利用数列的前 n项和得结论；构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36 或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比 75 更小的，从而得结论.