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1、学科网（北京）股份有限公司目 录contents（一）实数实数01代数式代数式43方程与方程组方程与方程组90不等式与不等式组不等式与不等式组147统计与概率统计与概率 1762024年中考数学考前20天终极冲刺攻略1学科网（北京）股份有限公司实数实数在中考中，实数部分的命题可能会涉及以下几个方面：实数的分类与性质：命题可能会要求考生对实数进行正确的分类，理解有理数和无理数的概念，掌握它们的基本性质。实数的运算：包括加减乘除、乘方和开方等运算。命题可能会以计算题或应用题的形式出现，考察考生对实数运算的掌握情况。实数的应用：实数在生活中有着广泛的应用，如测量、计算等。命题可能会结合实际问题，考察
2、考生运用实数知识解决问题的能力。此外，近年来中考数学命题越来越注重对学生综合素质的考察，可能会涉及到一些创新题型，如开放性问题、探究性问题等。这些问题通常需要考生结合所学知识进行思考和探究，考察他们的创新思维和实践能力。综上所述，实数中考命题预测可能会围绕实数的分类、性质、运算以及应用等方面展开，同时可能会出现一些创新题型。因此，建议考生在备考过程中加强对实数知识点的理解和应用能力的训练，同时注重提高自己的综合素质和创新能力。2学科网（北京）股份有限公司、正数与负数、正数与负数一、正数与负数一、正数与负数正数：像 3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于 0 的；负数：像15
3、4，3.4，3.5等这样的数都是负数，它们都是小于 0 的；0 既不是正数，也不是负数.1.一个数前面的“”号或“”号叫做它的符号，其中“”号可以省略不写，“”号不能省略；2.0 的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如 0是一个确定的温度，不能说 0没有温度；3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“”号就是正数，带“”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数.二、正、负数表示具有相反意义的量二、正、负数表示具有相反意义的量3学科网（北京）股份有限公司1.具有相反意义的量包括两个因素：有相反的意义，有数量.（1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，
4、即具有相反意义的量总是成对出现的；（2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利 200 元与向东走 200 米就不是具有相反意义的量；（3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升 100 米是相反意义的量有很多，如下降 10 米、下降 120 米、下降 200 米等；（4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等.三、整数和分数三、整数和分数整数：正整数、负整数、零统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；易错点：易错点：1.0 不是分数，0 是整数；2.零和正整数又叫自然数；3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正
5、整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数；4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数四、用正、负数表示误差范围四、用正、负数表示误差范围一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中 a 表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围.、有理数与无理数、有理数与无理数一、有理数一、有理数我们把能够写成分数形式（m，n 是整数，n0）的数叫做有理数.1.有理数只包括整数和分数；2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如，等.二、有理数的分类二、有理数的分类由有理数的特征，一般会有以下两种分法.
6、1.按定义分4学科网（北京）股份有限公司2.按正负分三、无理数三、无理数1.无理数定义及分类：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数.2.常见的无理数的几种类型（1）一般的无限不循环小数，如 0.32541，3.5845661；（2）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如 0.010010001（每两个 1 之间 0 的个数逐次增加 1）；（3）与圆周率有关的数，如，、数轴、数轴一、认识数轴、画数轴一、认识数轴、画数轴1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；（3
7、）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.2.数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示 0；（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上 1，2，3，从原点向左，每隔一5学科网（北京）股份有限公司个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，二、数轴与有理数、无理数的关系二、数轴与有理数、无理数的关
8、系1.有理数和无理数都可以用数轴上的点表示.（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；（3）0 用原点表示.2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.3.数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.三、利用数轴比较有理数的大小三、利用数轴比较有理数的大小1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“”号或者按照从右到左顺序用“”号连接起来，注意不要漏数.、绝对值与相反
9、数、绝对值与相反数一、绝对值一、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数 a 的绝对值记作，读作“a 的绝对值”.1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；3.数轴上表示 0 的点到原点的距离为 0，所以.绝对值图示：二、相反数二、相反数1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.6学科网（北京）股份有限公司（1）0 的相反数是 0；（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数
10、）.2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；（2）数轴上与原点距离是 a（a 是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数.3.相反数的性质任何数都有相反数，且仅有一个正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 04.相反数的特征若 a 与 b 互为相反数，则 ab，反之，若 ab，则 a 与 b 互为相反数.（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“”号即可；（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“”，如 ab 的相反数为（ab），
11、括号不要忘记了！三、多重符号化简三、多重符号化简1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如（1）表示1 的相反数，所以（1）1；2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“”时，可省略，当最前面的符号是“”时，去掉“”号，写出括号内的相反数；3.先省略所有的“”号，用“”号的个数去掉结果的符号，当“”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“”号的个数决定的，与“”号的个数无关.四、绝对值的性质四、绝对值的性质1.绝对值的性质正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值还是 0，即2.绝对值的非负性
12、对于任何一个有理数 a，我们都有.（1）若几个非负数的和为 0，则每个加数分别为 0；（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.7学科网（北京）股份有限公司五、比较有理数的大小五、比较有理数的大小在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小.先将有理数进行分类，然后分别比较大小.1.正数比较大小，绝对值大的正数大；2.负数比较大小，绝对值大的负数小；3.正数要大于负数；4.正数大于 0，负数小于 0.、有理数运算、有理数运算一、有理数加法一、有理数加法1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。若则；若则。2.异号两数相加，绝对值相等
13、时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。绝对值相等：若且，则；绝对值不相等：1若且，则；2若且，则。3.一个数与 0 相加，仍得这个数。二、有理数减法二、有理数减法减去一个数，等于加上这个数的相反数，1.较大的数较小的数正数，即若，则；2.较小的数较大的数负数，即若，则；3.相等的两个数相减等于 0，即若，则；4.0 减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去 0 仍等于这个数.8学科网（北京）股份有限公司三、有理数乘法法则、有理数乘法法则1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2.0 与任何数相乘都得 0；3.任何数与 1 相乘都等于
14、它本身，任何数与1 相乘都等于它的相反数；4.拓展：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0.（3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.四、倒数四、倒数1.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.PS：单独的一个数不能称为倒数；0 与任何数相乘都等于 0，不可能等于 1，所以 0 没有倒数.2.求一个数的倒数的方法：（1）一个不为
15、 0 的整数的倒数，是用这个数作分母，1 作分子的分数；（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数.五、有理数除法法则五、有理数除法法则1.除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数；2.两个不为 0 的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；3.0 除以任何一个不为 0 的数都等于 0，0 不能作为除数，无意义.4.一个非零的数除以它的本身等于 1.两数相除要先
16、确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.六、有理数乘方的意义六、有理数乘方的意义求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.9学科网（北京）股份有限公司一般地，记作，读作“a 的 n 次方”，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，当看作 a 的n 次方的计算结果时，也可以读作“a 的 n 次幂”.1.乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数 1 可省略不写；3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；4.当负数或分数
17、作为底数时，底数必须用括号括起来；5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.七、有理数乘方的运算七、有理数乘方的运算1.有理数乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶数次幂都是非负数.2.有理数的乘方运算计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.3.拓展：（1）1 的任何次幂都是 1；（2）1 的偶数次幂是 1，1 的奇数次幂是1；（3）平方等于它本身的数有 0 和 1，立方等于它本身的数有 0，1，1.八
18、、科学记数法八、科学记数法1.用科学记数法表示绝对值大于 1 的数：一般地，一个大于 10 的数可以写成的形式，其中，n 是正整数，这种记数方法称为科学记数法.（1）a 是一个整数数位只有一位的数，即；（2）确定 n 的两种方法：若这个数是大于 10 的数，则 n 等于原数的整数位数减 1；按小数点移动的位数来确定 n 的值，小数点向左移动了几位，n 就等于几.（3）一般地，用科学记数法可以将一个绝对值小于 1 的数表示成的形式，其中，n 是负整数.10学科网（北京）股份有限公司2.用科学记数法表示绝对值小于 1 的数的步骤：（1）n 的绝对值等于原数中左起第一个非 0 数字前所有 0 的个数
19、（包括小数点前面的那个 0）；（2）小数点向右移动到第一个不为 0 的数字后，小数点移动了几位，n 的绝对值就等于几；、平方根、平方根一、平方根一、平方根1.平方根：如果，那么 x 叫做 a 的平方根，也叫做二次方根.（1）在中，因为，所以；（2）检验 x 是不是 a 的平方根，只需验证是不是等于 a 就可以了.2.平方根的表示：正数 a 的正的平方根记作，负的平方根记作，正数 a 的两个平方根记作，读作“正、负根号 a”.3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.二、平方根的性质二、平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互
20、为相反数；2.0 的平方根还是 0（平方根等于本身的只有 0）；3.负数没有平方根；4.；5.三、开平方三、开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方.1.开平方时，被开方数 a 必须是非负数；2.开平方是求一个非负数的平方根.3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.四、算术平方根四、算术平方根11学科网（北京）股份有限公司1.算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根；2.算术平方根的表示：正数 a 的算术平方根记作，读作“根号 a”；3.算术平方根的性质：正数
21、的算术平方根是一个正数，0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，负数没有算术平方根.4.算术平方根具有双重非负性：被开方数 a 是非负数，即；算术平方根是非负数，即.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数 a 的平方根表示为非负数 a 的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0 除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0 的平方根和算术平方根都是 0.PS：算术平方根等于它本身的数只有 0
22、和 1.、立方根、立方根一、立方根一、立方根1.一般地，如果，那么 x 叫做 a 的立方根.2.数 a 的立方根记作“”，读作“三次根号 a”.3.这里 a 的取值可以是正数、负数或 0，且根指数 3 不能省略.二、立方根的性质二、立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.1.平方根与立方根的区别与联系关系名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0 的立方根是0，负数的立方根是一个负数12学科网（北京）股份有限公司表示方法非负数 a 的平方根表示为，根指数是 2，常省略不写数 a 的立方
23、根表示为，根指数是 3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a 是非负数，即在中，a 是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有 0 和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.4.，.三、开立方三、开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时
24、，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.、实数、实数一、无理数一、无理数1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.2.常见的无理数三种形式（1）开方开不尽的数的方根，如等；（2）及化简后含的数，如，等；（3）看似循环实质不循环的数，如（两个 1 之间一次多一个 0）.3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是 1 的分数），无理数不能写成分数的形式.4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是 0 的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.13学科网（北京）股份有限公司二、实数及
25、分类二、实数及分类1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类（1）按定义分类：（2）按性质分类：PS：0 既不是正实数，也不是负实数.三、实数与数轴上点的关系三、实数与数轴上点的关系1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数
26、以原点为圆心，向数轴负方向画弧.四、比较实数的大小四、比较实数的大小有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.3.比较两个实数大小的常用方法：（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用14学科网（北京）股份有限公司于多个实数比较大小；（3）法则比较法：根据“正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；两个负数比较大小
27、，绝对值大的数反而小”进行比较；（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.（5）作商比较法：a、b 为正数，若，则；若，则；若，则（6）倒数比较法：a、b 为正数，若，则；（7）平方比较法：a、b 为正数，若，则.、近似数、近似数一、近似数一、近似数1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.3.常见的近似数（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率参与计算的结果；（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；（4）表示某一时间段的数据为近似值
28、，如小明今年 14 岁，在这 1 年中他都是 14 岁.二、近似数的精确度二、近似数的精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.1.一个近似数末尾的 0 不能省略，如 0.10 中末尾的 0 不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如 10 万10000，则 10 万精确到万位.3.其他近似数的取法（1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根 100 米长的木棒截成每段 6 米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于
29、4，但不够做一个零件，所以只能取近似数 16；（2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是 0，都要在保留的最后一位数上加15学科网（北京）股份有限公司1，如某校八年级共有 200 名学生，想租用 45 座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需 5 辆.1（2023苏州）有理数23的相反数是（）AB32CD23【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0 的相反数是 0；据此即可得出答案【解答】解：23的相反数是，故选：A【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握2（2023云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义
30、的量的国家若向东走 60 米记作+60 米，则向西走 80 米可记作（）A80 米B0 米C80 米D140 米【分析】正数和负数可以表示具有相反意义的量，据此即可得出答案【解答】解：向东走 60 米记作+60 米，向西走 80 米可记作80 米，故选：A【点评】本题考查正数与负数的实际意义，明确正数和负数是一对具有相反意义的量最为关键3（2023河北）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 9.461012km，下列正确的是（）A9.461012109.461011B9.4610120.4691012C9.461012是一个 12 位数D9.461012是一个
31、13 位数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正16学科网（北京）股份有限公司数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：9.461012km9460000000000km 是一个 13 位数故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（2023自贡）如图，数轴上点 A 表示的数是 2023，OAOB，则点 B
32、表示的数是（）A2023B2023C12023D【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案【解答】解：OAOB，点 A 表示的数是 2023，OB2023，点 B 在 O 点左侧，点 B 表示的数为：020232023，故选：B【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握5（2023徐州）2023的值介于（）A25 与 30 之间B30 与 35 之间C35 与 40 之间D40 与 45 之间【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可【解答】解：160020232025，即 4045，故选：D【点评】本题考查无理数的估算，此为基础
33、且重要知识点，必须熟练掌握6（2023内蒙古）定义新运算“”，规定：aba2|b|，则（2）（1）的运算结果为（）A5B3C5D3【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案【解答】解：由题意可得：17学科网（北京）股份有限公司（2）（1）（2）2|1|413故选：D【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键7（2023西藏）已知 a，b 都是实数，若（a+2）2+|b1|0，则（a+b）2023的值是（）A2023B1C1D2023【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解 a，b 的值，再代入计算可求解【解答】解：（a+2）2+|b1|0，（a+2）20，|
34、b1|0，a+20，b10，解得 a2，b1，（a+b）2023（1）20231故选：B【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出 a、b 的值8（2023济南）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）Aab0Ba+b0Ca+3b+3D3a3b【分析】从图中判断 a 的值和 b 的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算【解答】解：从图中得出：a2，3b2（1）a 和 b 相乘是负数，所以 ab0，故 A 选项错误；（2）a 和 b 相加是负数，所以 a+b0，故 B 选项错误；（3）因为 ab，所以 a+3b+3，故 C 选项错误
35、；（4）因为 a 是正数，所以3a0，又因为 b 是负数，所以3b0，即3a3b，故选项 D 正确，所以选择 D；答案为：D【点评】主要考查了实数在数轴，有理数的运算，不等式的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键9（2023浙江）计算：|2023|【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解【解答】解：2023 的相反数是 2023，18学科网（北京）股份有限公司故|2023|2023，故答案为：2023【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数10（2023西宁）如果气温上升 6记作+6，那么气温下降 2记作【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答
36、案【解答】解：气温上升 6记作+6，那么气温下降 2记作2，故答案为：2【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键11（2023宁夏）如图，点 A，B，C 在数轴上，点 A 表示的数是1，点 B 是 AC 的中点，线段 AB=2，则点 C 表示的数是【分析】先表示出点 B 表示的数，再根据点 B 是 AC 的中点进行求解【解答】解：点 A 表示的数是1，线段 AB=2，点 B 表示的数是1+2，点 B 是 AC 的中点，线段 BCAB=2，点 C 表示的数是：1+2+2=2 2 1，故答案为：2 2 1【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识1
37、2（2023广安）定义一种新运算：对于两个非零实数 a、b，ab=+若 2（2）1，则（3）3 的值是【分析】利用新定义的规定列式求得（xy）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可【解答】解：2（2）1，2+2=1，xy2（3）3=3+3（xy）19学科网（北京）股份有限公司2故答案为：【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键13（2023西宁）计算：【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案【解答】解：原式1+2 11=2 3【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键14（2023枣
38、庄）对于任意实数 a，b，定义一种新运算：ab，例如：31312，545+463根据上面的材料，请完成下列问题：（1）43，（1）（3）；（2）若（3x+2）（x1）5，求 x 的值【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可；（2）由新定义，分 3x+22（x1）和 3x+22（x1）两种情况分类讨论，并列得对应的方程并解方程即可【解答】解：（1）423，434+361；12（3），（1）（3）1（3）2；20学科网（北京）股份有限公司故答案为：1；2；（2）由题意，当 3x+22（x1）时，即 x4 时，原方程为：3x+2（x1）5，解得：x1；当 3x+22（x1）时，即 x4 时，原方程
39、为：3x+2+x165，解得：x2.5，2.54，x2.5 不符合题意，应舍去，综上，x1【点评】本题考查定义新运算问题，特别注意（2）中应分 3x+22（x1）和 3x+22（x1）两种情况分类讨论15（2023淄博）若实数 m，n 分别满足下列条件：（1）2（m1）275；（2）n30试判断点 P（2m3，32）所在的象限【分析】解方程 2（m1）275 可得：m10，m22，解不等式 n30 可得：n3，把 m 和 n代入 P（2m3，32），即可判断点 P 所在的象限【解答】解：由（1）得：（m1）21，m10，m22，由（2）得：n3，当 m0，n3 时，2m320330，0，21学
40、科网（北京）股份有限公司点 P（2m3，32）在第二象限；当 m2，n3 时，2m322310，0，点 P（2m3，32）在第一象限；综上所述，点 P（2m3，32）在第一象限或第二象限【点评】本题考查了点在平面直角坐标系的坐标特征，解不等式，不等式的性质，解方程等，利用不等式性质判断点 P 的坐标特征是解题关键1（2023东营区一模）（1）2023的相反数是（）A1B1C2023D20232（2023余杭区校级模拟）若 a0，b0，则 b、b+a、ba、ab 中最大的一个数是（）AbBb+aCbaDab3（2023平南县二模）用科学记数法表示的数 7.211011，它原来是（）位整数A10B
41、12C13D144（2023石景山区校级模拟）实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|b|，则下列结论中错误的是（）Aa+b0Ba+c0Cb+c0Dac05（2023东营二模）在实数：3.14159，364，1.010 010 001，7，27中，无理数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个6（2023长春模拟）一种细胞的直径为 2103厘米，将 2103写成小数为7（2023项城市三模）与 13最接近的整数是8（2023黄冈模拟）若一个正数 m 的平方根为 x+1 和 5+2x，则 m 的值为9（2023藁城区二模）对于三个实数 a，b，c，用 Fa，b表示这两个数的平方差
42、，用 maxa，b，c表示22学科网（北京）股份有限公司这三个数中最大的数例如：Fl，21222143，max1，2，12，max2，1，12请结合上述材料，解决下列问题：（1）F2，3，max22，（2）2，22；（2）若 Fa2，3maxa2，a2+1，3，则负整数 a 的值是10（2023玉林一模）计算：（26）（2）+（3）2（1）（3）011（2023莲湖区模拟）计算：|1 3|25+(2)112（2023遵义模拟）（1）在整式 x+4，2x4，3x+8 中，任选两个用“”连接组成一个一元一次方程，并解该方程；（2）计算(12)1+|2|230?小君的解答如下：解：原式2+（2）2第
43、一步221 第二步1第三步小君的解答过程从第步开始出现错误，请写出正确的解答过程1（2023娄底模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且 1！1，2！212，3！3216，4！4321，且公式，则125+126=（）A135B136C1311D1272（2023白碱滩区二模）我们知道，一元二次方程 x21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1，若我们规定一个新数“i”，使其满足 i21（即方程 x21 有一个根为 i）并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1i，i21，i3i2i（1）ii，i4（i2）2（1）21，从而对于任意正整数 n，
44、我们可以得到 i4n+1i4ni（i4）nii，同理可得 i4n+21，i4n+3i，i4n1那么 i+i2+i3+i4+i2012+i2013的值为（）A0B1C1Di23学科网（北京）股份有限公司3（2023镇海区校级模拟）我们把 M1，3，x）叫集合 M，其中 1，3，x 叫做集合 M 的元素集合中的元素具有确定性（如 x 必然存在），互异性（如 x1，x3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）若集合 Nx，1，3，我们说 MN已知集合 A0，|x|，y，集合，若 AB，则 x+y 的值是（）A4B2C0D24（2023瑶海区三模）若|x|+3|x3|，则 x 的取值范围是5（2023
45、海淀区二模）四个互不相等的实数 a，b，c，m 在数轴上的对应点分别为 A，B，C，M，其中 a4，b7，c 为整数，m0.2（a+b+c）（1）若 c10，则 A，B，C 中与 M 距离最小的点为；（2）若在 A，B，C 中，点 C 与点 M 的距离最小，则符合条件的点 C 有个6（2023石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面（1）若 1 表示的点与1 表示的点重合，则2 表示的点与数表示的点重合；（2）若2 表示的点与 4 表示的点重合，回答以下问题：5 表示的点与数表示的点重合；若数轴上 A、B 两点之间的距离为 9（A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，求
46、A、B 两点表示的数是多少？7（2023宝应县模拟）如果 10bn，那么称 b 为 n 的劳格数，记为 bd（n），由定义可知：10bn 与 bd（n）所表示的是 b、n 两个量之间的同一关系（1）根据劳格数的定义，填空：d（10），d（102）；（2）劳格数有如下运算性质：若 m、n 为正数，则 d（mn）d（m）+d（n），d（）d（m）d（n）根据运算性质，填空：(3)()=（a 为正数），若 d（2）0.3010，则 d（4），d（5），d（0.08）；（3）下表中与数 x 对应的劳格数 d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正24学科网（北京）股份有限公司x1
47、.5356891227d（x）3ab+c2aba+c1+abc 33a3c 4a2b 3b2c 6a3b12024 的绝对值是（）A2024B2024C12024D2如果温度上升 10，记作+10，那么温度下降 7记作（）A+3B3C+7D73著名的数学苏步青被誉为“数学大王”为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约 218000000 公里的行星命名为“苏步青星”，数据 218000000 用科学记数法表示为（）A0.218109B2.18108C2.18109D2181064实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2Ba3Ca2Da35当 a0 时，下列运算结果正
48、确的是（）Aa00Ba2a2C（a）3a3D12=126如果|a2024|+（b+1）20，则 ab的值是7某潜艇从海平面以下 27 米上升到海平面以下 18 米，此潜艇上升了米8已知 x 是满足的整数，且使的值为有理数，则 x9我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第 3 行的 3 个数 1、2、1，恰好对应着（a+b）2a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含 a2023项的系数是25学科网（北京）股份有限公司10定义：a，b，m 为实
49、数，若 a+bm，则称 a 与 b 是关于2的对称数（1）2 与 4 是关于的对称数，7 与是关于 3 的对称数；（2）若 a2x2+3（x2+x）4，且 a 与 b 是关于1 的对称数，试用含有 x 的代数式表示 b11老师设计了一个计算程序如图所示：（1）当 x 取6 时，求出输出的结果；（2）嘉淇发现：对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都相同你同意她的说法吗？说明理由12已知数轴上有 M，N 两点，点 M 表示的数为 3x5，点 N 表示的数为 9x（1）当 x1 时，求线段 MN 的长；（2）若点 M 与点 N 关于原点对称，求点 M 表示的数；（3）若点 M 在点 N 的
50、左侧，求 x 的正整数值1（2023东营区一模）（1）2023的相反数是（）A1B1C2023D2023【分析】先求出（1）2023的值，再确定相反数即可【解答】解：（1）20231，1 的相反数是 1，（1）2023的相反数是 1故选：B26学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查乘方的意义，相反数的概念掌握1 的奇次方是1 是关键2（2023余杭区校级模拟）若 a0，b0，则 b、b+a、ba、ab 中最大的一个数是（）AbBb+aCbaDab【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别【解答】解：a0b，b+ab，bab0，ab0，b、b+a、ba、ab 中最大的一个数是 ba，故