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1、2023年高考数学全国甲卷(文)满分150分 考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1. 设全集U=1,2,3,4,5，集合，则（ ）A. 2,3,5B. 1,3,4C. 1,2,4,5D. 2,3,4,52. （ ）A. B. 1C. 1iD. 1+i3. 已知向量，则cosa+b,ab=（ ）A. 117B.
2、1717C. 55D. 2554. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A. 16B. C. 12D. 5. 记Sn为等差数列an的前n项和若，则S5=（ ）A. 25B. 22C. 20D. 156. 执行下边的程序框图，则输出的B=（ ）A. 21B. 34C. 55D. 897. 设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1PF2=0，则PF1PF2=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 58. 曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 9. 已
3、知双曲线的离心率为5，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则|AB|=（ ）A 55B. 255C. 355D. 45510. 在三棱锥PABC中，ABC是边长为2等边三角形，则该棱锥的体积为（ ）A. 1B. C. 2D. 311. 已知函数记，则（ ）A. bcaB. bacC. cbaD. cab12. 函数的图象由y=cos2x+6的图象向左平移6个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13. 记Sn为等比数列an的前n项和若，则an的公比为_14. 若fx=(x1)2+ax+sinx+2为偶函数，则a=_15. 若x，y满足约束条件3x
4、2y3,2x+3y3x+y1,，则z=3x+2y的最大值为_16. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是_三、解答题17. 记ABC的内角的对边分别为a,b,c，已知（1）求bc；（2）若，求ABC面积18. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C平面ABC,ACB=90 （1）证明：平面ACC1A1平面BB1C1C；（2）设，求四棱锥A1BB1C1C的高19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组
5、的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（）求40
6、只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表0)交于A,B两点，AB=415（1）求；（2）设F为C 焦点，M,N为C上两点，且FMFN=0，求MFN面积的最小值（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22. 已知点P2,1，直线l:x=2+tcos,y=1+tsin（t为参数），为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B，且PAPB=4（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（1
7、0分）23. 已知（1）求不等式fxcaB. bacC. cbaD. cab【答案】A【解析】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，因为62-1-1-32=6+32-42，而(6+3)2-42=9+62-16=62-70，所以62-1-1-32=6+32-420，即62-11-32由二次函数性质知g(62)g(32)，因为62-1-1-22=6+22-42，而(6+2)2-42=8+43-16=43-8=4(3-2)0，即62-1g(22)，综上，g(22)g(62)g(32)，又y=ex为增函数，故acca.故选：A.12. 函数的图象由y=cos2x+6的图象向左
8、平移6个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】因为y=cos2x+6向左平移6个单位所得函数为y=cos2x+6+6=cos2x+2=-sin2x，所以fx=-sin2x，而显然过0,-12与1,0两点，作出fx与的部分大致图像如下， 考虑2x=-32,2x=32,2x=72，即x=-34,x=34,x=74处fx与的大小关系，当x=-34时，f-34=-sin-32=-1，y=12-34-12=-3+48-1；当x=34时，f34=-sin32=1，y=1234-12=3-481；所以由图可知，fx与的交点个数为3.故选：C.二、 填
9、空题13. 记Sn为等比数列an的前n项和若，则an的公比为_【答案】-12【解析】若q=1，则由得86a1=73a1，则a1=0，不合题意.所以q1.当q1时，因为，所以8a11-q61-q=7a11-q31-q，即81-q6=71-q3，即81+q31-q3=71-q3，即81+q3=7，解得q=-12.故答案为：-1214. 若fx=(x-1)2+ax+sinx+2为偶函数，则a=_【答案】2【解析】fx=x-12+ax+sinx+2=x-12+ax+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx，且函数为偶函数，a-2=0，解得a=2，故答案为：215. 若x，y满足约束条件3x-2y3,
10、-2x+3y3x+y1,，则z=3x+2y的最大值为_【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y=-32x+z2过点A时，z有最大值，由-2x+3y=33x-2y=3可得x=3y=3，即,所以zmax.故答案为：1516. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是_【答案】22,23【解析】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R为体对角线长AC1=42+42+42=43，即2R=43
11、,R=23，故R3max； 分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=42，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为22.综上，R22,23.故答案为：22,23三、 解答题17. 记ABC 内角的对边分别为a,b,c，已知（1）求bc；（2）若，求ABC面积【答案】（1）1 （2）【解析】【1】因为a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2-a2cosA=2bccosAcosA=2bc=2，解得：bc=1【2】由正弦定理可得acosB-bcos
12、AacosB+bcosA-bc=sinAcosB-sinBcosAsinAcosB+sinBcosA-sinBsinC=sinA-BsinA+B-sinBsinA+B=sinA-B-sinBsinA+B=1，变形可得：sinA-B-sinA+B=sinB，即-2cosAsinB=sinB，而0sinB1，所以cosA=-12，又0A，所以sinA=32，故ABC的面积为18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C平面ABC,ACB=90 （1）证明：平面ACC1A1平面BB1C1C；（2）设，求四棱锥A1-BB1C1C的高【答案】（1）证明见解析. （2）1【解析】【1】证明：因为A1
13、C平面ABC，BC平面ABC,所以A1CBC,又因为ACB=90，即ACBC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CAC=C,所以BC平面ACC1A1，又因为BC平面BCC1B1,所以平面ACC1A1平面BCC1B1.【2】如图， 过点A1作A1OCC1，垂足为O.因为平面ACC1A1平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1=CC1，A1O平面ACC1A1，所以A1O平面BCC1B1，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.因为A1C平面ABC，AC,BC平面ABC,所以A1CBC,A1CAC,又因为A1B=AB，BC为公共边，所以ABC与A1BC全等，所以A1C=AC.设A1C=A
14、C=x，则A1C1=x，所以O为中点，OC1=12AA1=1,又因为A1CAC,所以A1C2+AC2=AA12,即x2+x2=22，解得，所以A1O=A1C12-OC12=22-12=1，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为119. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5
15、 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表mm对照组试验组（）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
16、？附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1） （2）（i）m=23.4；列联表见解析，（ii）能【解析】【1】试验组样本平均数为：120(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=39620=19.8【2】（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8
17、，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,，故第20位23.2，第21位数据为23.6，所以m=23.2+23.62=23.4，故列联表为：3.841，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知函数fx=ax-sinxcos2x,x0,2（1）当a=1时，讨论fx的单调性；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）fx在0,2上单调递减 （2）a0【解析】【1】因为a=1，所以，则，令t=cosx，由于x0,2，所以t=cosx0,1，所以cos3x+cos2x-2=t3+t2
18、-2=t3-t2+2t2-2=t2t-1+2t+1t-1=t2+2t+2t-1，因为t2+2t+2=t+12+10，t-10，所以在0,2上恒成立，所以fx在0,2上单调递减.【2】法一：构建，则，若gx=fx+sinx0，且g0=f0+sin0=0，则g0=a-1+1=a0，解得a0，当a=0时，因为，又x0,2，所以0sinx1，0cosx1，所以，满足题意；当a0时，由于0x2，显然ax0，所以，满足题意；综上所述：若，等价于a0，所以a的取值范围为-,0.法二：因为，因为x0,2，所以0sinx1，0cosx1，故在0,2上恒成立，所以当a=0时，满足题意；当a0时，由于0x2，显然a
19、x0时，因为，令，则，注意到，若0x0，则gx在0,2上单调递增，注意到g0=0，所以gxg0=0，即fx+sinx0，不满足题意；若0x02，gx00，则g0gx00，所以gx在0,x1上单调递增，则在0,x1上有gxg0=0，即fx+sinx0，不满足题意；综上：a0.21. 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点，AB=415（1）求；（2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，且FMFN=0，求MFN面积的最小值【答案】（1）p=2 （2）12-82【解析】【1】设AxA,yA,BxB,yB，由x-2y+1=0y2=2px可得，y2-4py+2p=0，所以y
20、A+yB=4p,yAyB=2p，所以AB=xA-xB2+yA-yB2=5yA-yB=5yA+yB2-4yAyB=415，即2p2-p-6=0，因为p0，解得：p=2【2】因为F1,0，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n，Mx1,y1,Nx2,y2，由y2=4xx=my+n可得，y2-4my-4n=0，所以，=16m2+16n0m2+n0，因为MFNF=0，所以，即my1+n-1my2+n-1+y1y2=0，亦即m2+1y1y2+mn-1y1+y2+n-12=0，将代入得，4m2=n2-6n+1，4m2+n=n-120，所以n1，且n2-6n+10，解得n3+22或n3-22
21、设点F到直线MN的距离为d，所以d=n-11+m2，MN=x1-x22+y1-y22=1+m2y1-y2=1+m216m2+16n=21+m24n2-6n+1+16n=21+m2n-1，所以MNF的面积S=12MNd=12n-11+m221+m2n-1=n-12，而n3+22或n3-22，所以，当n=3-22时，MNF的面积S2-2222min选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22. 已知点P2,1，直线l:x=2+tcos,y=1+tsin（t为参数），为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B，且PAPB=4（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
22、l的极坐标方程【答案】（1）34 （2）cos+sin-3=0【解析】【1】因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以2，令x=0，t1=-2cos，令y=0，t2=-1sin，所以PAPB=t2t1=2sincos=4sin2=4，所以，即2=2+k，解得=4+12k,kZ，因为2，所以=34【2】由（1）可知，直线l的斜率为tan=-1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2，即x+y-3=0，由x=cos,y=sin可得直线l的极坐标方程为cos+sin-3=0选修4-5：不等式选讲（10分）23. 已知（1）求不等式fxa3,即a3a,则,解得x3a,即axa.画出f(x)的草图,则f(x)与坐标轴围成ADO与ABCABC的高为,所以|AB|=a所以SOAD+SABC=12OAa+12ABa=34a2=2,解得a=263