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1、高途高中数学高考研究院 2 2 绝密启用前 2024 年高考数学点睛密卷(新高考 II 卷 A)数 学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
2、置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1若复数(iii1z 为虚数单位)，则|(z)A12B22C1 D2【答案】B【解答】解：ii(1i)1i1i22z，即11i22z，则22112|222z，故选：B 2已知集合0A，1，2，|31Bx xk，kN，则(AB )A0，1，2B
3、1，2C1 D2【答案】D【解答】解：集合0A，1，2，|31Bx xk，1k N，2，5，8，11，31k，kN，则2AB 故选：D 高途高中数学高考研究院 3 3 3在5(2)x的展开式中，2x项的系数为()A1 B10 C40 D80【答案】D【解答】解：根据二项式的展开式515C2(0rrrrTx r，1，2，3，4，5)，令2r 时，2x项的系数为235C280 故选：D 4已知等比数列na的前n项和为nS，若4135Saa，则42(aa)A4 B5 C16 D25【答案】C【解答】解：设等比数列na的公比为q，由123413134131313()15aaaaaaaa qSqaaaa
4、aa，得4q，所以24216aqa故选：C 5在ABC中，90C，则“AB”是“cossincossinAABB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：若AB，则cossincossinAABB，所以充分性成立；若cossincossinAABB，即2sin(45)2sin(45)AB，90C，090A，090B，4545135A，4545135B，所以4545AB或(45)(45)180AB ，所以AB或90AB，即AB或90C，所以必要性不成立 故AB是cossincossinAABB的充分不必要条件 故选：A 6函数2()exf
5、 xx在区间(,1.5)k k 上存在极值点，则整数k的值为()A3，0 B2，1 C3，1 D2，0【答案】C【解答】解：函数2()exf xx，可得22()2 eee(2)xxxfxxxxx，当(,2)x 和(0,)时，()0fx，当(2,0)x 时，()0fx，则()f x在(,2)和(0,)上单调递增，在(2,0)上单调递减 若()f x在(,1.5)k k 上无极值点，则1.52k 或0k或21.5 0kk，高途高中数学高考研究院 4 4(k ，3.5 2，1.50，)时，()f x在(,1.5)k k 上无极值点，(3.5k ，2)(1.5，0)时，()f x在(,1.5)k k
6、上存在极值点 因为k是整数，故3k 或1k ，故选：C 7已知函数()ln(0,0)1mxf xmnnx是奇函数，则12mn的最小值为()A3 B5 C32 2D34 2【答案】C【解答】解：函数()f x的定义域满足|()(1)0 xxm xn 因为()f x是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得10mn，即1mn，此时()lnmxf xmx，可得()()lnlnln10mxmxf xfxmxmx，可得()f x是奇函数，即1mn符合题意；故12122()332 2nmmnmnmnmn，当且仅当2nmmn，即21m，22n 时等号成立，故12mn的最小值为32 2故选：C 8已知矩形ABCD
7、中，3AB，2BC，将CBD沿BD折起至CBD当直线C B 与AD所成的角最大时，三棱锥CABD的体积为()A53B5 1313C2 53D6 1313【答案】C【解答】解：异面直线最大角为直角，当C BAD时，C B 与AD所成角最大，四边形ABCD是矩形，ADAB，又C BAD，且ABC BB，AD平面ABC，又AC平面ABC，ADAC，在RtACD中，2AD，3CD，22945ACC DAD，高途高中数学高考研究院 5 5 又2,5,3BCACAB，222ABBCAC，BCAC，1112 52523323CABDD ABCABCVVSAD 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共
8、3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9给定一组均为整数的样本现在将这个样本同时加上()a aZ，则下列说法正确的是()A平均数增大a B方差不变 C如果a是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变 D如果a是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变【答案】ABD【解答】解：设给定一组均为整数的样本为1x，2x，nx，平均数为x，将这个样本同时加上()a aZ，即1xa，
9、2xa，nxa，此时平均数121211()()nnxxaxaxaxxxaxann，故平均数增大a，故A正确；因为将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，数据的波动性不变，所以方差不变，故B正确；如果a是奇数，和这组数据中的每一个相加，奇偶性替换，所以是奇数的概率不一定不变，故C错误；如果a是偶数，相加后奇偶性不变，所以奇数的概率不变，故D正确 故答案为：ABD 10已知函数()sin()(0f xAx，0)A，若3x 为()f x的一个极值点，且()f x的最小正周期为，则()A3Af B()6kk ZC()f x的图象关于点7,012 对称 D3fx为偶函数【答案】BCD【解答】解：函数
10、()sin()(0f xAx，0)A，()f x的最小正周期为，故2；高途高中数学高考研究院 6 6 若3x为()f x的一个极值点，则2sin33fAA，故2()32kk Z，整理得6k；当0k 时，6；当1k 时，56；所以()sin 26f xx或5()sin 26f xx；对于A：13Af，或13f，故A错误；对于B：由函数的极值点得6k()kZ，故B正确；对于C：当712x时，7012f，故C正确；对于D：根据函数的关系式()sin 26f xx；所以sin 2cos232fxxx，对于5()sin 26f xx，所以25sin 2cos2336fxxx，故D正确 故选：BCD 11
11、已知定义域为R的函数()f x对任意实数x，y都有()()2()()f xyf xyf x f y，且102f，则以下结论正确的有()A(0)1f B()f x是偶函数 C()f x关于1,02中心对称 D(1)(2)(2022)0fff【答案】BCD【解答】方法一：赋值迭代方法一：赋值迭代 函数()f x对任意实数x，y都有()()2()()f xyf xyf x f y，取0y 得，()()2()(0)f xf xf x f，2()2()(0)f xf x f，2()(0)10f xf，()0f x 恒成立，则直接选BCD；()0f x 不恒为，(0)1f，故A错误，取0 x 得，()()
12、2(0)()f yfyff y，又(0)1f，()()2()f yfyf y，()()fyf y，()f x为偶函数，故B正确，取12x 得，1112()222fyfyff y，又102f，11022fyfy，高途高中数学高考研究院 7 7 函数()f x关于点1,02中心对称，故C正确，()f x为偶函数，且函数()f x关于点1,02中心对称，函数()f x的周期2T，取12xy得，f(1)11(0)222fff，f(1)1，取1xy得，f(2)2(0)2ff(1)，f(2)1 f(1)f(2)(2022)1011 ff(1)f(2)1011 00，故D正确 方法二：还原函数方法二：还原函
13、数 因()f x满足()()2()()f xyf xyf x f y，符合三角函数模型cosyx，又因102f，则 即可，即()cosf xx，对于 A：(0)cos01f，A 错误；对于 B：()coscos()fxxxf x ，为偶函数，B 正确；对于 C：因1cos022f，故()f x关于1,02中心对称，C 正确；对于 D：易知()f x周期为2，且(1)cosf，(2)cos2f，则(1)(2)0ff，所以(1)(2)(2022)1011(1)(2)0fffff，D 正确.故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分
14、 12若向量a，b满足|1a，|2b，若b与a的夹角为锐角，则()aab的取值范围是 【答案】(1,3)【解答】解：b与a的夹角为锐角，cos,(0,1)a b，|1a，|2b，2()1 1 2cos,(1,3)aabaa ba b，()aab的取值范围是(1,3)故答案为：(1,3)13某班级计划安排学号为19的九名同学中的某 5 位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有 种(用数字作答)【答案】720 公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院 8 8【解答】解：第一类：当学号为偶数的同学有 3 位时，有3245A A2420
15、480；第二类：当学号为偶数的同学有 4 位时，有312452A C A24 10240；所以不同的安排方法有480240720种 故答案为：720 14 已知圆222:(0)O xyrr，设直线330 xy与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|APBP，则r的值为 【答案】12【解答】解：根据题意易得(3,0),(0,1),ABPAPB，P在AB的垂直平分线上，又33ABk，AB中垂线的斜率为3，又AB的中点为3 1,22，由点斜式方程得13322yx，化简得31yx，又P在圆222:O xyr满足条件的P有且仅有一个，直线31yx与圆相切，11231rd，故答案为：1
16、2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.15(13 分)如图，三棱柱111ABCABC的侧面11BBC C为菱形，160CBB，1ABBC(1)证明：11BCAC；(2)若1ACAB，2ABBC，求四棱锥11ABCC B的体积【解答】解：(1)证明：连接1BC，1AC，设11BCBCO，连接AO 公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院 9 9 11BCC B为菱形，11BCBC，且O为1BC，1BC的中点，又1BCAB，1BCABB，1BC，AB 平面1ABC，1BC平面1AB
17、C，1AC 平面1ABC，11BCAC；(2)由(1)知1BC 平面1ABC，又AO 平面1ABC，1BCAO，又1ACAB，O为1BC的中点，112OABC，由菱形11BCC B，160CBB，2ABBC，则1BBC为正三角形，12,1,3BCOAOB，222OAOBAB，OAOB，1BCOBO，1BC，OB平面11BCC B，OA平面11BCC B，而1 1111122 32 322BCC BSBCBC，1 11 1112 32 3 1333A BCC BBCC BVSOA 16(15 分)已知函数1()2 ln(0)f xm xxmx(1)讨论()f x的单调性；(2)证明：2*3222
18、211111111e(,2)234nnnN；(3)若函数221()ln2g xmxxx有三个不同的零点，求m的取值范围【解答】解：(1)函数()f x定义域为(0,)，因为2222121()1mxmxfxxxx，设2()21k xxmx，则24(1)m，当01m时，0，()0fx恒成立；当1m 时，0，()k x有两个零点211xmm，221xmm，所以当10 xx时，()0k x，即()0fx；当12xxx时，()0k x，即()0fx；公众号：高中试卷君高途高中数学高考研究院 10 10 当2xx时，()0k x，即()0fx综上所述：当01m时，()f x在(0,)上单调递减；当1m 时
19、，()f x在2(0,1)mm，2(1,)mm上单调递减，在22(1,1)mmmm上单调递增；(2)证明：由(1)知当1m 时，(1,)x时，1()2ln(1)0f xxxfx，所以1ln22xxx，令*211(,2)xnnn N，则2222222111111111ln 11112212 14nnnnnnn111122nn，22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n1111111111112233222222nn2121332n，所以23222211111111e234n；(3)222221(1)11()ln2lnlnlnxxxg xmxxmxm xm xxxxx，因为lnx与1
20、x同号，所以1lnxym xx只有一个零点1x，令tx，由f(1)0，则()g x有三个不同的零点等价于函数()f t有三个不同的零点，由(1)知：当01m时，()f x在(0,)上单调递减，不合题意；当1m 时，因为f(1)0，且121x x，所以121xx，所以1()f xf(1)20()f x，由(2)知，1x 时，1ln22xxx，所以1ln22xxx，即1lnxxx，所以2222222211114(4)2 ln(4)422404244mfmmmmmmmmmmm，所以由零点存在性定理知，()f t在区间22(,4)xm上有唯一的一个零点0t，因为000000001111()2 ln2
21、ln0f tfm ttmttttt，高途高中数学高考研究院 11 11 因为0()0f t，所以010ft，所以1m 时，()f t存在三个不同的零点01t，1，0t，故实数m的取值范围是(1,)17(15 分)为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲、乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中40，50)为非常不满意，50，60)为不满意，60，70)为一般，70，80)为基本满意，80，90)为满意，90，100为非常满意(1)求乙社区调查结果图中的a值并估计乙社区调查结果的80%分位数(精确到0.
22、01)；(2)已知调查问卷中有75%来自甲社区业主若在所有评分不足 60 分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足 60 分的调查问卷中随机抽取 70份进行细致分析，求这 70 份问卷中来自甲社区业主的问卷份数X的期望()E X【解答】解：(1)由频率之和为 1 得：(0.0040.0180.0220.0220.028)101a，解得：0.006a，80，90)这组的频率为：0.022 100.22，90，100这组的频率为：0.018 100.18，0.181 80%，0.180.221 80%，故80%分位数在8
23、0，90)组，设80%分位数为x，则0.022(90)0.181 80%x，解得89.09x，故80%分位数为 89.09；(2)任抽一份问卷，是来自甲社区业主的问卷记作事件A，问卷评分不足 60 分记作事件B，根据题意可知：()0.75,()0.25,(|)0.06,(|)0.10P AP AP B AP B A，公高途高中数学高考研究院 12 12 所以()P ABP(A)(|)0.75 0.060.045P B A，()()(|)0.250.100.025P ABP A P B A，所以，()()()0.0450.0250.07P BP ABP AB，所以，从不足 60 分的问卷中抽取一
24、份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为()0.0459(|)()0.0714P ABP A BP B；70 份评分不足 60 分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数970,14XB，所以9()704514E X 18.(17 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33，且椭圆C的短轴长为2 6(1)求椭圆C的方程(2)设P是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，B是椭圆C的上顶点，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N记ABN的面积为1S，AMN的面积为2S证明：12|SS为定值【解答】解：(1)由题意可得2223322 6cababc，解得363abc，
25、故椭圆C的方程为22196xy(2)证明：设0(P x，0)y，则直线PA的方程为00(3)3yyxx，令0 x，得0030,3yMx 直线PB的方程为0066yyxx，令0y，得006,06xNy 010616|3226xSANOBy，002006313236xySxy，0000001200006333 6663 6311|36232366xyyxxySSxxyy2200000000006918 66 6365412363 6xyyx yxx yyx 公众高途高中数学高考研究院 13 13 由2200196xy，得22006954xy，则220000000000000000006918 66
26、 6365410818 66 636113 622363 6363 6xyyx yxyx yxx yyxx yyx 故12|SS为定值 19(17 分)已知正项数列na满足：2211145450nnnnnnaaaaaa，*nN，12a (1)设1nnnbaa，试证明 nb为等比数列；(2)设24nnnbcb，试证明12509nccc；(3)设22212nnAaaa，22212111nnBaaa，是否存在n使得232()nnnAB为整数？如果存在，则求出n应满足的条件；若不存在，请给出理由【解答】解：(1)证明：2211145450nnnnnnaaaaaa，0na，1nnnbaa22114(1)
27、5(1)nnnnaaaa2211(1)(1)54nnnnaaaa154nnbb，又12a，1111502baa，数列 nb是以52为首项，54为公比的等比数列(2)证明：由(1)得，15552244nnnb，111114142255454162144525524nnnnnnnnncbb高途高中数学高考研究院14 14114125 4(12518 516125nnn，当且仅当1n时取等)11244155254425504185518915nnnccc 故12509nccc(3)2211112nnnnABaanaa 2212525251100141616222259116nnnbbnnn，当1n时，2111732()32128nnnABAB不是整数；当2n 时，222102532()464nnnABAB不是整数，当3n时，2232nn必定为整数，只需要考虑2225100116100 2(2516)3299 32nnnnn是否为整数即可 又1111122225C169C169C9 100 2(169)16 9 329 16nnnnnnnnnnnn21131299225 C16CC1616nnnnnnnnn，则只需要21282225(1699)925(169)216nnnnnnn 为整数即可，则8n8n公众号：高中试卷君