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1、2.1 数列的概念与简单表示法（2）121.数列与函数的关系(1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值如图所示.(2)对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么可以得到一个数列:f(1),f(2),f(3),f(n),.(3)在数列an中,若an+1an,则an是递增数列;若an+10.答案:(0,+)122.递推公式如果已知数列an的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列an的递推公式.用递推公
2、式给出数列的方法叫做递推法.1212名师点拨通项公式和递推公式的区别:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是关于n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.探究一探究二探究三探究四探究一判断数列的单调性探究一判断数列的单调性数列的单调性一般要通过比较an+1与an的大小来判断,具体为:an+1-an0an+1an数列an单调递增;an+1-an0an+1an数列an单调递减.探究一探究二探究三探究四典型例题1判断下列数列的单调性:(1)在数列an中,an=-2n+
3、3;(2)在数列an中,an=n2+2n-5.思路分析:可通过比较an+1与an的大小来判断.探究一探究二探究三探究四解:(1)an=-2n+3,an+1-an=-2(n+1)+3-(-2n+3)=-2n-2+2n=-20.an+10,an+1an.数列an是递增数列.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练1已知数列an的通项公式an=n2-7n-8,求数列an的最小项.解法一:an=n2-7n-8是关于n的二次函数,其对称轴为当1n3时,an单调递减;当n4时,an单调递增,当n=3或n=4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的
4、最小项,且最小项a3=a4=-20.探究一探究二探究三探究四探究二数列的递推公式及应用探究二数列的递推公式及应用1.递推公式是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.用递推公式给出一个数列,必须给出以下两点:(1)“基础”数列an的第1项或前几项;(2)递推关系数列an的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定.2.数列递推公式的主要题型:(1)根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项;(2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.探究一探究二探究三探究四
5、典型例题2已知数列an满足a1=1,写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式.思路分析:由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一个通项公式.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四方法总结由递推公式写出通项公式的步骤:(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项);(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式;(3)写出一个通项公式.探究一探究二探究三探究四变式训练2已知数列an中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n3)给出.(1)写出此数列的前5项.(2)通过公式 构造一个新的数列bn,写出数列bn的前4项.探究一探究二探
6、究三探究四解:(1)因为an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列an的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.探究一探究二探究三探究四探究三由数列的递推公式求数列的通项探究三由数列的递推公式求数列的通项由递推公式求通项公式时,要根据递推公式的特点,选择恰当的方法求解.常用的方法有:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1求通项.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探
7、究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练3已知数列an,a1=2,an+1=2an,写出数列的前5项,猜想an并加以证明.解:由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=22=4=22,a3=2a2=24=8=23,a4=2a3=28=16=24,a5=2a4=216=32=25,猜想an=2n(nN*).探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析探究四易错辨析易错点忽视函数单调性与数列单调性的关系致误典型例题4已知数列an中,an=n2-kn(nN*),且an单调递增,求实数k的取值范围.探究一探究二探究三探究四错因分析:数列是特殊的函数,所以函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即若数列所对应的函数单调,则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.对于数列的单调性的判断,一般要通过比较an+1与an的大小来断定.若an+1an,则数列为递增数列;若an+10.即2n+1-k0,nN*恒成立,得k2n+1,nN*恒成立.而2n+13,因此只需k0,an+1an.因此数列an是单调递增数列.