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1、2024 届江西省南昌市高三下学期第三次模拟测试数学届江西省南昌市高三下学期第三次模拟测试数学 2024 届高三第届高三第三次模拟测试三次模拟测试数学试题数学试题一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2|2Ax yxx，|21xBy y.则AB（）A.(1,2B.1,2C.0,2D.2,)2.已知:p“2x”，:q“20 xxa”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.1,24B.(,2C.1,4D.2,)3
2、.如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是11yb xa和22ub va，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数1r，对变量v，u进行线性相关检验，得到相关系数2r，则下列判断正确的是（）A.10b B.20b C.12|rrD.120rr4.已知132a，143b，3log 2c，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.bacC.acbD.cba5.已知三棱锥ABCD中，ABD是边长为 2 的正三角形，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，M分别是线段BD的中点，若AMBC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A.43B.4C.163D
3、.166.已知数列 na的前n项和为nS，且满足11a，2112nnnaaS，则5S的值不可能是（）A.1B.2C.3D.157.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F.过2F作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若1F AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.5,52B.3,32C.1,22D.2,)8.已知函数21()e(1)2xf xxa x.则下列说法中错误的是（）A.当1ea 时，()f x在R上单调递增B.当0a 时，()f x的最小值是一个与a无关的常数C.()f x可能有三个不同的零点D.当0a 时，()f x有且仅有一个
4、零点二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每题每题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知 na是单调递减的等比数列，若22a，前 3 项和37S，则下列说法中正确的是（）A.14a B.3q C.12nnaD.382nnS10.已知函数32()(0)f xaxbxcxd a，若|()2|yf x的图象关于直线1x 对称，则下列说法正确的是（）A.|()|yf x的图象也关于直线1x 对称B.()y
5、f x的图象关于(1,2)中心对称C.2abcd D.30ab11.是椭圆22122:1(0)xyCabab上所有的点绕原点旋转02角，得到椭圆2C的方程：226xyxy，则下列说法中正确的是（）A.2 3a B.椭圆2C的离心率为33C.(2,2)是椭圆2C的一个焦点D.4三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知复数z满足2izz，则|z _.13.在ABC中，2cos1aBb，则cos()BC_.14.欧拉函数*()Nnn的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有 I的两个正整数称为互质整数），例
6、如：(3)2，(4)2，则数列23nn的前n项和为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图 1，四边形ABCD为菱形，3ABC，E，F分别为AD，DC的中点，如图 2.将ABC沿AC向上折叠，使得平面ABC 平面ACFE，将DEF沿EF向上折叠.使得平面DEF 平面ACFE，连接BD.图 1图 2（1）求证：A，B，D，E四点共面：（2）求平面AEDB与平面FDBC所成角的余弦值.16.（15 分）教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前 30 次的投篮情
7、况，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示没有投中）：序号123456789101112131415投篮情况110111101110001序号161718192021222324252627282930投篮情况101100111001110把频率估计为概率：（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第 31，32 两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率；（2）若认为甲从第 2 次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第 31，32 两次投篮投中的次数为X，写出随机变量X的分布列，并求EX.17.（15 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为32e，过点(1,0)C作斜
8、率为k直线l与椭圆E交于A，B两点交于A，B（A在x轴上方），当1k 时，8 2|5AB.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作直线4x 的垂线，垂足为N，连接BN与x轴交于点M，若四边形ACMN为等腰梯形，求直线l的斜率k.18.（17 分）定义：若变量x，0y，且满足：1mmxyab，其中a，0b，mZ.称y是关于的“m型函数”.（1）当2a，1b 时，求y关于x的“2 型函数”在点31,2处的切线方程；（2）若y是关于x的“1型函数”，（i）求xy的最小值：（ii）求证：1111nnnnnnnnnxyab，Nn.19.（17 分）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.
9、小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.图 1图 2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过4，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图 1 所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD，2.4mAB，而客户家门高度为 2.3 米，其他过道高度足够，若以倾斜角4的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收，为了省力，小金选择将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均
10、小于冰箱背面），推运过程中遇到一处直角过道，如图 2 所示，过道宽为 1.8 米.，记此冰箱水平截面为矩形EFGH，1.2mEH.设PHG，当冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）2024 届高三第三次模拟测试届高三第三次模拟测试数学参考答案及评分意见数学参考答案及评分意见一一、单项选择题单项选择题：共共 8 小题小题，每题每题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
11、目要只有一个选项是符合题目要求的求的.题号12345678答案ABDBCBAC二、多项选择题：共二、多项选择题：共 3 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.题号91011答案ADBCDACD三、填空题：共三、填空题：共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.213.114.32123n四、解答题：共四、解答题：共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应
12、写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）取AC，EF的中点分别为M，N，连接BM，DN，取AM，BM的中点分别为G，H，连接GH，HD，GE，由题意知ABC，DEF都是等边三角形，所以BMAC，DNEF，因为平面ABC 平面ACFE，平面DEF 平面ACFE，所以BM 平面ACFE，DN 平面ACFE，所以/BM DN，因为AM，BM的中点分别为G，H，所以/GE MN所以HMDN，所以/DH MN，所以/DH GE，又因为DHGE，所以/GH DE，因为AM，BM的中点分别为G，H，所以/GH AB，所以/AB DE，所以A，B，D，E四点
13、共面；（2）连接AD，DC，由题意知APAB，BDDP，所以ADBD，同理CDBD，所以ADC就是二面角ADBC的平面角，设2ABa，则2ACa，32DNa，72ANa，所以102DAa，同理102DCa，所以22210104144cos51010222aaaADCaa，所以平面AEDB与平面FDBC所成角的余弦值为15.16.【解析】（1）根据表中的数据，在甲前 30 次的投篮过程中，有 19 次投中，11 次没有投中，因此因动员甲投篮投中的概率11930P，投不中的概率为21130P，若甲各次投篮互相独立，那么第 31，32 次投篮，恰有一次投中，一次没有投中的概率为12121911209
14、C23030450PPP；（2）根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为1219，上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为35，X的所有可能取值为0，1，2，且由表格可知第 30 次运动员甲没有投中，则334(0)115525P X ，33312219(1)1155519475P X，31236(1)51995P X，所以随机变量X的分布列为：X012P4252194753695所以4219365790122547595475EX .17.【解析】（1）因为22312bea，所以12ba，即2ab，不防设椭圆的方程为222214xybb，即22244xyb.并与直线1y
15、x 联立方程222441xybyx 消去y得2258440 xxb设11,A x y，22,B xy，则有1285xx，212445bx x由222121212818|2242162555bABxxxxx x所以210b，即1b 所以椭圆E的标准方程为2214xy；（2）因为四边形ACMN为等腰梯形，则必有BCMBMC，即|BCBM，不妨设CM的中点为G，则必有BGCM，要求直线l的斜率，只需要转化为求点B的坐标，则有212MGxxx设11,A x y，22,B xy，则有14,Ny，有直线BN的方程为1212(4)4yyyyxx，令0y，则有2111244Mx yyxyy不妨设直线AB的方程
16、为1xmy，1km则有221xmy，1211234Mmy yyxyy并与椭圆联立方程22441xyxmy，消去x得224230mymy则有12224myym，12234y ym，则有121232my yyy则有12112335242Myyyxyy，所以251172224MGxxx所以2221 7151144 48xy 所以151587614k.18.【解析】（1）由条件知12214xy，122111242xyx ，136xy 所求切线方程为33(1)26yx，即2 340 xy.（2）由已知得：111xyab，即1abxy，2()()2()abaybxaybxxyxyabababxyxyxy.
17、当且仅当2()aybxxyxyab即xaabybab时取得最小值.由111xyab，即1abxy，则()()xaybab，且xa，yb.可设xaat，bybt，其中(0,)t，于是11(1)1(1)1nnnnnnnnxyatbatbtt.记1()(1)1nnnnh tatbt.11112111(1)()(1)1nnnnnnnnnnatbh tnatnbtttta.由()0h t，得1nnbta，记10nnbta，当00tt 时()0h t，当0tt时，()0h t，则 min0001()11nnnnh th tatbt1111nnnnnnnnbaabab111111nnnnnnnnababab
18、111111nnnnnnnnnnnnnnaabbba111nnnnnnab.所以1111nnnnnnnnnxyab.19.【解析】（1）过A，D作水平线1l，2l，作2CFl，1DEl，如图，当倾斜角4时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）8 20.8sin2.4cos2.3445hDECF，故冰箱能够按要求运送入客户家中.（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则1.81.8sincosMNOMON，1.2tanEM，1.2tanFN，又EFMNMENF，则1.81.811.8(sincos)1.21.2 tansincostansincosEF，0,2.设sincos2sin4t，因为0,2，所以 3,444，所以(1,2t，则221.81.26 3215112ttEFtt，再令32mt，则265415552413mEFmmm，(1,3 22m，易知，54ymm在(1,3 22上单调递增，所以541554ymm，(1,3 22m单调递减，故当3 22m，即2t，4时，EF取得最小值18 2122.695，由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为 2.6 米.