《2024高考数学专项立体几何系统班9、经典模型之二面角模型.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024高考数学专项立体几何系统班9、经典模型之二面角模型.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第 9 讲经典模型之二面角模型知识与方法讲经典模型之二面角模型知识与方法设有公共边BC的ABC和BCD构成二面角ABCD，若 A、B、C、D 四点在同一球面上，则计算该球的半径（或体积、表面积等）这类问题，本节我们简称为二面角模型.无论ABC和BCD是什么样的三角形，二面角ABCD多大，该模型下外接球半径的计算原理是大致相同的.如下图所示，假设ABC和BCD是两个确定的三角形，二面角ABCD的平面角为，则这类问题的计算步骤如下：（1）找到ABC和BCD的外心1O、2O，设 E 为BC中点，则1OEBC，2O EBC，所以12O EO即为二面角ABCD的平面角，故12O EO.（2）分别过1O
2、、2O作ABC和BCD所在平面的垂线交于点 O，则 O 即为球心，设BCl，ABC和BCD的外接圆半径分别为1r和2r，则22221114lO EO BECr，同理，22224lO Er；（3）在12OO E中，由余弦定理2221212122cosOOO EO EO E O E可求得12OO；（4）注意到1290OO EOO E，所以 O、1O、E、2O都在以OE为直径的圆上，该圆也是12OO E的外接圆，设其半径为 r，则由正弦定理，12122sinOOrO EO，从而求得OE；（5）在OEC中，根据22ROEEC计算球 O 的半径.提醒：上面的计步骤是针对一般的情形，若已知条件比较特殊，如
3、ABC和BCD为直角三角形，又或者二面角ABCD是直角等，计算过程可以相应简化；若设221114ldO Er，222224ldO Er，则222121222cossin4ddd dlR，特别地，当二 面 角ABCD为 直 二 面 角 时，90，代 入 上 述 公 式 可 得222222121244llRddrr，这是这一模型下外接球半径的计算公式，其推导方法可以参考本节的配套视频，下面通过一系列例题来给同学们讲解具体问题中的求解办法.2 0 2 4 高 考 数 学 专 项 立 体 几 何 系 统 班 9、经 典 模 型 之 二 面 角模 型典型例题典型例题【例题】如下图所示，三棱锥PABC中，
4、ABC是边长为 2 的等边三角形，若2PAPB，二面角PABC的大小为 90，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_.【解析解析】如图，由题意，PAB是等腰直角三角形，故其外接圆的圆心为斜边AB中点 D，连接CD，由ABC为正三角形知CDAB，又二面角PABC的大小为 90，所以CD 上平面PAB，故球心 O 必在直线CD上，而球心 O 到 A、B、C 三点的距离相等，所以球心 O 即为ABC的中心，从而322 32233R，故三棱锥PABC的外接球的表面积21643SR.【答案答案】163【反思】在直二面角条件下，若其中一个三角形是直角三角形且公共边恰为斜边，则外接球的半径等于另一个三角形的外
5、接圆半径.变式 1四面体PABC中，平面ABC 平面PAB，2AB，2PAPB，120ACB，则四面体PABC的外接球的表面积为_.【解析解析】2AB，2222PAPBPAPBABPAPB即PAB为直角三角形，故外接球半径 R 等于ABC的外接圆半径 r，由正弦定理，222 32 31624sinsin120333ABrrRSRACB.【答案答案】163变式 2四面体PABC中，60PCBPCAACB ，3PC，2ACBC，则此四面体外接球的表面积为（）A.192B.19 3824C.17D.17 176【解析解析】如图，在PBC中，由余弦定理，2222cos77PBPCBCPC BCPCBP
6、B，同理可求得7PA，又2ACBC，且60ACB，所以ABC为正三角形2AB，设AB中点为 E，则CEAB，PEAB，易求得3CE，226PEPBBE，所以2229CEPEPC，故CEPE，从而二面角PABC为直二面角，ABC的外接圆半径1232 32323r ，在PAB中，22252 6cossin277PAPBABAPBAPBPA PB，由正弦定理，272sin6ABrAPB，所以PAB的外接圆半径272 6r，设ABC和PAB的外心分别为1O和2O，分别过1O和2O作ABC和PAB所在平面的垂线交于点O，则O即为四面体PABC的外接球的球心，11333O ECE，2252 6O EPEO
7、 P，显然四边形12OO EO为矩形，所以2212224OEO EO E，从而球 O 的半径22198ROEBE，故球 O 的表面积21942SR.【答案答案】A【反思】一般地，设PABC二面角为直二面角，ABC和PAB的外接圆半径分别为1r和2r，ABl，则四面体PABC的外接球半径 R 满足2222124lRrr，可以在理解的基础上记忆这一公式.变式 3三棱锥PABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，若2PAPB，二面角PABC的大小为 60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_.【解析解析】如图 1，设AB的中点为 G，连接CG、PG，设ABC的中心为 D，在剖面图图 2中，lPG，
8、过 D 作CG的垂线交 l 于点 O，则 O 即为球心，因为二面角PABC为 60，所以60CGP，故30OGD，易求得3CG，33GD，所以2cos303GDOG，从而球 O 的半径22133ROGGA，故球 O 的表面积25249SR.【答案答案】529变式 4三棱锥PABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，若2PAPB，二面角PABC的余弦值为33，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_.【解析解析】如图 1，设AB的中点为 G，连接CG、PG，设ABC的中心为 D，在剖面图图 2中，lPG，过 D 作CG的垂线交 l 于点 O，则 O 即为球心，记PGC，则336cossincos3
9、33OGDOGD，易求得3CG，33GD，所以2cos2DGOGOGD，从而球 O 的半径2262ROGGA，故球 O 的表面积246SR.【答案答案】6变式 5如右图所示，在三棱锥PABC中，顶点 P 在底面ABC上的射影 G 是ABC的外心，2PBBC，二面角PBCA的大小为 60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_.【解析解析】如图 1，取BC中点 D，连接PD、GD，则DGBC，又PG 平面ABC，所以BCPG，故BC 平面PDG，从而BCPD，所以PBPC，又2PBBC，所以PBC是等边三角形，显然PDG即为二面角PBCA的平面角，故60PDG，设F为PBC的中心，易求得3232P
10、D，1333FDPD，3cos2DGPDPDG，在DFG中，由余弦定理，22272cos12FGFDDGFD DGFDG，所以216FG，显然 O、F、D、G 四点均在以OD为直径的圆上，该圆也是FDG的外接圆，设其半径为 r，则由正弦定理，72sin3FGrFDG，所以73OD，故球 O 的半径2243RODBD，从而球 O 的表面积26449SR.解法2：如图2，取BC中点D，连接PD、GD，则DGBC，又PG 平面ABC，所以BCPG，故BC 平面PDG，从而BCPD，所以PDG即为二面角PBCA的平面角，故60PDG，223213cos2PBBCBDPDPBBDDGPDPDG，3sin
11、2PGPDPDG，2272BGBDDG，设球 O 的半径为 R，则OPOBR，32OGPGOPR，在OBG中，222OGBGOB，所以223724RR，解得：43R，故球 O 的表面积26449SR【答案答案】649【反思】通过上面的几道例题可以看到，在二面角模型的外接球计算问题中，关键是找到两个三角形的外心，并作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；另一方面，连接外心和两三角形的公共边中点，可构建一个剖面四边形，在此四边形中计算球心到公共边中点的距离，进而得出球的半径.强化训练强化训练1.（）三棱锥SABC中，平面ABC 平面SBC，ABC是边长为 2 的正三角形，SBC是以BC为
12、斜边的直角三角形，则三棱锥SABC的外接球的表面积为_.【解析解析】如图，设 G 为BC中点，因为ABC是边长为 2 的正三角形，所以AGBC，又平面ABC 平面SBC，所以AG 平面SBC，因为SBC是以BC为斜边的直角三角形，故其外心为点 G，从而球心必在直线AG上，又因为球心到 A、B、C 三点的距离相等，所以球心必为ABC的中心，从而三棱锥SABC的外接球的半径232 32323R ，表面积21643SR.【答案答案】1632.（）三棱锥PABC中，2PAPB，2ABBC，2 2AC，二面角PABC的大小为 120，则三棱锥PABC中外接球的半径为_.【解析解析】由题干所给数据不难发现
13、ABBC，PAPB，如图 1，设AB中点为 G，AC中点为 D，连接DG、PG，则ABDG，ABPG，故120PGD，注意到 D 和 G 分别为ABC和PAB的外心，过 D 和 G 分别作ABC和PAB所在平面的垂线，则两垂线的交点 O 即为球心，画出剖面图如图 2，易求得112DGBC，112PGAB，30OGD，所以2 3cos3DGOGOGD，故球的半径22213ROPOGPG.【答案答案】2133.（）四面体ABCD中，2ABADBD，1AC，3BC，且二面角DABC的大小为 120，则四面体ABCD外接球的半径为_.【解析解析】由题意，ABD为正三角形，ABC为直角三角形，设AB中点
14、为 G，则 G 为ABC的外心，如图 1，设 P 在ABC的外接圆上，且PGAB，设ABD中心为 H，分别过 H 和 G 作平面ABD和平面ABC的垂线交于点 O，则 O 即为球心，剖面图如图 2，易求得1GP，30OGD，3DG，33GH，所以2cos3GHOGOGD，从而四面体ABCD的外接球半径22133ROGBG.【答案答案】133【反思】若将本题的条件“二面角DABC的大小为 120”改为“二面角DABC的余弦值为33”，结果又是多少呢？（62，视频中会讲解这一变式）4.（）四面体ABCD中，ABC是以AB为斜边的直角三角形，2AB，3DADB，且二面角CABD的余弦值为158，则四
15、面体ABCD外接球的表面积为_.【解析解析】ABC是以AB为斜边的直角三角形AB中点 G 是ABC的外心，设 H 为ABD的外心，因为3DADB，所以H 必在DG上，如图，分别过 G和 H 作平面ABC和平面ABD的垂线交于点 O，则 O 为球心，在ABD中，2227cos29ADBDABADBAD BD，所以4 2sin9ADB，由正弦定理，9 2sin4ABADB，故ABD的外接圆半径9 28r，所以2227 218HGHBBGr，不妨设CGAB，则DGC即为二面角CABD的平面角，所以15cos8DGC，从而15sin8OGH，故7cos8OGH，所以2cosHGOGOGH，从而球 O
16、的半径223ROGBG，故球 O 表面积2412SR.【答案答案】12【反思】本题其实并未给出ABC为等腰直角三角形，但不难发现，只要点 C 在以AB为直径的圆上，都会得出相同的结果，故本题答案直接把点 C 取在了图中的特殊位置.5.（）如下图所示，直三棱柱111ABCABC中，ACBC，12BCBB，4AC，M 是1AB的中点，则三棱锥MABC的外接球的体积是（）A.36B.20 53C.6D.43【解析解析】由题意，平面MAB 平面ABC，MAB和ABC的公共边AB恰好为ABC的斜边，所以三棱锥MABC的外接球的半径等于MAB的外接圆半径，设MAB的外接圆半径为 r，在ABM中，易求得2
17、5AB，6MAMB，所 以，2222cos23MAMBABAMBMA MB，故5sin3AMB，由 正 弦 定 理，26sinABrAMB，所以3r，即三棱锥MABC的外接球的半径3R，体积34363VR.【答案答案】A6.（）如下图所示，在三棱锥SABC中，ABC是边长为 1 的正三角形，2SA，2SB，且平面SAB 平面ABC，则三棱锥SABC外接球的表面积为_.【解析解析】如图，设 E 为AB的中点，G、H 分别为SAB和ABC的外心，则GEAB，HEAB，所以GEH即为二面角SABC的平面角，因为平面SAB 平面ABC，所以90GEH，易求得ABC的外接圆半径133r，所以222113
18、46EHHAAEr，在SAB中，2225cos24 2SASBABASBSA SB，所以7sin4 2ASB，设SAB的外接圆半径为2r，由正弦定理，24 22sin7ABrASB，所以22 27r，从而22222125428GEGAAEr，故22225141281242OEGEEH，所以三棱锥SABC的外接球半径2210384ROEAE，表面积2103421SR.【答案答案】103217.（）如下图所示，在菱形ABCD中，60BAD，2 3AB，E 为对角线BD的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，若120PEC，P、B、C、D 四点都在球 O的表面上，则球 O 的表面积为（）A.28B
19、.32C.16D.12【解析解析】设PBD和BCD的外心分别为 G 和 H，过 G、H 分别作平面PBD、平面BCD的垂线交于点 O，则 O 即为球心，由题意，PBD和BCD都是边长为2 3的正三角形，所以3PECE，1GEEH，易证OGEOHE，60OEGOEH，所以2OE，而2 3BD，所以3BE，故三棱锥PBCD外接球的半径227ROEBE，表面积2428SR.【答案答案】A8（）如下图所示，平面四边形ABCD中，2ABAD，3BCCD，60BAD，现将四边形ABCD沿对角线BD折起，使二面角ABDC的余弦值为66，若折起后 A、B、C、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为_
20、.【解析解析】取BD中点 E，连接AE、CE，设ABD和BCD的外心分别为 G 和 H，因为ABAD，CBCD，所以AEBD，CEBD，且 G 和 H 分别在AE、CE上，过 G 和 H 分别作平面ABD和平面BCD的垂线交于点 O，则 O 即为球心，由题意，ABD为正三角形，所以1333GEAE，在BCD中，222CEBCBE，6sin3CEEBCBC，由正弦定理，2sinCDrEBC，所以BCD的外接圆半径3 22sin4CDrEBC，从而24EHCEr，二面角ABDC的平面角为GEH，由题意，6os6cGEH ，所以3in06sGEH，在GHE中，由余弦定理，2221132652cos2
21、383468GHGEEHGE EHGEH，所以58GH，由正弦定理，3sin2GHGEH，所以GEH的外接圆直径为32，注意到90OGEOHE，所以 O、G、E、H 四点在以OE为直径的圆上，从而32OE，所以球 O 半径2272ROEBE.【答案答案】729.（）如下图所示，在四面体SABC中，ABBC，2ABBC，2SASC，6SB，则该四面体外接球的表面积是（）A.10B.6C.24D.6【解析解析】如图 1，取AC中点 E，连接SE、BE，由题意，2ACSASC，所以SAC为正三角形，易求得3SE，1BE，设SAC和ABC的外心分别为 G 和 E，画出剖面图如图 2，在剖面图中过 G
22、和 E 分别作SE、BE的垂线交于点 O，则四面体外接球半径ROB，在图 2 中，1333GESE，3SE，1BE，6SB，所以2223cos23SEBESBSEBSE BE，故6coscos90sin3OEGSEBSEB，2cos2GEOEOEG，从而2262OBOEBE，所以四面体SABC的外接球半径62R，表面积246SR.【答案答案】D10.（）如下图所示，空间四边形ABCD中，3ABAD，2BD，5BCCD，且二面角ABDC的大小为 45，若 A、B、C、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为_.【解析解析】如图 1，取BD中点 E，连接AE、CE，设ABD、BCD的外心
23、分别为 G、H，因为3ABAD，5BCCD，所以AEBD，CEBD，且 G、H 分别在AE、CE上，过 G 和 H 分别作平面ABD、平面BCD的垂线交于点 O，则 O 即为球心，画出剖面图如图 2，由所给数据可求得222AEABBE，222CEBCBE，在ABD中，2221cos23ABADBDBADAB AD，故2 2sin3BAD，由正弦定理，3 2sin2BDBAD，所以ABD的外接圆半径13 24r，故3 22244EGAEGA，在BCD中，2sin5CEBDCCD，由正弦定理，5sin2BCBDC，所以BCD的外接圆半径254r，故53244EHCEHC，显然AEC是二面角ABDC
24、的平面角，由题意，45AEC，故 45GTEHTO，所以122ETEG，14OHHTEHET，2258OEEHOH，故222138ROEDE，从而球 O 的表面积21342SR.【答案答案】132学科网（北京）股份有限公司立立体体几几何何专专题题：空空间间二二面面角角的的 5 种种求求法法一、二面角1、二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角的大小范围：0，180二、求二
25、面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱 a 上的任意一点 O 为端点，在两个面内分别作垂直于 a 的两条射线 OA，OB，则AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）-最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），
26、斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面内选一点 A 向另一个平面作垂线 AB，垂足为 B，再过点 B 向棱 a作垂线 BO，垂足为 O，连接 AO，则AOB 就是二面角的平面角。学科网（北京）股份有限公司3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点 A 作 于 B，作 于 C，面 ABC 交棱 a 于点 O，则BOC 就是二面角的平面角。4、射影面积法求二面角cossSq=射影（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为 S，它在平面内的
27、射影图形的面积为射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则=射影.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。证明：如图，平面内的ABC 在平面的射影为BCA，作BCAD 于 D，连结 AD.AA于A，D，AD在内的射影为DA.又BCBCAD,，BCDA（三垂线定理的逆定理）.ADA为二面角BC的平面角.设ABC 和BCA的面积分别为 S 和S，ADA，则DABCSADBCS21,21.SSADBCDABCADDA2121cos.AABDC学科网（北京）股份有限公司题题型型一一 定定义义法法求求二二面面角角【例 1】（2022 春高一课时练习）假设P是AB
28、C所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2 的正三角形，6PA，那么二面角PBCA的大小为（）A30B45C60D90【答案】D【解析】取BC的中点O，连接,OA OP，PBC和ABC都是边长为 2 的正三角形，则,OABC OPBC，所以POA为二面角PBCA的平面角，又因为3,6OPOAPA，则222OPOAPA，所以90POA，即二面角PBCA的大小为90.故选：D.【变式 1-1】（2021 春高一课时练习）如图，在正方体1111ABCDABC D中，求二面角111BACB的正切值学科网（北京）股份有限公司【答案】2【解析】如图，取11AC的中点O，连接1BO，BO，则111BOA
29、C，又11BABC，O为11AC的中点，故11BOAC，故1BOB是二面角111BACB的平面角因为1BB 平面1111DCBA，1OB 平面1111DCBA，所以11BBOB，设正方体的棱长为a，则122OBa，在1RtBBO中，1112ta2n2BBaOBaBOB，所以二面角111BACB的正切值为2.【变式1-2】（2023全国高三专题练习）如图所示，PA 平面ABC，ACBC，1PAAC，2BC，则二面角APCB的余弦值大小为_.【答案】0【解析】作ADPC,垂足为 D，作DEBC交PB于 E 点，连接AE,因为1PAAC，故 D 为PC的中点，E 为PB的中点，PA 平面ABC，BC
30、平面ABC，所以PABC,又ACBC，,PAACA PA AC平面PAC,学科网（北京）股份有限公司故BC平面PAC,PC平面PAC,故BCPC,所以DEPC,则ADE为二面角APCB的平面角，因为1PAAC，2BC,故2PC,则2222,222ADDEPBPCCB,又PA 平面ABC，AB平面ABC，所以1,12PAABAEPB,则2221ADDEAE,故90ADE，所以二面角APCB的余弦值大小为 0，【变式 1-3】（2023全国高三专题练习）如图在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于 D、E，又SAAB，BSBC，则以BD为棱，平面BDE与
31、平面BDC的二面角的大小为_【答案】60【解析】BSBC，又点E为SC的中点，BESC，DE垂直平分SC，BEDEE，,BE DE 平面BDE，SC平面BDE，BD平面BDE，SCBD，SA平面ABC，BD平面ABCSABD，SCSAS，,SC SA平面SAC，BD平面SAC，,DE AC 平面SAC，BDDE，BDAC，故EDC是平面BDE与平面BDC的二面角，设S AA Ba，则2SBa，故2BCa，学科网（北京）股份有限公司ABBC，223ACABBCa，故3tan33SAaSCAACa，故30SAC，9060CDESAC.题题型型二二 三三垂垂线线法法求求二二面面角角【例 2】（202
32、3云南昆明高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱锥PABC中，底面 ABC 是边长为2 3的正三角形，点 P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥PABC外接球的表面积为18，球心在三棱锥PABC内，则二面角PABC-的平面角的余弦值为（）A12B13C22D33【答案】B【解析】设正ABC的中心为O，有OAOBOC，而PO平面ABC，则PAPBPC，延长CO交AB于点 D，则点D为AB的中点，有PDAB，CDAB，即PDC为二面角PABC-的平面角，由2 3AB，得22OCOD=，显然三棱锥PABC为正三棱锥，其外接球的球心 M 在线段PO上，由三棱锥PABC的外接球的表面积为18，则该球半径3
33、 22MC，由222MCMOOC，解得22MO，2 2PO，3PD，所以1cos3ODPDCPD，所以二面角PABC-的平面角的余弦值为13.故选：B学科网（北京）股份有限公司【变式 2-1】（2023广东广州统考二模）木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为 40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为 50cm的球 O 的球面上，且一个底而的中心与球 O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A2 23B23C2 55D25【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球 O
34、的球心，且50,40ROB OO,所以50 2,BC 2222504030O BROO,进而可得30 2,B C 取BC的中点为N，过BC的中点P作PMON，连接PN,所以115 22OMOPB A,125 22ONBA,故10 2MNONOM,在直角三角形PMN中，40tan2 2,10 2PMPNMMN故2 2sin3PNM，由于,PNBC ONBC，所以PNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为2 23，故选：A【变式 2-2】（2023全国高二专题练习）如图，ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，AC 与 BD 相交于 O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO面 ABCD，
35、PO=4，M 是 PC 的中点，则二面角 M-BD-C学科网（北京）股份有限公司的正切值为_【答案】52/152【解析】取 OC 的中点 N，连接 MN，则 MNPO，PO面 ABCD，MN面 ABCD，22POMN，过点 N 作 NRBD 于点 R，连接 MR，则MRN 为二面角 M-BD-C 的平面角，过点 C 作 CSBD 于点 S，则12RNCS，在 RtBCD 中，CDBC=BDCS，则85CD BCCSBD，则45RN，所以5tan2MNMRNRN，所以二面角 M-BD-C 的正切值为52【变式 2-3】（2023 春全国高一专题练习）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，60ABC
36、，E 为AC 的中点，将ACD沿 AC 翻折使点 D 至点D.（1）求证：平面BD E平面 ABC；学科网（北京）股份有限公司（2）若三棱锥DABC的体积为2 23，求二面角DABC的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，60ABC，ABC和ACD均为等边三角形，又E 为 AC 的中点，BEAC，D EAC，BED EE，BED E、平面BD E，AC 平面BD E，又AC平面 ABC，平面BD E平面 ABC.（2）过D作D MBE于点M，平面BD E I平面 ABCBE，DM平面BD E，D M平面 ABC.112 22 6233233DABCV
37、D MD M.过 M 作MNAB于点N，连接D N，AB平面 ABC，D M AB，,D MMNM D MMN、平面1D MN，AB平D MN，DN平面1D MN，ABD N.D NM即为二面角DABC的平面角，222 63333EM，32 3333BM，2 33sin3033MN ，222 63333D N，313cos33D NM.故二面角DABC的余弦值为13.【变式 2-4】（2023全国高一专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11AACC为菱形，160A AC，且1ABAA，11BCAC学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 ABC平面11A ACC；（2）若AB
38、AC，求二面角1ABCA的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）77.【解析】（1）连接1AC，如图，由11AACC是菱形，所以11ACCA又11BCCA，111BCACC，所以1CA 平面1ABC，故1CAAB,又1AAAB，111CAAAA，所以 AB平面11AACC，又AB平面 ABC所以平面 ABC平面11A ACC（2）过1A在平面11AACC内引直线1AO垂直于 AC，O 为垂足，过 O 在平面 ABC 内引直线 OH 垂直于 BC，H 为垂足，连接1AH由平面 ABC平面11A ACC，平面ABC平面11A ACCAC，所以1AO 平面 ABC，所以1AOOH，1AOBC又 OH
39、BC，1AOOHO，所以 BC平面1AOH，故1AHO为二面角1ABCA的平面角设2ABAC，由160A AC，可知 O 为 AC 的中点，所以13AO 又2ABAC，AB平面11A ACC，AC平面11A ACC，所以 ABAC，所以22OH 所以2211114322AHAOOH学科网（北京）股份有限公司所以11272cos7142OHAHOAH，所以二面角1ABCA的余弦值为77【变式 2-5】（2023 春全国高一专题练习）在直三棱柱111ABCABC-中，11AA，12AC，6BAC，E，F为线段1AC的三等分点，点D在线段 EF 上（包括端点）运动，则二面角DABC的正弦值的取值范围
40、为（）A1 2 19,419B1 2,4 3C1 4 19,219D1 2,2 3【答案】C【解析】在直三棱柱111ABCABC-中,1AA 平面 ABC，且AC平面 ABC，故1AAAC，又11AA，12AC，所以22213AC，16ACA.如图，过点D作DMAC交AC于点M，则1/DM A A，故DM平面 ABC，因为AB平面 ABC，故DMAB，过点M作MNAB交 AB 于点N，连接 DN，因为MN平面MND，DM平面MND，且MNDMM，所以AB平面MND，又DN 平面MND，则DNAB，故DNM即二面角DABC的平面角.设12233DCaa，在直角DCM中，6DCM，所以DMa，3C
41、Ma，所以33AMa，113322MNAMa.所以22217632DNDMMNaa，则22222sin163176373142DMaDNMDNaaaaa，学科网（北京）股份有限公司易知 21314f aa在1 2,3 3上的值域为19,164，所以1 4 19sin,219DNM.故选：C.题题型型三三 垂垂面面法法求求二二面面角角【例 3】（2023全国高一专题练习）如图，已知PA，PB，垂足为A、B，若60APB，则二面角l 的大小是_【答案】120/23【解析】设二面角l 的大小为，因为PA，PB，垂足为A、B，所以平面PAB，平面PAB所以180APB，又60APB，所以180120A
42、PB.【变式 3-1】（2021 春四川宜宾高一统考期末）如图，已知二面角AB，且AB，PC，PD，C，D 是垂足，平面 PCD 与 AB 交于点 H（1）求证：AB平面 PCD；（2）若 PCPDCD1，试求二面角AB的大小【答案】（1）证明见解析；（2）120学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）证明：因为PC，AB，所以 PCAB同理 PDAB又PCPDP，故 AB平面 PCD（2）P，C，D，H 四点共面，所以由（1）可得 AB平面 CDH，ABDH，ABCH，CHD 是二面角AB的平面角；在四边形 PCHD 中，PCHPDH90，又根据已知条件CPD60；CHD120；即二面角AB
43、的大小是 120【变式 3-2】（2023全国高一专题练习）已知二面角l，若直线a，直线b，且直线,a b所成角的大小为60，则二面角l 的大小为_.【答案】60或120【解析】设点P是二面角l 内的一点，过 P 分别作直线,a b的平行线,PA PB，且PA垂直于于A，PB垂直于于B，设平面PAB交直线l于点O，连接OA，OB，由于PA，PB，l，l，故PAl，PBl，又PAPBP，,PA PB 平面PAB，故l平面PAB，又OA，OB平面PAB，故lOA，lOB，所以AOB为二面角l 的平面角，因为直线,a b所成角的大小为60，所以60APB或120，当120APB时，如图因为180AP
44、BAOB，所以60AOB；学科网（北京）股份有限公司当60APB时，如图因为180APBAOB，所以120AOB;综上，二面角l 的大小为60或120故答案为：60或120【变式 3-3】（2023全国高一专题练习）已知P是二面角l 内的一点，PA垂直于于,A PB垂直于于,8 3,8B ABPAPB，则二面角l 的大小为_【答案】3【解析】设平面PAB交直线l于点O，连接OA，OB，由于PA，PB，l，l，故PAl，PBl，又PAPBP，,PA PB 平面PAB，故l平面PAB，又OA，OB平面PAB，故lOA，lOB，所以AOB为二面角l 的平面角，由于PA，PB，OA，OB，故PAOA，
45、PBOB，故在四边形PAOB中，APB与AOB互补，又8 3AB，8PAPB，在APB中由余弦定理2222cosABAPBPAP BPAPB，即2228 3882 8 8cosAPB ，解得1cos2APB，学科网（北京）股份有限公司又0APB，所以23APB，故233AOB，则二面角l 的大小为3题题型型四四 补补形形法法求求二二面面角角【例 4】（2022高一单元测试）如图，在正方体1111ABCDABC D中，,E F分别为AB、1AA的中点，则平面1CEB与平面11D FB所成二面角的平面角的正弦值为_【答案】32【解析】设棱长为 1，延长CE、1D F、DA交于一点G，所以12BC，
46、13BG，5CG，则21BC 21BG 2CG，故11BGBC同理111B DBG，则11CB D即为所求二角的平面角，而11112DCB DBC，所以1160CB D，其正弦值为32【变式 4-1】（2023全国高一专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为正方形，二面角PBCA为直二面角2BPCP，BPCP，M，N 分别为 AP，AC 的中点求平面BMN 与平面 PCD 夹角的余弦值.学科网（北京）股份有限公司【答案】63【解析】PBPC，2PBPC，2BC 面PBC面ABCD，面PBC面ABCDBC，又底面ABCD为正方形，/ABCD，BCCD，2ABBCCDDA，又CD
47、面ABCD，则CD 面 PBC，故AB面 PBC，PB 面PBC，CDPB，且面 ABCD 为正方形，如下图，作/PFCD，/CPDF，连接 MF，ND，四边形ABPF、四边形CDFP为矩形，则CPPFM、N 分别为 AP 和 AC 的中点B、M、F 三点共线，B、N、D 三点共线，易知：面BMN与面BDF为同一个平面，且面BDF 面PCDDF，所以平面BMN 平面PCDDF，BPCP，CPPF，又,BPPFP BP PF面ABPFCP面ABPF，结合/CPDF，故DF面ABPF，又BF面ABPF，则DFBF，在矩形CDFP中PFDF，由BF面BMN，PF 面PCD，故平面 BMN 与平面 P
48、CD 夹角为PFB，PBPF，2PB，2PF，6BF 26cos36PFPFBBF学科网（北京）股份有限公司平面 BMN 与平面 PCD 夹角的余弦值为63.【变式 4-2】（2023广东佛山佛山一中校考一模）如图，在四棱锥POABC中，已知1OAOP，2CP，4AB，3CPO，6ABC，2AOC，E为PB中点，F为AB中点.（1）证明：平面/CEF平面PAO；（2）若3PA，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3 1313.【解析】（1）连接AC，E为PB中点，F为AB中点，/EFPA，又EF 面PAO，PA 面PAO，/EF面PAO，在PCO中，1OP
49、，2CP，3CPO，2222212cos22 1 2321OPCPOP COPOCCP ，即3OC，在ACO中，1OA，2AOC，2AC，3OAC，在ACB中，4AB，6ABC，2AC，sinsin1ABABCACBAC，2ACB，3CAB，23OAB，F 为 AB 中点，122CFAB，23CFB，OACF，又CF 面PAO，OA 面PAO，/CF面PAO，又CFEFF，CF，EF 面CEF，平面/CEF平面PAO；学科网（北京）股份有限公司（2）延长CO与BA交于H，连PH，则面PAB面POCPH，在PCO中，1OP，2CP，3OC，所以OCOP，又2AOC，OAOC，POOAO，,PO
50、OA 面POA，CO 面POA，CO 面PCO，面PCO 面POA，在面POA内过A作AMPO，则AM面PCO，PH 面PCO，AMPH，过A作ANPH，连MN，AMANA，AM 面AMN，AN 面AMN，PH 面AMN，MN面AMN，PHMN，ANM即为面POC与面PAB所成二面角的平面角，1OPOA，3PA，23POA，23AM，2CF，/OACF，3OH，2AH，2PH，又3PA，2232223AN，394AN，3 34MN，3 33 134cos13394ANM.【变式 4-3】如图，在正方体1111ABCDABC D中，11AA，P是棱AB上任一点，若平面1B DP和平面11AA D