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1、2020 年上海交通大学强基计划试题1. 函数 f (x) 的定义域为(0,1) ，若c 为。1(0,)2，则函数 g(x) = f (x + c) + f (x - c) 的定义域2. 已知方程2x - sin x = 1，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于 1，其中判断错误的有。3. 小于 1000 的正整数中，既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有个。4. 已知边长为 a 的正三角形 ABC ， D ， E 分别在边 AB, BC 上，满足 AD = BE = a ，连接 AE,CD ，3则 AE 和CD 的夹角为
2、。5. DABC 的顶点坐标分别为 A(3,4), B(6,0),C(-5, -2) ，则角 A 的平分线所在的直线方程为。6. 从 2 个红球，3 个黑球，5 个白球中任意取 6 个，有种不同的取法。7. 已知 y = ax2 + bx + c 过 A(-3,4), B(5,4) ，则2a + b = 。8. 过抛物线 y2 = 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 m 交抛物线于 A 、 B 两点，若 A 、 B 横坐标之和为 5，则直线 m 的条数为。9. 用同样大小的正 n 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则 n 的值为。10. 若三条直线 x - 2 y + 2 =
3、 0, x = 2, x + ky = 0 将平面划分成 6 个部分，则 k 可能的取值情况是（）。A.只有唯一值B.有两个不同值C.有三个不同值D.无穷多个值11. 非零实数 a, b, c ，若 bc , ac , ab 成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）。abcA. b acB. b a + c2C. b2 acD. a2 b2 c212. 若集合 M 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 M 中，则称 M 是封闭集合，下列集合：（1） R ；（2） Q ；（3） CRQ ；（4） x | x = m +2n, m, n Z中，封闭集合的个数为。13. 方程 x(x +1) +1
4、 = y2 的正整数解有。14. 若 a, b 0 ，且满足 1 + 1 =1，则 a =。aba - bb15. 若四面体的各个顶点到平面a 距离都相同，则称平面a 为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为。16. 设 m(a) 是函数 f (x) = x2 - a 在区间-1,1上的最大值，则 m(a) 的最小值为。17. 立方体 8 个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对。18. 空间三条直线 a, b, c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有条。19. 用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为。220. 矩形 ABCD 的边 AB =，过 B
5、、D 作直线 AC 的垂线，垂足分别为 E 、F ，且 E 、F 分别为 AC的三等分点，沿着 AC 将矩形翻折，使得二面角 B - AC - D 成直角，则 BD 长度为。21. 平面上给定 5 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有个。6022. 实数 a, b 满足(a + b)59 = -1,(a - b)60 = 1，则(an + bn )= 。n=123. 甲、乙、丙三人的职业分别是 A, B, C ，乙的年龄比C 大，丙的年龄和 B 不同， B 比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）。A. ABCB. CABC. CBAD. BCA24. 函数 y =4sin x cos x + 3p 3p, x (-,) 的最小值是。sin x + cos x44