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1、3.2.2一元二次不等式及其解法的应用二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系练一练1已知a0,则不等式x2-(1+a)x+a0的解集为.解析:x2-(1+a)x+a0可化为(x-1)(x-a)0,当a0时,不等式的解集为x|ax1.答案:x|ax0恒成立,则a的范围是.解析:由已知得=4-4a1.答案:(1,+)探究一探究二探究三探究一不等式恒成立的问题探究一不等式恒成立的问题1.关于x的不等式f(x)0(0)对于x在某个范围内的每个值不等式都成立,即为不等式在这个范围内恒成立.2.一元二次不等式恒成立的类型及解法.设f(x)=ax2+bx+c(a0).(1)f(x)
2、0在xR上恒成立(2)f(x)0时,f(x)0在区间,上恒成立(4)a0在区间,上恒成立(5)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:kf(x)(kf(x)恒成立kf(x)max(kf(x)max);kf(x)(kf(x)恒成立kf(x)min(kf(x)min).探究一探究二探究三典型例题1设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解:(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10.综上可知,m的取值范围是(-4,0.探究一探究二探究三(2)(方法一)要使f(x)0时,
3、g(x)在1,3上是增函数,g(x)max=g(3)=7m-60.0m 当m=0时,-60恒成立.当m0时,g(x)在1,3上是减函数,g(x)max=g(1)=m-60,即m6,m0.综上可知,m的取值范围是探究一探究二探究三探究一探究二探究三方法总结有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式;若参变量不能分离,则应构造关于参变量的函数(如一次或二次函数),转化为求函数的最值.探究一探究二探究三变式训练1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40的解集为R,求实数a的取值范围.解:当a-2=0
4、,即a=2时,原不等式为-40,综上可知,a的取值范围为(-2,2.探究一探究二探究三探究二含参数的一元二次不等式的解法探究二含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.如二次项系数含有参数时,应首先对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论;当二次项系数不等于零时,再对其判别式进行大于零、小于零、等于零分类讨论;当判别式大于零时,再对两根的大小进行比较讨论,最后确定解集.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三规律总结解含参数的一元二次不等式,一般从三个方面进行讨论:二次项系数;判别式;两根的
5、大小.探究一探究二探究三变式训练2解关于x的不等式x2-ax-2a20(aR).解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)-a,即a0时,不等式的解集为x|-ax2a;当2a=-a,即a=0时,原不等式化为x20,无解;当2a-a,即a0时,不等式的解集为x|2ax0时,原不等式的解集为x|-ax2a;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为x|2ax-a.探究一探究二探究三探究三一元二次方程根的分布与二次函数之间的关系探究三一元二次方程根的分布与二次函数之间的关系探究一探究二探究三探究一探究二探究三典型例题3已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中
6、一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.思路分析:根据一元二次方程根的分布,结合二次函数的图象(画出草图),求出m的取值范围.探究一探究二探究三解:设f(x)=x2+2mx+2m+1,由条件知抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,变式训练3已知关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两实根介于(-2,4)之间,求t的取值范围.解:令f(x)=x2-2tx+t2-1.x2-2tx+t2-1=0的两实根介于(-2,4)之间,故-1t0的解集为R,则实数m的取值范围是()A.m2B.m2C.m2D.0
7、m2解析:由题意得=m2-4 0,即m2-2m0,解得0m0,解得t1.答案:(-,-5)(1,+)1 2 3 4 54.某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是.解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2 令y900,即60(8t-t2)900,解得3t5.答案:3,51 2 3 4 55.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a0.解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以当a-1时,原不等式解集为x|ax-1时,原不等式解集为x|-1xa.