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1、第第2 2讲函数与方程思想、数形结合思想讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想-3-高考对函数与方程思想的考查频率较高,在高考的各题型中都有体现,特别在解答题中,从知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查.-4-5-应用一应用二应用三应用一应用一函数与方程思想在解三角形中的应用函数与方程思想在解三角形中的应用例1(2017辽宁沈阳一模,文11)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1 m,且AC比AB长0.5 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(D )-6-应用一应用二应用三解析:设BC的长度
2、为x m,AC的长度为y m,思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现;方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.-7-应用一应用二应用三突破训练突破训练1(1)(2017河北邯郸一模,文5)已知ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则SABC等于(C )解析:由于ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且内角和等于180,B=60.在ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,即7=4+BD2-2BD,BD=3或-1(舍去),可得BC=6,-
3、8-应用一应用二应用三(2)在ABC中,D为BC边上一点,DC=2BD,AD=,ADC=45,若AC=AB,则BD等于(C )解析:在ADC中,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos 45-9-应用一应用二应用三应用二应用二函数与方程思想在不等式中的应用函数与方程思想在不等式中的应用例2当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是-6,-2.-10-应用一应用二应用三综上,实数a的取值范围是-6,-2.思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.2.函数f(x)0或f(x)0或f(x)max0;已知恒成立
4、求参数范围可先分离参数,再利用函数最值求解.-11-应用一应用二应用三突破训练突破训练2设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是(-,-3)(0,3).解析:设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x0,所以当x0时,F(x)也是增函数.可知F(x)的大致图象如图.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3),所以,由图可知F(x)0的解集是(-,-3)(0,3).-12
5、-应用一应用二应用三应用三应用三函数与方程思想在数列中的应用函数与方程思想在数列中的应用例3已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,S7=70,且a1,a2,a6成等比数列.(1)求数列an的通项公式;-13-应用一应用二应用三故数列bn的最小项是第4项,该项的值为23.思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.-14-应用一应用二应用三A.-3B.-1C.3D.1-15-函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.