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1、7 7.3 3.2 2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-2-圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题解题策略解题策略函数最值法函数最值法(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.-3-(2)以AP斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ的方程用k表示出点Q的横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|PQ|是关于k的函数,用函数求最值的方法求出最大值.-4-所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问
2、题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.-5-对点训练对点训练1(2017山西临汾三模,文20)已知抛物线y2=8x与垂直于x轴的直线l相交于A,B两点,圆C:x2+y2=1分别与x轴正、负半轴相交于点P,N,且直线AP与BN交于点M.(1)求证:点M恒在抛物线上;(2)求AMN面积的最小值.(1)证明设A(x1,y1),B(x1,-y1)(x10),由题意,P(1,0),N(-1,0),直线AP的方程为(x1-1)y=y1(x-1),直线BN的方程为(x1+1)y=-y1(x+1),即点M
3、恒在抛物线上.-6-(2)由(1)可得AMN面积-7-圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题(多维探究多维探究)解题策略一解题策略一条件转化法条件转化法(1)求椭圆E的方程;(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.-8-难点突破(1)ABP是等腰直角三角形a=2;由 ,得Q点坐标,代入椭圆方程求得b;(2)设直线y=kx-2,代入椭圆方程,由根与系数的关系及0得k的一个范围,由原点O在以MN为直径的圆外0 x1x2+y1y20关于k的不等式k的另一范围,取两个k的范围的交集得结论.由向量数量积的坐标公式,即可求得直线l斜率的
4、取值范围.解(1)由题意知ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0),-9-(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设方程为y=kx-2,设M(x1,y1),N(x2,y2),即x1x2+y1y20,则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)-10-解得k2b0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.-12-解(1)设A(x1,y1),
5、则B(-x1,-y1),P(x0,y0),点A,B,P三点均在椭圆上,-13-(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),-14-解题策略二解题策略二构造函数法构造函数法(1)求椭圆C的方程;(2)设直线PQ方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量数量积的坐标,将 表示为直线斜率k的函数,由函数的单调性求得函数的值域,即所求量的取值范围.-15-(2)当PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),-16-解题心得求直线与圆锥曲线的综合问题中,求与直线或与圆锥曲线有关
6、的某个量d的范围问题,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的范围问题,然后用函数的方法或解不等式的方法求出d的范围.-17-对点训练对点训练3如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.-18-解(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线A
7、F:x=sy+1(s0),-19-所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).-20-圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题解题策略解题策略转化法转化法例4已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 .又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.-22-即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f(t)=12t2-12
8、t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.-23-解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题,如本例中把证明k的范围问题转化为方程的零点k所在的范围问题.-24-对点训练对点训练4(2017贵州贵阳二模,文20)已知椭圆C:=1(a0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:N,F,Q三点在同一条直线上.椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,a2-(7-a2)=1,解得a2=4,-25-(2)证明由题知直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),-26-即直线QN过点(1,0),又椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),N,F,Q三点在同一条直线上.