数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量3 北师大版必修4 .ppt
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1、2.32.3从速度的倍数到数乘向量从速度的倍数到数乘向量2.3.12.3.1数乘向量数乘向量【知知识提提炼】1.1.数乘向量的概念与运算律数乘向量的概念与运算律(1)(1)数乘向量:数乘向量:定义:定义:a是一个是一个_._.长度:长度:_._.向量向量|a|方向:方向:相同相同相反相反任意任意(2)(2)数乘向量的运算律:数乘向量的运算律:(a)=_()=_(,R).R).(+)(+)a=_(=_(,R).R).(a+b)=_(R).)=_(R).()()a a+a a+b2.2.向量共线的判定定理与性质定理向量共线的判定定理与性质定理(1)(1)判定定理:判定定理:a是一个非零向量,若存在
2、一个实数是一个非零向量,若存在一个实数,使得,使得b=_=_,则向量,则向量b与非零向量与非零向量a共线共线.(2)(2)性质定理:若向量性质定理:若向量b与非零向量与非零向量a共线,则存在一个实数共线,则存在一个实数,使得,使得b=_.=_.aa【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题:(1)(1)实数与向量相乘得到数乘向量数与向量相乘得到数乘向量,那么那么实数与向量能相加数与向量能相加(减减)吗?提示提示:不能不能.实数与向量可以相乘实数与向量可以相乘,但不能相加减但不能相加减.(2)(2)如果向量如果向量a,b共共线,一定有一定有b=a(R(R)吗?提示提示:不一定不一定.当当a=0
3、,b0时时,不存在不存在.2.2.已知已知,R,R,下面式子正确的是下面式子正确的是()A.A.a与与a同向同向 B.0B.0a=0=0C.C.若若a0,m,ma=n na,则m=n D.m=n D.若若b=a,则|b|=|=|a|【解析解析】选选C.C.当当01|1时,有有|a|a|,|,这意味着表示向量意味着表示向量a的有向的有向线段在原方向段在原方向(1)(1)或反方向或反方向(-1)(-1)上伸上伸长到到|倍倍;当当0|10|1时,有有|a|a|,|,这意味着表意味着表示向量示向量a的有向的有向线段在原方向段在原方向(01)(01)或反方向或反方向(-10)(-10,2x-10,即即x
4、 .x .答案答案:xx2.(1)2.(1)正确正确.因为因为20,20,所以所以2 2a与与a方向相同且方向相同且|2|2a|=2|=2|a|.|.(2)(2)正确正确.因为因为50,50,所以所以5 5a与与a方向相同方向相同,且且|5|5a|=5|=5|a|,|,而而-20,-20,所以所以-2-2a与与a的方向相反的方向相反,且且-2-2a的模是的模是5 5a模的模的 .(3)(3)正确正确.按照相反向量的定义可以判断按照相反向量的定义可以判断.(4)(4)错误错误.因为因为-(-(b-a)与与b-a是一对相反向量是一对相反向量,而而a-b与与b-a是一对相反向是一对相反向量量,故故a
5、-b与与-(-(b-a)为相等向量为相等向量.答案答案:3 3【方法技巧方法技巧】对数乘向量的三点数乘向量的三点说明明(1)(1)a的的实数数叫作向量叫作向量a的系数的系数.(2)(2)向量数乘运算的几何意向量数乘运算的几何意义是把是把a沿着沿着a的方向或的方向或a的反方向的反方向扩大或大或缩小小.(3)(3)当当=0=0或或a=0时,a=0.注意是注意是0,而不是而不是0.0.【拓展延伸拓展延伸】a的的单位向量位向量(1)(1)a的的单位向量位向量为e=.=.(2)(2)a的方向上的的方向上的单位向量位向量为e=.=.【变式式训练】已知已知O O是平面内一定点是平面内一定点,A,B,C,A,
6、B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点的三个点,动点点P P满足足 (0,+),(0,+),则点点P P的的轨迹一定迹一定通通过ABCABC的的()A.A.外心外心 B.B.内心内心C.C.重心重心 D.D.垂心垂心【解析解析】选选B.B.上的单位向量上的单位向量,上的单位向量上的单位向量,则则 的方向为的方向为BACBAC的角平分线的方向的角平分线的方向.类型二型二 数乘向量的运算数乘向量的运算【典例典例】如如图,D,E,F,D,E,F分分别为ABCABC的的边BC,CA,ABBC,CA,AB的中点的中点,且且 试求求 (用用a,b表示表示).).【解解题探究探究】题中中 所在所在线段在三
7、角形中叫什么段在三角形中叫什么?提示提示:三角形的中线三角形的中线.【解析解析】【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法)本例条件不本例条件不变,求求 【解析解析】因为因为 所以所以 2.(2.(变换条件条件)本例如添加条件本例如添加条件“G G为AD,BE,CFAD,BE,CF的交点的交点”,试求求 【解析解析】如图如图,由题意知由题意知,点点G G为三角形的重心为三角形的重心,所以所以 【方法技巧方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法当当直直接接表表示示比比较困困难时,可可以以首首先先利利用用三三角角形
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