《2024届江苏省南通市高三下学期高考适应性考试(三)数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届江苏省南通市高三下学期高考适应性考试(三)数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司江苏省南通市江苏省南通市 2024 届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题一、単项选择题（本大题共一、単项选择题（本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1.已知集合21,2,3,4,log(1)2ABxx=-,则集合AB的子集个数为（）A.32B.16C.8D.42.在梯形 ABCD 中,/ABCD,且2ABCD=,点M是 BC 的中点,则AM=uuuu r（）A.2132ABAD-
2、uuu ruuurB.1223ABAD+uuu ruuurC.12ABAD+uuu ruuurD.3142ABAD+uuu ruuur3.721x xx-的展开式的常数项为()A.-21B.-35C.21D.354.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m,4m,侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为（）A.328 7m3B.328 7mC.328mD.320 7m35.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点(2,1)M为抛物线2:2(0)E xpy p=上一点,若抛物线E在点M处的切线恰好与圆22:()2(0)C xybb+-=相切,则b=（）A.2-B.-2C.
3、-3D.-46.已知40,sin(),tantan225pbaabab+,则实数a的取值范围是（）A.(,1)(3,)-+B.(,3)(1,)-+C.(3,1)-D.(1,3)-二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每个小题给出的选项中在每个小题给出的选项中,有多项符有多项符公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司合题目要求、全部选对的得合题目要求、全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分)9.已知12,z z都是复数,下列正确的是（）A.若12zz=,则1 2z z
4、RB.若1 2z z R,则12zz=C、若12zz=,则2212zz=D.若22120zz+=,则12zz=10.在数列 na中,若对*n N,都有211nnnnaaqaa+-=-(q为常数),则称数列 na为“等差比数列”,q为公差比,设数列 na的前n项和是nS,则下列说法一定正确的是()A.等差数列 na是等差比数列B.若等比数列 na是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同C.若数列 nS是等差比数列,则数列1na+是等比数列D.若数列 na是等比数列,则数列 nS等差比数列11.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D-中,点E是棱1BB的中点,点F在底面 ABCD 内运动
5、(含边界),则()A.若F是棱 CD 的中点,则/EF平面1ABDB.若EF 平面11AC E,则F是 BD 的中点C.若F在棱 AD 上运动(含端点),则点 F 到直线1AE的距离最小值为4 55D.若F与B重合时,四面体11AC EF的外接球的表面积为19三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.)12.已知函数2,0,()sin 2,0,6xxf xxxp的右顶点,上顶点,若C的离心率为32,且O到直线 AB 的距离为255.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点(2,1)P的直线l与椭圆C交于 M,N 两点,其中点M在第一象限,点N在x
6、轴下方且不在y轴上,设直线 BM,BN 的斜率分别为12,k k.求证:1211kk+为定值,并求出该定值;设直线 BM 与x轴交于点T,求BNTV的面积S的最大值.19.(本小题满分 17 分)已知函数()ecosxf xaxx=-,且()f x在0,)+上的最小值为 0.(1)求实数a的取值范围;(2)设函数()yxj=在区间D上的导函数为()yxj=,若()1()xxxjj对任意实数xD恒成立,则称函数()yxj=在区间D上具有性质S.求证:函数()f x在(0,)+上具有性质S;记1()(1)(2)()nip ippp n=L,其中*nN,求证:111sin(1)niiin n=+.公
7、众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2024 年高考适应性考试（三）年高考适应性考试（三）数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDBACBAA二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目
8、要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分有选错的得分，部分选对的得部分分有选错的得 0 分）分）题号91011答案ADBCDACD三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）1222 13352-143 21nn+四解答题（本大题共四解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）（1）证明：取 AE 的中点 N，连结 DN，FN在AEB 中，M，N 分别是 EB，EA 的中点，所以 MNAB，且 AB2MN在正方形 ABCD
9、中，ABCD，且 ABCD，又点 O1是 CD 的中点，所以 O1DAB，且 AB2O1D所以 MNO1D，且 MNO1D，所以四边形 MNDO1是平行四边形，3 分所以 O1MDN又 DN平面 ADE，O1M平面 ADE，所以 O1M平面 ADE 6 分（2）解：因为 AB 是圆 O 的直径，E 是AB 的中点，且 AB4，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以 OEOB，且 OEOAOB2以 O 为坐标原点，以 OE，OB，OO1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz依题意，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，B(0，2，0)，E(2，0，
10、0)，M(1，1，0)，A(0，2，0)，D(0，2，4)7 分所以11 14O M=-uuuuu r，10 2 0DO=uuuu r，12 04O E=-uuuu r，设1111nxyz=uu r，是平面 O1MD 的法向量，则111100nO MnDO=uu r uuuuu ruu r uuuu r，即11114020 xyzy+-=，取 x14，得 y10，z11，所以14 0 1n=uu r，是平面 O1MD 的一个法向量 9 分设2222nxyz=uu r，是平面 O1ME 的法向量，则212100nO MnO E=uu r uuuuu ruu r uuuu r，即222224024
11、0 xyzxz+-=-=，取 x22，得 y22，z21，所以22 2 1n=uu r，是平面 O1ME 的一个法向量11 分所以12122222221242021 13 17cos17401221nnnnnn+=+uu r uu ruu r uu ruu ruu r，设二面角 DO1ME 的大小为，据图可知，123 17coscos17nn=uu r uu r，q，所以二面角 DO1ME 的余弦值为3 1717 13 分16（本小题满分 15 分）解：（1）假设 H0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关根据题意，由 22 列联表中的数据，可得224012 108 10400.40403.8412
12、02022 1899c-=，故cos3sinAA=-，即3tan3A=-，又0 A，所以56A=6 分（2）法一：因为 D 是边 BC 的中点，2a=，所以 BDCD1在ABD 中，ABAD，则 ADBDsinBsinB 8 分在ACD 中，CAD5623，C56B6B，CD1，据正弦定理可得，sinsinCDADCADC=，即1sinsin36ADB=-，所以2sin63ADB=-11 分所以2sinsin63BB=-，即313sincossin222BBB=-，所以cos2 3sinBB=，13 分又22sincos1BB+=，0 B，所以22sin2 3sin1BB+=，解得13sin1
13、3B=，所以1313AD=15 分法二：因为 D 是边 BC 的中点，故 SABDSACD，所以11sin22c ADb ADDAC=，即115sin 226c ADb AD=-，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司整理得32cb=10 分在ABC 中，据余弦定理得，2222cosabcbcBAC=+-，即2234bcbc+=联立，可得413b=，2 313c=13 分在 RtABD 中，据勾股定理得，22222 3111313ADBDAB=-=-=，所以1313AD=15 分法三：延长 BA 到点 H，使得 CHAB在 RtCHB 中，ADAB，CHAB，故 ADCH，又 D 是 B
14、C 的中点，所以 A 是 BH 的中点，所以 AHABc，CH2AD，且2224HBHCa+=10 分在 RtCHA 中，566CAHBAC=-=-=，ACb，AHc，所以 CHbsinCAH12b，且 cbcosCAH32b 12 分所以221242cb+=，即22312422bb+=，解得4 1313b=(负舍)，所以111113222413ADCHbb=15 分法四：延长 AD 到 E，使 ADDE，连结 EB，EC因为 D 是 BC 的中点，且 ADDE，故四边形 ABEC 是平行四边形，BEACb又56BAC=，所以566ABEBAC=-=-=在 RtBAE 中，ABAD，6ABE=
15、，ABc，BEACb，所以1sin2AEBEABEb=，且3cos2cBEABEb=10 分在 RtBAD 中，ABAD，ABc，AD12AE14b，BD12a1，据勾股定理222ABADBD+=，可得22114cb+=，13 分公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司将32cb=代入上式，可得4 1313b=(负舍)，所以113413ADb=15 分18（本小题满分 17 分）解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c(c0)，因为椭圆 C 的离心率为32，所以32ca=，即2234ca=，据222abc-=，得22234aba-=，即2ab=2 分所以直线 AB 的方程为12xybb+=，即
16、220 xyb+-=，因为原点 O 到直线 AB 的距离为255，故22225512b-=+，解得1b=，所以2a=，4 分所以椭圆 C 的标准方程为2214xy+=5 分（2）设直线 l 的方程为12yk x-=-，其中14k，且1k，即21ykxk=-+设直线 l 与椭圆 C 交于点11M xy，22N xy，联立方程组222114ykxkxy=-+=，整理得22224116816160kxkk xkk+-+-=，所以212216841kkxxk-+=+，2122161641kkx xk-=+8 分 所以12121212121212111112222xxxxxxkkyyk xk xkxx+
17、=+=+=+-12121212121212222224x xxxx xxxkxxkx xxx-+-+=-+2222222222161616882241414144161616824414141kkkkkkkkkkkkkkkkk-+=-+为定值，得证 11 分 法一：直线 BM 的方程为11yk x=+，令0y=，得11xk=-，故110Tk-，设直线 BN 与 x 轴交于点 Q公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司直线 BN 的方程为21yk x=+，令0y=，得21xk=-，故210Qk-，联立方程组222114yk xxy=+=，整理得22224180kxk x+=，解得222284
18、1kxk=-+或 0(舍)，22222222222881114141kkyk xkkk=+=-+=-+所以BNT 的面积22222221221228411111111224141BkkSQT yykkkkkk=-=-+-+=-+，由可知，12114kk+=-，故12114kk-=+，代入上式，所以22222222224821424141kkSkkkk=+=+，因为点 N 在 x 轴下方且不在 y 轴上，故212k，得2120k+，所以22222222222222222821842211244 141414141kkkkkkSkkkkk+-=+=+，14 分显然，当212k -时，222214
19、1441kSk-=+时，222214 1441kSk-=+，故只需考虑212k，令221tk=-，则0t，所以2114 14 14 12 222211222tSttttt=+=+=+，当且仅当2tt=，2t=，即2212k+=时，不等式取等号，所以BNT 的面积 S 的最大值为2 22+17 分法二：直线 BM 的方程为11yk x=+，令0y=，得11xk=-，故110Tk-，设直线 BN 与 x 轴交于点 Q公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司直线 BN 的方程为21yk x=+，令0y=，得21xk=-，故210Qk-，由可知，12114kk+=-，故12114kk-=，所以点
20、A(2，0)是线段 TQ 的中点故BNT 的面积12252BANSSABdd=，其中 d 为点 N 到直线AB 的距离 14 分思路 1 显然，当过点 N 且与直线 AB 平行的直线 l与椭圆 C 相切时，d 取最大值设直线 l的方程为102yxm m=-+，即220 xym+-=，联立方程组221214yxmxy=-+=，整理得222220 xmxm-+-=，据2224 220mmD=-=，解得2m=-(正舍)所以平行直线 l：22 20 xy+=与直线 l：220 xy+-=之间的距离为2 222 2255-+=，即 d 的最大值为2 225+所以BNT 的面积 S 的最大值为2 2252
21、 225+=+17 分思路 2 因为直线 l 的方程为220 xy+-=，所以22222222552212xySdxy+-=+-+，依题意，222x-，20 x，20y，故22220 xy+-，fx在0+，上单调递增，01fxfa=-（）若10a-，即1a，10fxa-，f x在0+，上单调递增，所以 f x在0+，上的最小值为 00f=，符合题意 3 分（）若10a-，此时 010fa=-，又函数 fx在0+，的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在00 ln2xa+，使得 0fx=，且当00 xx，时，0fx，f x在00 x，上单调递减，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以
22、000fxf时，0f x 要证：函数 f x在0+，上具有性质 S即证：当0 x 时，1x fxf x即证：当0 x 时，0 x fxf x-令 g xx fxf x=-，0 x，则 esinecosxxg xxaxaxx=-+-，即 1 esincosxg xxxxx=-+，0 x，ecos0 xgxxx=+，所以 g x在0+，上单调递增，00g xg=即当0 x 时，0 x fxf x-，得证 11 分 法一：由得，当0 x 时，1 esincos0 xxxxx-+，所以当0 x 时，1esincosxxxxx-+，其中0 x；（）sincosxxx，则 e10 xpx=-，p x在0+
23、，上单调递增，所以 00p xp=，即当0 x 时，e1xx+（）令 tanq xxx=-，0 1x，则 2221sin10coscosxqxxx=-=，所以 q x在0 1，上单调递增，故 00q xq=，即当0 1x，时，tan xx，故sincosxxx，得sincosxxx 13 分据不等式（）可知，当0 1x，时，11esincossinxxxxxxxx-+结合不等式（）可得，当0 1x，时，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司222111111sine1111xxxxxxxxxxxxxxxx-+-+-=+所以当0 1x，时，sin11xxxx-+15 分当2n，*nN时，1
24、0 1n，有1111sin111nnnnnn-=+所以211 2 312sin3 4 511niniinn n=-=+L又11 sin1sin62=，所以11121sin211niiin nn n=+17 分法二：要证：111sin1niiin n=+显然，当1n=时，11 sin1sin611 1=+，结论成立只要证：当2n，*nN时，1111sin111n nnnnnnn+-=+-即证：当2n，*nN时，1111sin11nnnn-+13 分令 1sin1xxh xxx-=-+，102x，所以 22cos11hxxx=-+，34sin1hxxx=-+，所以 412cos01hxxx=-，hx在102，上单调递增，所以 00hxh=，h x在102，上单调递增，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以 00h xh=，即当102x，时，1sin1xxxx-+15 分所以当2n，*nN时，1102n，有111111sin111nnnnn nn-=+，所以当2n，*nN时，11sin1nnnn-+所以121111 1 2 311sin1 sinsin12 3 4 511nniiniiiinn n=-=+L 17 分