江苏省泰州市2024届高三下学期四模数学试题含答案.pdf

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1、 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2024 届泰州市四模届泰州市四模 数学数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1命题 0,2+1 0”的否定是 A 0,2+1 0 B 0,2+1 0 C 0,2+1 0 D 0,2+1 0 2已知为虚数单位，(1+)3(1)2=A1+B1 C1+D1 3函数()=ln(1 )的定义域为 A(,0 B(,1)C0,1)D0,+)4已知向量 =

2、1,3，向量在 上的投影向量为12，则 =A2 B1 C1 D2 5已知=log32，=log43，=23，则 A B C D 0)的焦点为，点,22在上.若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为25，则该圆的面积为 A4 B6 C9 D10 7已知等差数列的公差大于 0且1+6=42，若24=11+1+=6，则5=A134 B94 C74 D54 8在 中，角,所对的边分别为,.若cos+cos=3cos，则tan+tan的最小值是 A43 B83 C23 D4 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

3、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9已知直线和平面,，则下列命题中正确的有 A若/,，则 B若 ,，则/C若 ,/，则 D若/,/，则/10定义在上的函数()满足(+1)=()()+()+，则 A(0)=0 B(1)=0 C(+1)为奇函数 D()单调递增 11已知椭圆:22+22=1(0)经过点2,1，且离心率为22.记在处的切线为，平行于的直线与交于,两点，则 A的方程24+22=1 B直线与的斜率之积为1 C直线，与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D直线,与坐标轴围

4、成的三角形是等腰三角形 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12若3+2()的展开式中存在常数项，则的值可以是 （写出一个值即可）13已知正方体 1111的棱长为 3，则以为球心，21为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为 .第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 14数列满足+1=2()，2+3=30，其中0为函数=2 2(1)的极值点，则1+2 3=.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（13分）一个车间有 3

5、 台机床，它们各自独立工作，其中型机床 2 台，型机床 1台.型机床每天发生故障的概率为 0.1，型机床每天发生故障的概率为 0.2.（1）记为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望()；（2）规定：若某一天有 2台或 2 台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率.16（15分）如图，在直三棱柱 11中，是棱上一点（点与点不重合），且 ，过1作平面11的垂线.（1）证明：/；（2）若=1=2，当三棱锥1 的体积最大时，求与平面1所成角的正弦值.17（15分）函数()=4sin+2的图象在=0处的切线为=3，.（1）求的值；（2）求()在(

6、0,+)上零点的个数.18（17分）已知双曲线:2222=1(0,0)的左、右顶点分别为,，右焦点为，满足=2，且到的渐近线的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）已知,是轴上异于原点的两点，满足=3，直线,分别交于点,，直线,的交点为.直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由；记 和 的面积分别为1,2.若1=92，求直线方程.19（17分）已知数列的前项和为，若存在常数(0)，使得+1对任意 都成立，则称数列具有性质().（1）若数列为等差数列，且3=9,5=25，求证：数列具有性质(3)；（2）设数列的各项均为正数，且具有性质().若数列是公比为的等比数列，

7、且=4，求的值；求的最小值.【参考答案】【参考答案】2024 届泰州市四模届泰州市四模 数学数学 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1B【解析】0,2+1 0，否定 0,2+1 0，选B.2D【解析】(1+)3(1)2=2(1+)2=1 ，选D.3A【解析】ln(1 )0，则1 1,0，选A.4A【解析】在 上的投影向|2 =4 =12，=2，选A 5C【解析】方法一：方法一：()=

8、log+1，1，()=lnln(+1)，()=1ln(+1)1+1lnln(+1)2=(+1)ln(+1)ln(+1)ln(+1)2 0 ()在(1,+)，(2)(3)，即 2ln4，ln3ln423，log43 23，选C.方法二：方法二：23 32 log32 23 42 log43 23 ，6C【解析】方法一：方法一：在抛物线上，则8=2，=4，圆心,22，=+2，被轴截弦长为25，2=5+2 即+22=5+2，由解得=2=2,=2=9=3，选C.方法二：方法二：2=8+(2)2，2=5+()2，=3 =2=9 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 7B【解析】方法一：方法一：1+6=

9、42，1+1+5=4(1+)，=21 =1+(1)21=1(2 1)，1+1=+1+1=121+1 24=11+1+=1211+25=1211+491=311=31=6 1=14，5=91=94，选B.方法二：方法二：1+1+5=4(1+)=21=(2 1)1，24=11+1+=24=1+1，=25121=491121=31=6 1=14,5=94.8B【解析】方法一：方法一：cos+cos=3cos，即sincos+sincos=3sincos，tan+tan=3tan tantan=3tan+tan1tantan，1=3tantan1，即tantan=4 tan=4tan，tan=13(t

10、an+tan)=13tan+4tan tan+tan=43tan+43tan 2169=83，选B.方法二：方法二：由正弦定理 得tan+tan=3tan 3tan tan=tan=tan(+)=tan+tan1tantan tan(tan2 3tantan+4)=0 tan=13tan+43tan tan+tan=43tan+1tan 显然tan必为正（否则tan和tan都为负，就两个钝角），所以由均值得tan+tan 83 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目

11、要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9AC【解析】/,，一定有 ,A对.,也有可能 ，B错.,/一定有 ，C对./,/,与也可能相交，D错，选AC.10BCD 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】方法一：方法一：=0时，(1)=2(0)+(0)=(0)(0)+1)=0,=1时，(1)=(0)(1)+(1)=(1)(0)+1)=0,=2时，(1)=(0)(2)+(2)=(2)(0)+1)(0)=1,(1)=0,A错，B对.()=1时，(+1)=+1 1=，()()+()+=(1)(1)+1+=满足条件

12、，则BCD都对.方法二：方法二：由条件得(+1)=()()+()+，(+1)=()()+()+()+=()+()=()由,的任意性，所以()=+，为常数，代回去得 +1+=(+)(+)+(+1)(+1)=0 所以只能=1，即()=1.11ACD【解析】方法一：方法一：=2222+12=12=2+2，=2=2=2椭圆24+22=1，A对.如图，1=22=12，B错.=22=12，则=22，为等腰三角形:=22+，=22+24+22=1，消可得2+2+2 2=0，1+2=2，12=2 2，+=1112+2122=221+112+222+122=212+(2)(1+2)22+221222=0 ,与坐

13、标轴围成的三角形是等腰三角形，D对.方法二：方法二：易得A正确；如果对图形作伸缩变换：沿轴方向拉伸至2倍，则椭圆变成圆，变为2,2，斜率为 1，切线的斜率为1，那么之前，原先的和的斜率分别为12,12，所以B错（积应为12），C对；D：由于的斜率与处的斜率互反，则熟知与的斜率也互反，所以D也正确.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12=5,【解析】3+2展开式第+1项+1=32=2312=2356=216(25)，16(2 5)=0，则=25 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 =5,.133 【解析】方法一：方法一：面的对角

14、线长32 1)的极值点，=2 2，02 20=0,0 1，且由2+3=30 2+22=30，02+0=22+2，2=0，3=02=20，而2=12 1=ln0+2 1+2 3=ln0+2 0，由02=20 ln0+ln2=0 2 ln0 0+2=ln2，1+2 3=ln2.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（1）的可能值为 0，1，2，3.(=0)=(1 0.1)2(1 0.2)=0.648；第 7 页 学科网（北京）股份有限公司(=1)=2 (1 0.1)0.1 (1 0.2

15、)+(1 0.1)2 0.2=0.306；(=2)=0.12(1 0.2)+2 (1 0.1)0.1 0.2=0.044；(=3)=0.12 0.2=0.002.故分布列为：0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 所以()=0 0.648+1 0.306+2 0.044+3 0.002=0.4.（2）记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故障”，则()=(=2)+(=3)=0.046，()=0.1 (1 0.1)0.2 2+0.12 0.2=0.038，则(|)=()()=0.0380.046=1923.答：某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为1923.16

16、（1）证明：在直三棱柱 111中，1平面，因为 平面，所以1.又 ，1 1=1，1,1平面11，所以 平面11.又因为 平面11，所以/.（2）因为1=13 1，所以当三棱锥1 体积最大时，最大.由（1）可知 平面11，因为 面11，所以 .又=2，所以4=2=2+2 2 =4，当且仅当=2时取等号，即当最大时，=2.法法 1：综合法：综合法 作 1于，连结.由（1）可知 平面11，因为 面11，所以 .又1 =，,1平面1，所以 平面1.因此，与平面1所成的角等于.因为 平面1，平面1，所以 .在Rt 1中，=2，1=2，所以1=6，因此=226=23在Rt 中，sin=2322=33.所以

17、与平面1所成角的正弦值33.法法 2：向量法：向量法 在平面11内，作/1，交11于，因为1平面，所以 平面.分别以,为,轴建立空间直角坐标系，则0,2,0，2,0,0，12,0,2，第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 所以=2,2,0.设平面1的法向量为 =(,)，易得=0,2,0，1=2,0,2，=2=0,1=2+2=0,可取 =2,0,1.于是cos,=223=33，所以与平面1所成角的正弦值等于cos,=33.17（1）因为()=4sin+2，()=4cos，所以(0)=1，(0)=4，则 3=1，=4，解得=1.（2）由（1）得()=4sin 1，()=4cos，()=+4sin

18、，当 时，()4sin 1 5 0，因此()在,+)无零点；当0 时，易知()单调递增，又(0)=3 0，所以()在(0,)上存在唯一的零点0，当 (0,0),()0,()单调递增；又(0)=0,(0)0，因此()在(0,)上仅有 1 个零点；综上，()在(0,+)上仅有 1个零点.18（1）由条件得2=2()，即=2；渐近线方程为 =0，则2+2=3，又2=2+2，所以2=1,2=3,2=4.所以的方程为223=1.（2）设:=+,(1,1),(2,2).联立=+223=1得(32 1)2+6+32 3=0，所以32 1 0，且1+2=6321，12=323321，1=392+323321，

19、2=3+92+323321.法法 2：易得:=11+1(+1)，令=0，得=11+1.同理得:=221(1)，令=0，得2=221.因为=3，所以=3，即221=311+1，第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 所以2(1+1)=31(2+1)，即412+3(1)1+(+1)2=0，所以4323321+3(1)392+323321+(+1)3+92+323321=0整理得(2)(92+32 3 3)=0.若92+32 3=3，则2=1，与题意不符，所以=2，因此直线:=+2过定点(2,0).法法 2：由条件易得=1=31=3，即=3，又=22=3，所以=9，因此111221=9，即12=9(

20、1+1)(2+1)，整理得(92+1)12+9(1)(1+2)+9(1)2=0，所以(92+1)323321+9(1)6321+9(1)2=0，整理得2 3+2=0，解得=1或 2.当=1时，直线过点，与题意不符，所以=2，因此直线:=+2过定点(2,0).法法 3：设(0,)，则(0,3)，所以:=(+1)，:=3(1)，由=(+1),223=1,求得2+332,632；由=3(1),223=1.求得32+1321,6321 所以=632+6322+33232+132=6(22+2)6(41)=221，则方程：632=221 2+332，整理得：=221 421即=221(2)，所以直线经过

21、点(2,0).由得1+2=12321，12=9321.联立:=(+1)与:=3(1)，解得=12.于是12=12sin12sin=1122121212=41+2 122+2 12=|4212+6(1+2)+9|=429321+612321+9=92+9321=9，解得2=0或 1，所以直线的方程为=2或=+2.19（1）解法一：解法一：因为数列为等差数列，且3=9,5=25，所31+3=9,51+10=25，解得1=1,=2，所以=1+(1)(2)=2+1，=(12+1)2=2 所以3+1=3(2+1)+(+1)2=(2)2 0，即3+1，所以数列具有性质(3).解法二：解法二：由条件易得=1

22、 2,=2，第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 则+1=3(1 2)+(+1)2=(2)2 0，所以有(3)；（2）解法一：解法一：由题意得：数列具有性质(4)，即4+1，若0 1，411 11+11，整理得11(2)2，解得 1，则411 11+11，整理得1(2)2 1，当=2时，上式恒成立，满足题意；当 1且 2时，解得 1，再将上式整理为4+1=141，即要491 0对所有正整数恒成立，而当趋于无穷时趋向零，所以必须4+1 0，(2)2(1)0，能=2；解法一：解法一：由+1可得+1+2，即(+1)+2，因此+1+2 2+2，即+2+14+1，所以+141 4212 4121，因为各项均为正数，所以+1，从而1 12，若0 4，则 12恒成立，符合题意，所以的最小值为 4.解法二：解法二：当=2时，+1=2+2(4)，则必须满足 4，而由知=4时存在数列满足题意，所以最小值就是 4.