14_2024高考数学点睛密卷_全国乙文

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1、高途高中数学高考研究院2 2 绝密启用前 2024 年高考数学点睛密卷(全国乙卷文)数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改

2、动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1设集合 4,2,0,2,4A=，|32Bxx=，则(AB=)A0,2,4 B 4,2,0 C 4,2 D2,4【解答】解：集合 4,2,0,2,4A=，|32|1Bxxx x=，故2,4AB=故选：D 2设复数x满足2izz=，|2z=，复数z

3、所对应的点位于第四象限，则(z=)A12i B1i C1i D2i【解答】解：设i(,0,0)zab a bab=+R，2izz=，则i(i)2 i2iababb+=，解得1b=，|2z=，则222ab+=，解得1a=(负值舍去)，故1iz=故选：B3已知向量(1,1)=a，(,2)m=b，若()+aba，则2(=a b)A8 B7 C7 D8【解答】解：因为向量(1,1)=a，(,2)m=b，所以(1,1)m+=+ab，因为()+aba，所以1(1)0m+=，解得2m=，所以(2,2)=b，高途高中数学高考研究院3 3 所以22(22)8=a b故选：A 4已知3()(0)3xxbf xbb

4、=+是奇函数，则(b=)A4 B3 C2 D1【解答】解：根据题意，3()(0)3xxbf xbb=+是奇函数，其定义域为R，有1(0)01bfb=+，则1b=故选：D 5某不透明的袋中有 3 个红球、2 个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A310 B25 C35 D45【解答】解：某不透明的袋中有 3 个红球、2 个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同，甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为：3223354545P=+=故选：C6执行如图所示的程序框图，输出的

5、(S=)A18 B22 C25 D1375【解答】解：执行该程序框图，12S=，2k=，4k成立，18S=，3k=，4k成立，22S=，4k=，4k成立，25S=，5k=，不满足4k输出25S=故选：C7已知圆22:(1)(1)4Cxy+=截直线:2l yax=+所得弦的长度为2 2，则实数a的值是()A2 B6 C1 D4【解答】解：圆的标准方程为22(1)(1)4xy+=，圆心为(1,1)，半径2r=，高途高中数学高考研究院4 4 弦的长度为2 2，故圆心到直线的距离222(2)2d=，圆心到直线20axy+=的距离2|12|21ada +=+，解得1a=故选：C 8 在三角形ABC中，内

6、角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3 sinccAaC+=，3a=，3 2bc+=，则ABC的面积为()A3 24B3 34C4 23D4 33【解答】解：cos3 sinccAaC+=，由正弦定理得sinsincos3sinsinCCAAC+=，因为(0,)C，所以sin0C，故1 cos3sinAA+=，即2sin16A=，故1sin62A=，因为(0,)A，所以 5,666A，故66A=，解得3A=，由余弦定理得222cos2bcaAbc+=，即22()2122bcbcabc+=，因为3a=，3 2bc+=，所以1829122bcbc=，解得3bc=，1133 3sin322

7、24ABCSbcA=故选：B 9 记nS为等差数列 na的前n项和若4524aa+=，648S=，则数列121nnaa+的前 2024项和为()A5074051B5074048C5064049D5064051【解答】解：设等差数列 na的公差为d，由4562448aaS+=，得11272461548adad+=+=，解得124ad=，24(1)46nann=+=，1211111(42)(42)8 2121nnaannnn+=+，令数列121nnaa+的前n项和为nT，202411111111115061183355740474049840494049T=+=故选：C10若3sin5=，0,2

8、，则2cos23的值为()高途高中数学高考研究院5 5 A63 320+B63 320C6320+D6320【解答】解：因为3sin5=，0,2，所以2234cos1sin155=，所以224133221cos11cos cossinsin3525233cos23222+=63 320+=故选：A 11已知函数221,0,()|ln|,0,xxxf xx x+=若方程()f xa=有四个根1x，2x，3x，4x，且 1234xxxx，则下列说法错误的是()A122xx+=B342xx+C124x x D01a【解答】解：作出函数的图象如图：由图象知，122xx+=，故 A 正确；33|ln|l

9、nxx=，44|ln|lnxx=，且34|ln|ln|xx=，所以34lnln0 xx+=，所以341x x=，342xx+，故 B 正确；由 A 知，122xx+=，且120 xx，当且12x=，20 x=时，显然1 20 x x=，故 C 错误；由图象知01a，故 D 正确故选：C12 设1F，2F是椭圆22122:1(0)xyCabab+=与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn=的公共焦点，P为它们的一个交点，1e，2e分别为1C，2C的离心率，若1223FPF=，则12112ee的取值范围为()A(0,2)B(2,3)C(1,3)D(2,)+【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的

11、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13设抛物线2:4C yx=的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线l与C交于P，Q两点，则|PQ=【解答】解：抛物线2:4C yx=的焦点为(1,0)F，直线l过点F且斜率为 2，则l的方程为2(1)yx=，设11(),P x y，22(),Q x y，联立22(1)4yxyx=，消去y得2310 xx+=，则123xx+=，12|25PQxx=+=故答案为：5 14已知角，为锐角，且2 5sin5=，1tan()3=，则角=【解答】解：角，为锐角，且2 5sin5=，1tan()3=，tan2=，tan0，tantan2tan1tan()

12、1tantan12tan3=+，解得tan1=，角是锐角，角45=故答案为：45 15一个正四棱柱底面边长为 2，高为3，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为【解答】解：由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院7 7 O为内切球的球心，PH是棱锥的高，E，F分别是AB，CD的中点，连接PF，G是球与侧面PCD的切点，可知G在PF上，OGPF，设内切球半径为r，则OHOGr=，1HF=，3PH=，1 32PF=+=，由PGOPHF，OGPOHFPF=，即312rr=，解得33r=，所以内切球表面积为22344433Sr=故答案为：43

13、16已知函数2sin()xf xxx=，给出下列四个结论：()f x存在无数个零点；()f x在(1,)+上有最大值；若(2023.7)fa=，则(2022.7)fa=；区间1,12是()f x的单调递减区间其中所有正确结论的序号为【解答】解：对于，由20 xx，可得0 x 且1x，即函数()f x的定义域为(,0)(0,1)(1,)+，令()0f x=可得sin0 x=，则()xkk=Z，且(,0)(0,1)(1,)x+，故(,0,1)xk kkk=Z，所以函数()f x有无数个零点，对；对于，当1x 时，2(1)0 xxx x=，令sin0 x，可得*2 (21)()kxkk+N，解得

14、*221()k xkk+N，假设函数()f x在(1,)+上的最大值点为0 x，则*02,21()xkkk+N，因为函数2yxx=在(1,)+上单调递增，且20yxx=，对任意的*2,21()xkkk+N，令*tN，则22(2)(2)0 xtxtxx+，高途高中数学高考研究院8 8 所以22110(2)(2)xxxtxt+，则222sin(2)sinsin(2)()(2)(2)(2)(2)xtxxf xtf xxtxtxtxtxx+=+，所以若()f x在(1,)+上存在最大值点0 x，则02,3x，因为函数()f x在2,3上是一条连续不断的曲线，所以函数()f x在2,3上存在最大值，故函

15、数()f x在(1,)+上存在最大值，对；对于，对任意的(,0)(0,1)(1,)x+，22sin()sin(1)()(1)(1)xxfxf xxxxx=，因为2023.72022.71=，所以若(2023.7)fa=，则(2022.7)fa=，对；对于，22sin2399 3332242233f=，23sin32168 2442333344f=，因为229 38 224312821872048043169144=，即9 38 243，故2334ff，故函数()f x在1,12上不可能单调递减，错故答案为：三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答

16、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答；每个试题考生都必须作答；22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17 某公司对其产品研发的年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表：x1 2 3 4 5 y1.5 2 3.5 8 15(1)求变量x和y的样本相关系数r(精确到0.01)，并推断变量x和y的线性相关程度；(若|0.75r，则线性相关性程度很强；若0.25|0.75r，则线性相关性程度一般，若|0.25r，则线性相关性程度很弱)(2)求年销售量y关于年投

17、资额x的回归方程并预测投资额为 700 万元时的销售量(参考：517.14)参考：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy=，1121()()()niiniixxyybxx=，aybx=高途高中数学高考研究院9 9【解答】解：(1)由题意，1(12345)35x=+=，1(1.523.5815)65y=+=，51()()(2)(4.5)(1)(4)0(2.5)1 22 933iiixxyy=+=，52222221()(2)(1)01210iixx=+=，52222221()(4.5)(4)(2.5)29127.5iiyy=+=，51552211()()33330.92

18、10127.5551()()iiiiiiixxyyrxxyy=，|0.75r，变量x和y的线性相关程度很强(2)51521()()333.310()iiiiixxyybxx=，63.3 33.9a=，年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为3.33.9yx=，当7x=时，3.3 73.919.2y=，所以研发的年投资额为 700 万元时，产品的年销售量约为 19.2 千件18记数列 na的前n项和为nS，已知16a=，且满足1213nnnSSaa+=(1)证明：数列 na是等比数列；(2)若数列nnba是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，nb的前n项和为nT，求nT【解答】(1)证明：当1

19、n=时，212121223SSaaaaaa+=+=，化简整理，得2122(6)12aa=，当2n时，由1213nnnSSaa+=，可得123nnnSSaa+=，两式相减得1133nnnnaaaa+=，化简整理得12nnaa+=，当1n=时，212aa=也满足上式，数列 na是首项为6，公比为 2 的等比数列，16 23 2nnna=，*nN(2)解：由题意，可知1 3(1)32nnbann=+=，则323 232nnnbann=+=+，1212(3 23 1 2)(3 23 22)(3 232)nnnTbbbn=+=+公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院10 10 1212(1)3(222

20、)14(32)3(222)132nnnnnn=+=+2212(12)333()6321222nnnnnnn+=+=+，*nN 19 如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，ABCD，点E在棱PB上，2PEEB=，点F，H是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点，223PCCBCDAB=，13AC=(1)证明：HD平面CFG，且ECFG；(2)求三棱锥APBD的体积【解答】(1)证明：F，H是棱PA上的三等分点，F为PH的中点，又G为PD的中点，FGHD，又FG平面CFG，HD平面CFG，HD平面CFG，连接HE，在PAB中，由已知可得：2PEPHEBHA=，EHAB，且23EHAB=，

21、又ABCD，23CDAB=，EHCD=，且EHCD，可得四边形HECD为平行四边形，得CEHD，又FGHD，ECFG；(2)解：由已知得，3AB=，2BC=，13AC=，则222ABBCAC+=，ABBC，又ABCD，BCCD，则BC为ABD的顶点D到边AB的距离，又PC 平面ABCD，且2PC=，1113 222332A PBDP ABDABDVVSPC=中高途高中数学高考研究院11 11 20已知函数ln()xf xx=，2()()axg xax=R(1)求()f x的单调区间及最值；(2)令()()()h xf xg x=+，若()h x在区间2(1,e)上存在极值点，求实数a的取值范围

22、【解答】解：(1)21ln()xfxx=，且定义域为(0,)+，令()0fx，解得0ex，即()f x的单调递增区间为(0,e)，令()0fx，解得ex，即()f x的单调递减区间为(e,)+，所以max1()(e)ef xf=，无最小值(2)因为22ln1()(1e)xah xxxxx=+，所以22331ln122ln2()xaxxxah xxxxx=+=，令()2ln2xxxxa=，则()2ln11lnxxx=，令()0 x，得0ex，令()0 x，得ex，又2(1,e)x，所以()x在(1,e)上单调递增，在2(e,e)上单调递减，所以max()(e)e2xa=，(1)22a=，2(e)

23、2a=，若()h x在2(1,e)上存在极值点，则e20220aa或e2020aa，解得e12a或e02a，所以实数a的取值范围为e0,2 21椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为3(1)求椭圆C的方程；(2)过点(4,)Pt作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点【解答】(1)解：根据题意可得：12ca=，1232bc=，又222abc=+，解得24a=，23b=，21c=，故椭圆C方程为：22143xy+=；(2)证明：下证过椭圆22143xy+=上一点00(,)x y作椭圆的切线，其切线方程为：00143x x

24、y y+=，高途高中数学高考研究院12 12 当0 x且0y，222131434xyxy+=，求导得：213322414xxyyx =，同理可得，当0 x且0y 时，213322414xxyyx =，所以当0y 时，34xyy=，根据导数的几何意义可得，过点00(,)x y的切线的斜率为0034xy，故切线方程为：00003()4xyyxxy=，即2200004433y yyx xx=+，又22003412xy+=，故切线方程为：00143x xy y+=，即证设M，N坐标为11(,)x y，22(,)xy，故可得过点M的切线方程为：11143x xy y+=，又因为其过点(4,)Pt，则1

25、113txy+=，同理可得2213txy+=，故MN的直线方程为13txy+=，其恒过定点(1,0)选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。分。22在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线1C的普通方程为2220(01,21)xyyxy+=，曲线2C的普通方程为224xy+=(20,20)xy(1)写出2C的一个参数方程；(2)若直线的极坐标方程为cossinpm+=，且该直线与1C或2C有公共点，求m的取值范围【解答】解：(1)曲

26、线2C的普通方程为224(20,20)xyxy+=，转换为参数方程为2cos32sin2xy=为参数,，(2)直线的极坐标方程为cossinpm+=，根据cossinxy=，转换为直角坐标方程为yxm=+，公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院13 13 若直线yxm=+与曲线1C：2220(01,21)xyyxy+=有公共点，则m的取值范围为20m，若直线yxm=+与曲线2C：224(20,20)xyxy+=有公共点，则当直线与圆相切时，|22m=，解得2 2m=，故当2 22m时，直线与曲线2C有公共点，综上所述：实数m的取值范围为2 20m，即 2 2,0m 23已知函数()|32|2

27、1|f xxx=+(1)求不等式()9f x 的解集；(2)若存在xR，使得()f xm成立，求实数m的取值范围【解答】解：(1)函数151,212()|32|21|3,23251,3xxf xxxxxxx+=+=+所以不等式()9f x 可化为12519xx+或122339xx+或23519xx，解得85x 或2x，所以()9f x 的解集为825x xx 或；(2)若存在xR，使得()f xm成立，即min()mf x，因为151,212()3,23251,3xxf xxxxx+=+当12x时，()51f xx=+单调递减，当1223x时，()3f xx=+单调递减，当23x时，()51f xx=单调递增，所以()f x的最小值为2733f=，所以实数m的取值范围是7,3+

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