《山东省青岛第二中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省青岛第二中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、青岛二中20222023学年第二学期期中考试高一试题(数学)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则( )A. B. C. 1D. 22. 已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3. 给出下列命题中，正确的命题是( )A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B. 侧棱都相等的棱锥是正棱锥C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4. 若向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为(
2、).A. B. C. D. 5. 如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？( )A 4B. 8C. 12D. 166. 已知，则( )A. B. C. D. 7. 十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则( )A. -12B. -36C. D. -188. 正方体的棱长为，点在三棱锥的侧面表面上运动，
3、且，则点轨迹的长度是( )A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，是中点，则下列叙述不正确的是( ) A. 与是异面直线B. 平面C. ，为异面直线，且D. 平面10. 已知函数的部分图像如图，则( )A B. C. 将曲线向右平移个单位长度得到曲线D. 点为曲线的一个对称中心11. 给出下列命题，其中正确的选项有( )A. 非零向量，满足且与同向，则B. 若单位向量，的夹角为60，则当取最小值时，C. 在中，若，则为等
4、腰三角形D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是12. 的内角，的对边分别为，则下列命题正确的有( )A. 若，则B. 若，则有一解C. 已知的外接圆的圆心为，为上一点，且有，D. 若为斜三角形，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若，则的虚部是_14. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_15. 如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于_米.
5、16. 如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知，与的夹角为(1)求；(2)当为何值时，18. 在中，分别是角，所对边的长，且(1)求的面积；(2)若，求角19. 如图甲，在四边形中，现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点(1)求证：平面；(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明20. (1)已知函数，若，求；(2)已知，求值21. 如图，在四棱锥中，面，为线段上的点(1)证明：面；(2)若满足面，求的值22. 在路边安装路灯，灯柱与
6、地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽设灯柱高，(1)当时，求四边形的面积；(2)求灯柱的高(用表示)；(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值青岛二中20222023学年第二学期期中考试高一试题(数学)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则( )A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D2. 已知，为两条不同的直线，为两个不同的平
7、面，则下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A，若，则，故错误；对于B，则，正确；对于C，则或，故错误；对于D，若，则或异面，故错误.故选：B3. 给出下列命题中，正确的命题是( )A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B. 侧棱都相等的棱锥是正棱锥C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【答案】A【解析】【分析】根据正四棱柱、正棱锥的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若底面是菱形
8、，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直与底面，所以该四棱柱为正四棱柱，所以A正确；对于B中，只要棱锥的顶点在底面多边形上的射影为多边形外接圆的圆心，此时棱锥的所有侧棱都相等，但底面不一定是正多边形，所以该棱锥不一定是正棱锥，所以B错误；对于C中，如图(1)所示，底面四边形为正方形，且有两个面矩形，但此棱柱不是正四棱柱，所以C不正确；对于D中，如图(2)所示，三棱锥中，设，其中，此时三棱锥的侧面都是等腰三角形，但此时不是正三棱锥，所以D错误.故选：A. 4. 若向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向
9、量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，且，所以，因为，所以向量与夹角的余弦值为，故选：D5. 如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？( )A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据直观图与原图形的关系可知原图为平行四边形，且，利用勾股定理计算出其边长即可求得结果.【详解】根据直观图可画出原图形如下图所示：根据斜二测画法可知，原图四边形为平行四边形，且易知，所以，因此周长为.故选：B6 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方
10、程组求解.【详解】,又，由得.故选：D.7. 十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则( )A. -12B. -36C. D. -18【答案】D【解析】【分析】设，由等边三角形的性质可知，即点为的中心，从而求出，利用向量数量积公式即可计算结果.【详解】设，则，因为为等边三角形，所以，同理：，又，所以，则，所以点为的中心，且，则故选：D8. 正方体的棱长为
11、，点在三棱锥的侧面表面上运动，且，则点轨迹的长度是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，分析可知点轨迹是以点为圆心，半径为的圆与的交线，计算出圆心角的大小，结合扇形的弧长公式可求得结果.【详解】因为平面，且，所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在内的交线，取的中点，则，且，设圆弧交于、两点，如下图所示：，所以，又因为，则为等边三角形，故点轨迹的长度是.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，是中点，则下列叙
12、述不正确的是( ) A. 与是异面直线B. 平面C. ，为异面直线，且D. 平面【答案】ABD【解析】【分析】根据平面知A错误；假设平面，由线面垂直性质知为直角三角形，与已知矛盾，B错误；由异面直线判断方法可知为异面直线，由正三角形性质可知，结合平行关系知C正确；根据直线与平面相交可判断D错误【详解】对于A，平面，平面，与共面，A错误；对于B，若平面，平面，则，即为直角三角形，为直角三角形，与已知是正三角形矛盾，B错误；对于C，平面，为异面直线；为正三角形，为中点，C正确；对于D，直线AC交平面AB1E于点A，又，直线与平面AB1E相交，故D错误.故选：ABD.10. 已知函数的部分图像如图，
13、则( )A. B. C. 将曲线向右平移个单位长度得到曲线D. 点为曲线的一个对称中心【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由题图可知，解得将点的坐标代入，得，所以由图像可知，点在图像的下降部分上，且，所以将点的坐标代入，得，解得，则，A正确由A，得所以，B错误将曲线向右平移个单位长度得到曲线，C错误令，解得，取，则，所以点为曲线的一个对称中心，D正确故选：AD11. 给出下列命题，其中正确的选项有( )A. 非零向量，满足且与同向，则B. 若单位向量，的夹角为60，则当取最小值时，C. 在中，若，则为等腰三角形D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围
14、是【答案】BC【解析】【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得，可判定B正确；由表示与的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C正确；当时，得到向量与向量的夹角为，可判定D项错误.【详解】对于A中，向量既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A错误；对于B中，因为单位向量，的夹角为，可得，则，当且仅当时，取得最小值，最小值为，所以B正确；对于C中，因为表示与的平分线共线的向量，又因为，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，所以C正确；对于D中，当时，此时向量与向量的夹角为，所以D项错误.故选：BC12. 的内角，的对边分别为，则下列命题正确的有( )A. 若，则B.
15、 若，则有一解C. 已知的外接圆的圆心为，为上一点，且有，D. 若为斜三角形，则【答案】AD【解析】【分析】根据正弦定理即可判断A、B选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D项中计算即可.【详解】在三角形中，当，则，即，整理可得，故A正确；由正弦定理得，又因为，所以有两解，B错误；因为的外接圆的圆心为，所以，同理可得，又因为，所以，故C错误；因为，得，且为斜三角形，则，所以，故D正确；故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若，则的虚部是_【答案】#【解析】【分析】根据共轭复数的概念，复数的乘除法运算求解即可.【
16、详解】解：因为，所以，所以所以，的虚部是.故答案为：14. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理进行边角互换，再将数据代入“三斜求积”公式即可.【详解】根据正弦定理可知，代入“三斜求积”公式：故答案为：.15. 如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于_米.【答案】【解析】【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解.【
17、详解】在中，所以，在中，所以，在中，由余弦定理得：所以(米).故答案为：.16. 如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点(其中)，得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则(其中)，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，
18、属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知，与的夹角为(1)求；(2)当为何值时，【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；(2)由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.【小问1详解】解：因为，与的夹角为，则，所以，.【小问2详解】解：因为，则，解得.18. 在中，分别是角，所对边的长，且(1)求的面积；(2)若，求角【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先通过求出，再利用三角形的面积公式求解即可；(2)先通过余弦定理求出，再通过余弦定理求即可.【小问1详解】解：因为在中，所
19、以，因为，所以，解得.所以，的面积为.【小问2详解】解：由(1)，即，又，即，又，.19. 如图甲，在四边形中，现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点(1)求证：平面；(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明【答案】(1)证明见解析； (2)分别为的中，理由见解析.【解析】【分析】(1)取的中点，分别证得和，得到平面和平面，证得平面平面，进而得到平面；(2)取的中点，证得，得到点四点共面，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，分别连接，因为，分别为和的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为分别为中点，可得，又因为平面，平面，所以平面，又由，且
20、平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.【小问2详解】证明：当分别为的中点时，此时平面平面，证明如下：取的中点，分别连接，在中，因为为的中点，所以，又因为分别为中点，可得，所以，所以点四点共面，即过直线作一平面，与平面平行，且分别交，于点、，此时，分别为和的中点.20. (1)已知函数，若，求；(2)已知，求的值【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)先根据二倍角公式化简得到，两边平方可得结果；(2)先确定角的范围,结合的值，求出角即可.【详解】(1),.(2)，,，,.21. 如图，在四棱锥中，面，为线段上的点(1)证明：面；(2)若满足面，求的值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析
21、】【分析】(1)证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；(2)分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，则，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以，平面.【小问2详解】解：因为平面，平面，所以，若面，平面，则，因为，由余弦定理可得，因为平面，、平面，则，所以，在中，所以，所以，所以，则，因此，若满足面，则.22. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽设灯柱高，(1)当时，求四边形的
22、面积；(2)求灯柱的高(用表示)；(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值【答案】(1) (2) (3)，最小值为【解析】【分析】(1)由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；(2)分别在与中由正弦定理化简即可得解；(3)根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.【小问1详解】当时，所以，又所以是等边三角形，所以，所以在中，即，所以；【小问2详解】，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以；【小问3详解】在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因为，所以，所以当，即时，取最小值，故关于的函数表达式为，最小值为.