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1、辽宁省辽阳市协作校2022-2023学年高二上学期期末考试高二考试数学试卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. 10B. 5C. 20D. 42. 已知圆C：与直线l：相切，则( )A. 15B. 5C. 20D. 253. 若抛物线准线经过双曲线的右焦点，则( )A B. C. D. 4. 在的展开式中，系数为有理数的项是( )A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项5. 某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A
2、表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )A. B. C. D. 6. 向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 7. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格品的概率为( )A. B. C. D. 8. 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为( )A. 800B. 842C. 864D. 888二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
3、.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，且，则( )A. B. C. D. 10. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则( )A. C的短轴长为B. 的最大值为C. C的长轴长为6D. C的离心率为11. 已知关于变量x，y的4组数据如表所示：x681012ya1064根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r(参考公式：)，则( )A. B. 变量x，y正相关C. D. 12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样
4、的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则( )A B. C. 点到直线CQ的距离是D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为三，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面的一个法向量为，则直线AB与平面所成角的正弦值为_.14. 甲乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲乙两人中只有一人完成该项工作的概率为_.15 若，则_，_.16. 已知P为抛物线C：上一点，F为焦点，过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，若的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范
5、围是_.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，G为棱BE的中点.(1)证明：平面BCE.(2)若，求.18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，P为C上一点，且，(1)求，的坐标(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率19. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：)服从正态分布，且.(1)求或的概率；(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率.20. 如图，三棱柱的底面ABC是
6、正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC，E，F分别是棱，的中点.(1)证明：平面.(2)若，求平面ABC与平面EFG所成角的余弦值.21. 某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立.(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期望.(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有
7、蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人.有蛀牙无蛀牙爱吃甜食不爱吃甜食完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”.附：，.0.050.010.00538416.6357.87922. 在C的渐近线方程为 C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且_(1)求C的标准方程；(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个
8、解答计分高二考试数学试卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. 10B. 5C. 20D. 4【答案】B【解析】【分析】用排列数公式展开即可求得.【详解】故选：B2. 已知圆C：与直线l：相切，则( )A. 15B. 5C. 20D. 25【答案】D【解析】【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案.【详解】易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，因为圆C与直线l相切，则，解得.故选：D.3. 若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义求得双曲线
9、的右焦点，再求得抛物线的准线，即可得到的值.【详解】由双曲线即得右焦点为，再由抛物线的准线为，因此，则故选：A.4. 在的展开式中，系数为有理数的项是( )A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.【详解】在的展开式中，根据通项可知，时系数为有理数，即第五项为故选：C5. 某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )A. B. C.
10、 D. 【答案】D【解析】【分析】由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题可知，.故选：D6. 向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：C.7. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格品的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.【详解】设表示买到的产品来自甲，乙厂，表示买到的产品为合格品，则,所以,所以该产品不是
11、合格品的概率为，故选:C.8. 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为( )A. 800B. 842C. 864D. 888【答案】C【解析】【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，(1)从四人中选一人连排三天夜班，若形如或排列：共有种；若形如或排列：共有种；若形如或或或排列：共有种；若形如排列：共有种；若形如或排列：共有种；因此，选一人连排三天夜班共有132
12、种(2)从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如或排列，共有种(3)从四人中选一人连排五天夜班，形如，则只有4种可能故满足题意的排夜班方式的种数为故选：C.二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题得，解方程组即得解.【详解】由题意可知，则，解得，.故选：BD10. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则( )A. C的短轴长为B. 的最大值为C. C的长轴长
13、为6D. C的离心率为【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.【详解】由标准方程可知，所以，所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；离心率，即D正确；由椭圆性质得， 故选项B错误.故选：ACD11. 已知关于变量x，y的4组数据如表所示：x681012ya1064根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r(参考公式：)，则( )A. B. 变量x，y正相关C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出，所以选项C正
14、确，选项D错误.【详解】回归直线必过点，解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误；，所以选项C正确，选项D错误.故选：AC12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则( )A. B. C. 点到直线CQ的距离是D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】利用向量的线性运算求出，所以选项B正确；以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选
15、项ACD的几何量判断即得解.【详解】，所以选项B正确；如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，则，所以选项A错误；设，则点到直线CQ的距离，所以选项C正确；因为，所以，所以，所以选项D正确.故选：BCD三，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面的一个法向量为，则直线AB与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】根据线面角的向量求法求解即可.【详解】因为，所以直线AB与平面所成角正弦值为.故答案为：14. 甲乙两人各自在1小时内完成某项工作概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲乙两人中只有一人完成该项工作的概率为_.【答
16、案】0.44#【解析】【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为，乙完成工作而甲没有完成的概率为，故概率为.故答案为：0.4415. 若，则_，_.【答案】 . 241 . 【解析】【分析】第一空，令，可得，再令，可得；第二空，所求即为展开式中的系数，又，则为展开式中，系数与2倍系数之和.【详解】令，则，故；因，则，所以.故答案为：241；.16. 已知P为抛物线C：上一点，F为焦点，过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，若的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设点P的坐标为，求出的各边即得
17、的周长为，再利用函数的单调性解不等式得解.【详解】如图，设点P的坐标为，则. 准线与y轴的焦点为A，则，所以的周长为.设函数，则为减函数(减函数+减函数=减函数)，因为，所以的解为.故答案为：四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，G为棱BE的中点.(1)证明：平面BCE.(2)若，求.【答案】(1)证明见解析； (2).【解析】【分析】(1)根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE，从而得到，利用等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE；(2)以A为坐标原点，的方
18、向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【小问1详解】证明：因为底面ABCD，所以，又，平面ABE，所以平面ABE，则.因为G为棱BE的中点，所以，又，平面BCE.所以平面BCE.【小问2详解】以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得，.因为，所以.18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，P为C上一点，且，(1)求，的坐标(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率【答案】(1)，的坐标分别为， (2)【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.(2)把设出
19、的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，故，的坐标分别为，【小问2详解】设A，B两点的坐标分别为，则，两式相减得因为弦AB的中点在椭圆内，所以，所以直线l的斜率19. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：)服从正态分布，且.(1)求或的概率；(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由正态分布的对称性求解；(2)利用X服从二项分布求解.【小问1详解】因为零件尺寸z服从正态分布，所以，因为，所以.故或的概率为.
20、【小问2详解】依题意可得，所以.20. 如图，三棱柱的底面ABC是正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC，E，F分别是棱，的中点.(1)证明：平面.(2)若，求平面ABC与平面EFG所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)取AC的中点O，连接OB，证明OB，OC，两两垂直，以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解.【小问1详解】取的中点，连接，.因为E，F分别是棱，BC的中点，所以，所以四边形MEFB为平行四边形，.因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】取AC的中点O，连接O
21、B，.因为四边形是菱形，所以.因为，所以为等边三角形.因为O为AC的中点，所以.因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC.因为底面ABC是正三角形，所以.以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则，所以，.设平面EFG的法向量为，则令，则.因为是平面ABC的一个法向量，且，令平面ABC与平面EFG所成角为，由图可知为锐角，所以.21. 某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立.
22、(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期望.(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人.有蛀牙无蛀牙爱吃甜食不爱吃甜食完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”.附：，.0.050.010.0053.8416.6357.879【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望： (2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前
23、提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关【解析】【分析】(1)由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的分布列，从而求得数学期望；(2)由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可.【小问1详解】由题意可得的所有可能取值为，则X的分布列为1015202530故.【小问2详解】由题意可得列联表如下：有蛀牙无蛀牙爱吃甜食8545不爱吃甜食3535所有，查表可得，因为，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.22. 在C渐近线方程为 C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标
24、轴，点在C上，且_(1)求C的标准方程；(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；(2)根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.【小问1详解】选因为C的渐近线方程为，所以，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为选因为C的离心率为，所以，得，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为【小问2详解】由(1)可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，联立直线和双曲线方程得，所以，直线PM：，即，直线QN：，即，消去y，得，整理得，则因为，所以A的横坐标为1故A在定直线上