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1、第二十八章第二十八章 锐角三角函数28.1锐角三角函数(第1课时)1如图28-1-1，在RtABC中，A30，BC1 cm，根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_”得到AB_ cm，然后根据勾股定理，得AC_ cm.2在RtABC中，C90，A45，BC1 cm，则AC_ cm，AB_ cm.一半 2 1 1.1.初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义；值就是这个锐角的正弦的定义；2.2.能把实际中的数量关系表示为数学表达式能把实际中的数量关系表示为数学表达式.3.3.通过类比正弦函数，了解锐角三角函数中
2、余弦函数、通过类比正弦函数，了解锐角三角函数中余弦函数、正切函数的定义正切函数的定义.4.4.会求解简单的锐角三角函数会求解简单的锐角三角函数.问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ABC这个问题可以归结为，在RtABC中，C90，A30，BC35m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB2BC70m，也就是说，需要准备70m长的水管ABC 分析：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备
3、多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m35mB C AB2B C 250100在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此 如图，任意画一个RtABC，使C90，A45，计算A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ABC即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于综上可知，在一个RtABC中，C90，当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.一般
4、地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？任意画RtABC和RtABC,使得CC90,A A，那么 与 有什么关系你能解释一下吗？探究探究ABCABC这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值ABCABC 在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC 如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记住sinA 即例如，当A30时，我们有当A45时，我们有ABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记
5、作c 如图，在RtABC中，C90，求sinA解:ABC610 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解:（1）在RtABC中，因此ABC34 求求sinA就是就是要确定要确定A的对的对边与斜边的比；边与斜边的比；求求sinB就是要确就是要确定定B的对边与的对边与斜边的比斜边的比（1）例1 如图，在RtABC中,C90,求sinA和sinB的值解:（2）在RtABC中，因此ABC135（2）(1)正弦的实质是两条线段的比值，其大小只与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关；(2)求锐角的正弦的前提是此锐角在直角三角形中，若题目没有给出直角三角形或给出的不是直角三角形，则应先构造
6、直角三角形再求解；(3)在直角三角形中，如果所给出的边的条件不足，应先根据勾股定理计算出边的长度，再按正弦的定义求得锐角的正弦值探究探究如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边邻边b对边对边a斜边斜边cABC邻边邻边b对边对边a斜边斜边c当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即把A的对边与邻边的比叫做A的正切（tangent）,记作tanA,即锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数 如图，在R
7、tABC中，C90，求cosA,tanAABC610解：由勾股定理得例2 如图，在RtABC中，C90，AB=10,BC6，求sinA,cosA,tanA的值解：由勾股定理得ABC6因此如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值解：ABC设AC=15k，则AB=17k所以求一个锐角的三角函数值，必须寻找该锐角所在的直角三角形，若没有直角三角形，则需作垂线构造直角三角形若题中已知三角形的面积，则我们要联想到作三角形一条边上的高来构造直角三角形，然后再综合利用面积公式、勾股定理、三角函数的定义求解 如图，在RtABC中，C90.1.求证：sinA=cosB，sinB=cos
8、A2.求证：ABCABC解：（1）sinA=cosB，sinB=cosA所以ABC解：（2）所以如图，RtABC中，C=90度，因为0sinA 1,0sinB 1,tan A0,tan B0ABC 0cosA 1,0cosB 1,所以，对于任何一个锐角，有0sin 1，0cos 1，tan 0，如图，RtABC中，C=90度，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得。DCBA解：(1)在RtABC中，（2）在RtBCD中，（3）因为B=ACD，所以1、RtABC中，C=90，如果AB=2，BC=1，那么cosB的值为（）A、B、C、D、2、在RtABC中，C90，如果cos A=那么tanB
9、的值为（）ADA、B、C、D、4.如图，ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCDBCAC BDAD3、在RtABC中，C为直角，a=1，b=2，则cosA=_，tanA=_.5.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值解：由勾股定理ABC13121、在ABC中，C90，a，b，c分别是A、B、C的对边，则有（）A、b=atanA B、b=csinA C、a=ccosB D、c=asinA 2、已知在ABC中，C=90，a,b,c分别是A，B，C的对边，如果b=5a，那么A的正切值为_.C3.如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她
10、与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）BAEDC30A4、如图，PA是圆O切线，A为切点，PO交圆O于点B，PA=8，OB=6，求tanAPO的值.解：PA是圆O的切线 PAOA POA是直角三角形 又 OA=OB 5.在RtABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？ABC解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2cABC正弦函数正弦函数锐角三角函数锐角三角函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数简单应用简单应用通过本课时的学习，需要我们掌握通过本课时的学习，需要我们掌握