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1、长郡中学20222023学年度高二第二学期第一次模块检测数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 集合，若，则( )A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.843. 已知、为常数，则是的( )条件A. 充要B. 必要不充分C. 充分不必要D. 既不充分也不必要4. 已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一
2、定成立的是A. B. C. D. 6. 已知函数为偶函数，且在上单调递增，则解集为( )A. B. C. D. 7. 已知的对应值表为：013456且线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为( )A. B. C. D. 8. 设，则( )A. B. C. D. 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知，且，则( )A. B. C. D. 10. 乒乓球(table tennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是
3、推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是( )A. 三局就结束比赛的概率为B. 的常数项为3C. 函数在上单调递减D. 11. 设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则( )A. 当时，B. 当时，C. 当(且)时，D. 当时，Y的均值为12. 设函数，对于给定的正数K，定义函数
4、，若对于函数定义域内的任意x，恒有，则K的值可以是( )A. B. C. D. 第卷三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知，若，则_14. 小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了吴山景点”，则_15. 有如下四个命题：甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67.则甲乙的中位数分别为45和44.相关系数，表明两个变量的相关性较弱.若由一个列联
5、表中的数据计算得的观测值约为4.103，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.用最小二乘法求出一组数据回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指.以上命题错误的序号是_.16. 某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_人.(请将所有可能的结果都填在横线上)附表：，其中.0.0500.01038416.635四、解答题(本大题共6小题，共
6、70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 集合，.(1)用区间表示集合A；(2)若，求a，b的取值范围.18. 已知定义域为R函数是奇函数.(1)求b的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值20. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量(单位：万元)和收益(单位：万元)的数据如下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的
7、值(1)根据残差图，比较模型的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由(2)残差绝对值大于的数据认为是异常数据，需要剔除(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(ii)若广告投入量，求该模型收益的预报值是多少？附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21. 为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身处世治国理政等方面智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动.竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题.其中每答对1题“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分.每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回
8、答(每个题抽后不放回)，要求“道”题中至少抽2题作答.已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为.(1)若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；(2)若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？22. 已知函数.(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点；(2)若有两个零点，且，证明：.长郡中学20222023学年度高二第二学期第一次模块检测数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
9、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 集合，若，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算法则即可求解【详解】因为2是它们的公共元素，所以，所以.故选：A.2. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【答案】C【解析】【分析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【详解】随机变量服从正态分布，故选：C.3. 已知、为常数，则是的( )条件A. 充要B. 必要不充分C. 充分不必要D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用不等式表示的几何意义，根据充分必要条件与集合包含之间的关系
10、判断【详解】设，则满足不等式的点在以为顶点的正方形内部(含正方形的边)，满足不等式的点在以为圆心，2为半径有圆内(含圆周)，而正方形是圆的内接正方形，应选充分不必要条件故选：C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件与集合包含关系是解题关键4. 已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，再由，利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】，(当且仅当，即时取等号)，故选：D【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.5. 若，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
11、分析】比较两个数或式子的大小，可以用不等式的性质，如，则【详解】，.，B一定成立.【点睛】本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养.6. 已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为为偶函数，所以有，代入可得，又因为在上单调递增，所以抛物线开口向上，从而可得到的解集.【详解】函数为偶函数，且有，即，函数，又在上单调递增，抛物线的开口向上，则的解集为.故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值以及含参数的一元二次不等式的解法.7. 已知的对应值表为：013456且线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且
12、线性回归直线方程为，则时，的预报值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，由线性回归方程必经过点()即得，代入求解即可.【详解】由表格知，代入得：，则回归方程为，当时，故选：A【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.8. 设，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的换底公式，得到，化简，得到，再由对数函数的单调性，求得且，即可求解.【详解】因为，则，所以，又因为，所以，又由，所以，所以.故选：D.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分
13、，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可【详解】，且，当且仅当取等号，故A正确；，且，故B正确；则，故D正确；取，则，故C错误.故选：ABD10. 乒乓球(table tennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛
14、皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是( )A. 三局就结束比赛的概率为B. 的常数项为3C. 函数在上单调递减D. 【答案】ABD【解析】【分析】按照n次独立实验概型逐项分析.【详解】甲每局的胜率为p，则乙每局的胜率为 ，设实际比赛局数为x，则 表示甲连胜3局或乙连胜3局， ， 表示甲在前3局胜了2局，并且在第4局胜或者是乙在前3局胜了2局，并且在第4局胜， ， 表示在前4局甲乙各胜2局， ，因此三局就结束比赛的概率为，则A选项正确；，由，则常数项为3，则B选项正确；由，则D选项正确；由 ，令 ，则；令 ，则
15、，则函数在上单调递增，在上单调递减，则C选项错误；故选：ABD.11. 设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则( )A. 当时，B. 当时，C. 当(且)时，D. 当时，Y的均值为【答案】BCD【解析】【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.【详解】对于A：当时，则，选项A错误；对于B，当时，由，可得，或，所以，选项B正确；对于C，当(且)时，则，选项C正确；对于D，当时，Y的可能取值为1，2，则，则Y的均值为，选项D正确故选：B
16、CD12. 设函数，对于给定的正数K，定义函数，若对于函数定义域内的任意x，恒有，则K的值可以是( )A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】先要读懂题意，显然是求 得最小值，只要 即可.【详解】令 ，则，所以，即最小值为1，因为，所以对任意的x恒有，即K的最大值为1，故AB满足题意，CD不合题意.故选：AB第卷三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知，若，则_【答案】【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由，则，故答案为：【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14. 小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡
17、峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了吴山景点”，则_【答案】【解析】【分析】首先求出只有小赵去了吴山景点情况，再求出4个人去的景点互不相同且小赵去了龙虎山景点的情况，代入公式即可求解【详解】解：只有小赵去了吴山景点共有种情况，即，4个人去的景点互不相同且小赵去了吴山景点的情况有种，即，故答案为：15. 有如下四个命题：甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67.则甲乙的中位数分别为45和44.相关系数，
18、表明两个变量的相关性较弱.若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.103，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指.以上命题错误的序号是_.【答案】【解析】【分析】求出两组数据的中位数判断；利用相关系数的意义判断；利用的观测值与要求的临界值对判断；利用残差的意义判断作答.【详解】对于，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，正确；对于，相关系数时，两个变量有很强的相关性，错误；对于，的观测值约为，认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05，正确；对于，残差分析中，相应数据的残差，正确，所以命
19、题错误的序号是.故答案为：16. 某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_人.(请将所有可能的结果都填在横线上)附表：，其中.0.0500.0103.8416.635【答案】45，50，55，60，65【解析】【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案.【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下，喜欢不喜欢合计男生x女生x合计若认为喜欢网络游戏和性别
20、有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则.，解得，又x为5的整数倍，被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65.故答案为：45，50，55，60，65.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 集合，.(1)用区间表示集合A；(2)若，求a，b的取值范围.【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)解分式不等式，求出A的具体区间；(2)由题意，由此求出a和b的取值范围.【小问1详解】由，有，解得或，；【小问2详解】，对于，可得，又，解得或；，得，a，b的取值范围是，；综上，.18. 已知定义域为R的函数是奇函
21、数.(1)求b的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】根据奇函数的定义求出b；先判断 得单调性，再根据单调性和奇偶性求解不等式.【小问1详解】因为定义域为R的函数是奇函数，所以，解得，经检验，当时，函数为奇函数，所以；【小问2详解】 ，显然 是减函数，由可得，即，.当时，函数有最小值， ；综上， 19. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证；(2)以为原点，射线分
22、别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，由底面为矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以又因为，点是的中点，所以而，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以得证【小问2详解】如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系因为，设，()，则，点是的中点，所以，由，所以是平面的一个法向量；由(1)知，所以是平面的一个法向量因为平面与平面所成二面角的大小为，则，解得(负值舍去)所以，20. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量(单位：万元)和收益
23、(单位：万元)的数据如下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值(1)根据残差图，比较模型的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由(2)残差绝对值大于的数据认为是异常数据，需要剔除(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(ii)若广告投入量，求该模型收益的预报值是多少？附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(1)应该选择模型，理由见解析；(2)(i)；(ii)万元【解析】【分析】(1)根据残差图中残差点的分布可选择合适的模型；(2)(i)计算出剔除异常数据后的、的值，代入最
24、小二乘法公式后求出、的值，即可得出回归直线方程；(ii)将代入回归直线方程后，可计算得出结果.【详解】(1)应该选择模型，因为模型的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高；(2)(i)剔除异常数据，即月份的数据后，得，所以关于的回归方程为；(ii)把代入中所求回归方程得，故预报值为万元21. 为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身处世治国理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动.竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题.其中每答对1题“儒”题得10分，
25、答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分.每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回答(每个题抽后不放回)，要求“道”题中至少抽2题作答.已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为.(1)若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；(2)若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？【答案】(1) (2)小明应从“道”题中抽取2道题作答【解析】分析】(1)先分析出A表示“儒”题答错，“道”题2对1错，直接求概率；(2)设4题总得分为X，此时设“道”题中答对的题数为.分析出，得到.利用期
26、望的线性运算求出小明的总得分期望值； 当小明选择从“道”题中抽取3题作答，设答对题数为，4题总得分为Y，同理求出,比较，即可得到结论.【小问1详解】记A=“小明在竞赛中得3”，则A表示“儒”题答错，“道”题2对1错，所以【小问2详解】当小明选择从“儒”题中抽取1题，“道”题中抽取2题作答时，设4题总得分为X，此时设“道”题中答对的题数为.则，.(i)“儒”题中的第二题答对时总得分(ii)“儒”题中的第二题答错时总得分此时小明的总得分期望值当小明选择从“道”题中抽取3题作答，设答对题数为，4题总得分为Y，则，所以因为，即小明应从“道”题中抽取12道题作答.22. 已知函数.(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点；(2)若有两个零点，且，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出函数在处的导数，求出，即可求出切线方程，得出定点；(2)由题可得，可得，令，则，构造函数，二次求导得出单调递增，即可求出，再利用基本不等式即可证明.【详解】(1)，则，即切线斜率为，又，则切线的方程为，即，可得当时，故切线恒过定点；(2)是的零点，且，则，即，即，令，则，则，令，则。令，则，则单调递增，即，则单调递增，即，即，则(由于，故不取等号)，得证.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为，利用导数求出单调性，得出.