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1、2.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_.(2)结论：当且仅当_时，向量a，b(b0)共线.b0 x1y2-x2y1=01.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab等价于 ()(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab等价于x1y2=x2y1.()(3)向量a=(1,2)与向量b=(-3，-6)是共线向量且同向.()【解析】(1)错误.当x2=0或y2=0时,没有意义,等式不成立.只有当x20,y20时等式才成立,故(1)错误.(2)正确.根据两向量共线的坐标表
2、示知正确.(3)错误.因为1(-6)-2(-3)=0,且(1,2)=(-3，-6)，即=0，故向量a与b共线且反向.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知A(2,1),B(3,1)，写出一个与 平行且方向相反的向量a=_.(2)已知a=(-6,2)，b=(m,-3)，且ab，则m=_.(3)已知A(1，2)，B(4，5)，若 则点P的坐标为_.【解析】(1)因为 =(1，2)，则与 平行且方向相反的向量a=，且0时，两向量的方向相同；当0时，两向量的方向相反.(2)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件x1y2-x2y1=0与 有什么区别吗？
3、提示：x1y2-x2y1=0对任意两个向量平行时都满足，具有一般性；而 只对x20且y20时，成立.【即时练】1.若向量a=(1，2)，b=(2，3)，则与a+b共线的向量可以是 ()A.(2，1)B.(-1，2)C.(6，10)D.(-6，10)2.已知向量a=(-2，3)，ba，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为.【解析】1.选C.因为a+b=(1,2)+(2,3)=(3,5).所以310-56=0，所以(6,10)与a+b是共线的向量.2.由ba，可设b=a=(2,3).设B(x,y)，则 =(x1,y2).由 得而B在坐标轴上，所以12=0或3+2=0，故 或
4、答案：或【题型示范】类型一 利用向量共线的坐标表示求参数值【典例1】(1)向量a=(1，2)，b=(x，1)，c=a+b，d=a-b，若cd，则实数x=.(2)若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)(a-mb)，则m=.【解题探究】1.题(1)中向量c，d的坐标怎样求出？2.题(2)中求m值的关键是什么？【探究提示】1.利用向量加减法的坐标表示，将向量a，b的坐标代入求向量c，d的坐标.2.求m值的关键是根据向量平行列方程求解.【自主解答】(1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)，所以c=a+b=(1+x，3)，d=a-b=(1-x，1).因为cd，所以1+x-3(1-x)=0.
5、解得x=.答案：(2)因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2).由于2a+b与a-mb平行，得-12-4(1+3m)=0，解得m=-.答案：-【延伸探究】若题(1)中向量a，b改为“a=(1，1)，b=(2，x)”，则结果如何？【解析】由题意可得c=a+b=(3，x+1)，d=a-b=(-1，1-x)，因为c与d平行，所以3(1-x)-(x+1)(-1)=0，解得x=2.【方法技巧】由向量平行求参数的值的方法【变式训练】1.(2014常德高一检测)已知两个不等的向量a=(2，3m)，b=(m，6)，若ab，则实数m=()A.2B.-2C.2D
6、.02.(2014许昌高一检测)已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若为实数，(a+b)c，则=.【解析】1.选B.因为向量a=(2，3m)，b=(m，6)，若ab，则26-3m2=0，解得m=2.当m=2时，a=b，不适合，故m=2舍去.2.由题意得(a+b)=(1+，2)，而(a+b)c，所以(1+)4-32=0，解得=.答案：【补偿训练】已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以a+2b=(1+2x，4)，2a-b=(2-x，3).又因为a+2b与2a-b平行，所以3(1+2x)-4(2-
7、x)=0，解得x=.答案：类型二 向量共线解决三点共线【典例2】(1)已知A(1，-3)，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A.(-9，1)B.(9，-1)C.(9，1)D.(-9，-1)(2)已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【解题探究】1.题(1)中由A，B，C三点共线会得到哪些向量平行？2.题(2)中向量 与 平行，一定可以推出直线AB平行于直线CD吗？反之，直线AB平行于直线CD一定可以推出向量 与 平行吗？【探究提示】1.以A，B，C三点中任意两点为端点的两个向量平行.2.若向量 与 平行，则直线AB与
8、直线CD平行或重合.直线AB平行于直线CD一定可以推出向量 与 平行.【自主解答】(1)选C.设点C的坐标是(x,y)，因为A，B，C三点共线，所以因为 =(x，y)-(1，-3)=(x-1，y+3)，所以7(y+3)-(x-1)=0，整理得x-2y=7,经检验可知点(9，1)符合要求,故选C.(2)因为 =(1(1)，3(1)=(2，4),=(21，75)=(1，2).又因为2241=0,所以又因为 =(1-(-1)，5-(-1)=(2，6),=(2，4)，所以24-260,所以A，B，C不共线,所以AB与CD不重合,所以ABCD.【方法技巧】三点共线的条件以及判断方法(1)若A(x1，y1
9、)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C三点共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：直接利用上述条件，计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为0；任取两点构成向量，计算出两向量如 再通过两向量共线的条件进行判断.【变式训练】(2014洛阳高一检测)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则 的值等于_.【解题指南】由三点的坐标以及三点共线，可得以其中任意两点为端点的两向量共线，由此得到关于a和b的关系.【解析】=(a2,2),=(2,b2)
10、，依题意，有(a2)(b2)4=0，即ab2a2b=0，所以答案：【补偿训练】已知三点A(1,2),B(2,3),C(x,4)共线,则实数x=_.【解析】因为点A(1,2),B(2,3),C(x,4)共线，所以 共线，又 =(3,1),=(x+1,2)，所以32(x+1)=0，故x=5.答案：5拓展类型 向量共线的综合应用【备选例题】(1)(2014韶关高一检测)已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足 0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心(2)ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c，设向量p=(a+c,b),
11、q=(b,ca)，若pq，则角C的大小为()【解析】(1)选D.设 则可知四边形BACD是平行四边形，而 表明A,P,D三点共线.又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过ABC的重心.(2)选C.因为pq，所以(a+c)(ca)bb=0，即c2=a2+b2，所以C=.【方法技巧】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤【规范解答】利用向量共线的坐标表示求解问题【典例】(12分)(2014怀化高一检测)在ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),AD与BC交于点M,求点M的坐标.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解题过程中，若不
12、能根据共线向量定理在处正确得出两点的坐标，将造成不得分.失分点2：在解题过程中，若不能根据题意得到处的结论，则造成无法继续求解，考试过程中，最多给3分.失分点3：解题过程中，若未能根据向量共线的坐标形式正确得到，则考试过程中最多给5分.【悟题】提措施，导方向1.向量的坐标运算解题时,准确地计算有关向量的坐标,是正确答题的前提,如本例,只有正确地求出相应向量的坐标,才能顺利地完成解题.2.共线向量的坐标运算解题时,两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键,如本例,对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解.3.方程思想的应用在求点或向量的坐标中要注意方程思想的应用,如本例,充分应用向量共线、向量相等条件作为列方程的依据,是解题的保证.【类题试解】(2014临沂高一检测)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与OB交点P的坐标.【解析】设点P(x,y),则 =(x,y),=(4,4),因为P,B,O三点共线,所以所以4x-4y=0.又 =(x,y)-(4,0)=(x4,y),=(2,6)-(4,0)=(-2,6),因为P,A,C三点共线,所以则6(x4)+2y=0.由解得 所以点P的坐标为(3,3).