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1、第6 6讲一元二次方程及其应用考点一考点二考点三考点四考点一考点一一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法1.如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫一元二次方程,一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a0),其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.考点一考点二考点三考点四2.解法 考点一考点二考点三考点四考点二考点二一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 考点一考点二考点三考点四考点三考点三一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,则x1+x
2、2=-考点一考点二考点三考点四考点四考点四一元二次方程的应用一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.一元二次方程实际问题的常见类型平均增长率(下降率)问题:(1)增长率=(增量基础量)100%;(2)设a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量,则a(1-m)n=b.命题点1命题点2命题点1解一元二次方程1.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.命题点1命题点2命题点2一元二次方程的应用2.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百
3、分率都为x,则x满足(D)A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16命题点1命题点23.(2015安徽,6,4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业迅速发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是(C )A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5解析由于2015年的快递业务量可用1.4(1+
4、x)2表示,又2015年的快递业务量是4.5亿件,可列方程是1.4(1+x)2=4.5,故选C.命题点1命题点24.(2013安徽,7,4分)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(B )A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)2=438D.438(1+2x)2=389解析设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+
5、x)2元,由题意,得389(1+x)2=438.考法1考法2考法3考法4考法考法1一元二次方程的解法一元二次方程的解法例1(2012安徽)解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程化为x2-4x=1.配方,得x2-4x+4=1+4.整理,得(x-2)2=5.方法总结本题考查了解一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的四种特点是解本题的关键,通常情况下,未知数全部在平方里面用直接开方法,二次项系数为1考虑用因式分解法或配方法,其他情况考虑用公式法.考法1考法2考法3考法4对应训练1.(2017浙江舟山)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是(B)A.(x+2)2=2B.(x+1)2
6、=2C.(x+2)2=3D.(x+1)2=32.(2017山东菏泽)关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根是0,则k的值是0.解析:把x=0代入方程(k-1)x2+6x+k2-k=0得k2-k=0,解得k1=0,k2=1.因为方程是一元二次方程,所以k-10,即k1,所以k的值为0.3.(2017浙江丽水)解方程:(x-3)(x-1)=3.解:原方程整理为x2-4x=0,所以x(x-4)=0,所以x1=0,x2=4.考法1考法2考法3考法4考法考法2一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用例2(2017北京)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2
7、k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.(1)证明:=-(k+3)2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)20,方程总有两个实数根.(2)解:x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,x1=2,x2=k+1.方程总有一个根小于1,k+11.k0,即k的取值范围为k0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0,因此选A.6.(2017山东潍坊)已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,则k的取值范围是k1且k0.考法1考法2考法3考法4考法考法3一元二
8、次方程中根与系数的关系一元二次方程中根与系数的关系答案:3 方法总结本题考查了一元二次方程根与系数的关系,求含一元二次方程根的代数式常常利用根与系数的关系x1x2=,x1+x2=-,可以方便快捷的解题.考法1考法2考法3考法4对应训练7.(2017内蒙古呼和浩特)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(B)A.2B.0C.1D.2或08.(2017山东烟台)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为(D)A.-1或2 B.1或-2C.-2D.1解析:由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2
9、=2m,x1x2=m2-m-1.因为x1+x2=1-x1x2,所以2m=1-(m2-m-1),解得m1=1,m2=-2.又因为=4m2-(m2-m-1)0,所以m-1.综上所述,m的值为1.考法1考法2考法3考法4解析:根据一元二次方程的根与系数的关系,可知p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3.9.(2017江苏南京)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p=4,q=3.考法1考法2考法3考法4考法考法4一元二次方程的应用一元二次方程的应用例4(2017广西南宁)为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位
10、:本),该阅览室在2014年图书借阅总量是7 500本,2016年图书借阅总量是10 800本.(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率;(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1 350人,预计2017年达到1 440人,如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率,那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%,求a的值至少是多少.考法1考法2考法3考法4解:(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x,根据题意得7500(1+x)2=10800,即(1+x)2=1.44,解得x1=0.2,
11、x2=-2.2(舍去).答:该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)10800(1+0.2)=12960(本),108001350=8(本),29601440=9(本),(9-8)8100%=12.5%.故a的值至少是12.5.考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了增长(或降低)率问题,是列一元二次方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,弄清基数a、增长(减少)后的量a(1+x)n及增长(减少)次数n是解题关键,正确理解有关增长问题的一些词语的含义对解答这类问题也很重要,常见的词语有:增加、增加到、增加了几倍、增长到几倍、增长率等.考法1考法2
12、考法3考法4对应训练10.(2017甘肃兰州)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各减掉一个边长x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为(C)A.(80-x)(70-x)=3 000B.8070-4x2=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000D.8070-4x2-(70+80)x=3 000解析:长方体底面长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm,由题意可得方程(80-2x)(70-2x)=3 000.考法1考法2考法3考法411.(2017四川巴中)巴中市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售,由于有关部门关于房地产的新政策出台后,部分购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同,求平均每次下调的百分率.解:设平均每次下调的百分率为x,由题意得5000(1-x)2=4050,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).答:平均每次下调的百分率为10%.