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1、专题1414 二项分布1.已知随机变量XB 4,13，那么随机变量X的均值E(X)=()A.89B.43C.2D.83【解析】解：随机变量XB 4,13，E(X)=413=43故选：B2.设随机变量Y满足YB 4,12，则函数 f(x)=x2-4x+4Y无零点的概率是()A.1116B.516C.3132D.12【解析】解：因为函数 f(x)=x2-4x+4Y无零点，所以=(-4)2-414Y1，所以P(Y1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=C24122122+C3412312+C44124120=1116故选：A3.我们知道，在n次独立重复试验(即伯努利试验)中，每次试验中事件A
2、发生的概率为 p，则事件A发生的次数 X服从二项分布B(n,p)，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P(Y=k)=p(1-p)k-1，k=1，2，3，我们称Y服从“几何分布”，经计算得E(Y)=1p由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 A和A都发生后停止，此时所进行的试验次数记为 Z，则 P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2，3，那么 E(Z)=()A.1p(1-p)-1B.1p2C.1p(1-p)+1D.1(1-p)2【解析】解：P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2
3、，3，P(Y=k)=p(1-p)k-1，k=1，2，3，可得E(Y)=1pP(Y=k)=p(1-p)k-1，k=2，3，E(Y)=1p-p那么E(Z)=2p(1-p)+2(1-p)p+3p(1-p)2+3(1-p)p2+kp(1-p)k-1+k(1-p)pk-1+=1p-p+2(1-p)p+3(1-p)p2+k(1-p)pk-1+设Ak=2p+3p2+kpk-1pAk=2p2+3p3+(k-1)pk-1+kpk(1-p)Ak=2p+p2+p3+pk-1-kpk=p+p(1-pk-1)1-p-kpkk+时，(1-p)Akp+p1-pE(Z)=1p-p+p+p1-p=1p(1-p)-1故选：A4.
4、已知随机变量X，Y满足X+Y=8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】解：随机变量X，Y满足X+Y=8，XB(10,0.6)，E(X)=100.6=6，D(X)=100.60.4=2.4，E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2，D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4故选：B5.设随机变量X，Y满足：Y=3X-1，XB(2,p)，若P(X1)=59，则D(Y)=()A.4B.5C.6D.7【解析】解：随机变量X，Y满足：Y=3X-1，XB(2,p)，P(X1)=59，P(X=0)=1-P(X1)=C02
5、(1-p)2=49，解得p=13，XB 2,13，D(X)=213 1-13=49，D(Y)=9D(X)=949=4故选：A6.已知B 4,13，并且=2+3，则方差D=()A.329B.169C.89D.49【解析】解：=2+3，D=4D，又D=41323=89，D=329故选：A7.设X为随机变量，XB n,13，若随机变量X的数学期望E(X)=2，则P(X=2)等于()A.80243B.13243C.4243D.1316【解析】解：随机变量X为随机变量，XBn,13，其期望E(X)=np=13n=2，n=6，P(X=2)=C261321-134=80243故选：A8.已知随机变量X服从二
6、项分布B(n,p)若E(X)=2，D(X)=43，则p=()A.34B.23C.13D.14【解析】解：由随机变量X服从二项分布B(n,p)又E(X)=2，D(X)=43，所以np=2np(1-p)=43，解得：p=13，故选：C9.某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有 5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出 3个，再将电子元件放回重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是()A.316B.516C.716D.916【解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出
7、3个，再将电子元件放回取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率p=C25C11C36=12重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：P(X=3)=C36123123=516故选：B10.我国的5G研发在世界处于领先地位，到 2020年5月已开通5G基站超过20万个某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按如图方式连接而成已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作据统计，元件A和元件B正常工作超过10000小时的概率分别为12和45()求该装置正常工作超过10000小时的概率；()某城市5
8、G基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数【解析】解：()元件A至少有一个正常工作超过10000小时的概率1-123=78，则该装置正常工作超过10000小时的概率为P=1-12345=710()设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X台，则X服从二项分布XB 1200,710，这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：1200710=840台11.设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为 p(p，q(0,1)，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为(1)当p=q=12时，求数学期望E()及
9、方差V()；(2)当p+q=1时，将的数学期望E()用p表示【解析】解：(1)每位投球手均独立投球一次，当p=q=12时，每次试验事件发生的概率相等，B 3,12，由二项分布的期望和方差公式得到结果E=np=312=32，D=np(1-p)=312 1-12=34(2)的可取值为0，1，2，3P(=0)=(1-q)(1-p)2=pq2；P(=1)=q(1-p)2+(1-q)C12p(1-p)=q3+2p2q；P(=2)=qC12p(1-p)+(1-q)p2=2pq2+p3；P(=3)=qp2的分布列为0123Ppq2q3+2p2q2pq2+p3qp2E=0pq2+1(q3+2p2q)+2(2p
10、q2+p3)+3qp2=1+p12.某射手每次射击击中目标的概率是45，求这名射手在10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率【解析】解：(1)某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为C810458152(2)至少有8次击中目标的概率为C810458152+C91045915+451013.一个盒子里有2个黑球和m个白球(m2,mN*)现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中()求每次中奖的概率p(用m表示)；()若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；()记三次摸奖
11、恰有一次中奖的概率为 f(p)，当m为何值时，f(p)取得最大值？【解析】解：()取出2球的颜色相同则为中奖，每次中奖的概率p=C2m+C22C2m+2=m2-m+2m2+3m+2；()若m=3，每次中奖的概率p=25，三次摸奖恰有一次中奖的概率为C1325 1-252=54125；()三次摸奖恰有一次中奖的概率为 f(p)=C13p(1-p)2=3p3-6p2+3p(0p0)假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”(I)若p=12求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概
12、率；(II)设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为，当E2时，求P的取值范围【解析】解：()设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P1，则P1=C122313C12122+C22232C22122=29+19=13(5分)()设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P2，则P2=C122313C12p(1-p)+C22232C22p2=89p-49p2，(9分)B(6,P2)，E=6P22即689p-49p22，4p2-8p+30p0，0p12(12分)21.已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是12设该项目产品价格在一年内进行
13、2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为 X，对该项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差【解析】解：每次调整中价格下降的概率都是12，由题设得XB(2,p),p=12，则X的概率分布为X012P(1-p)22p(1-p)p2故收益X1的概率分布为X11.622.4P(1-p)22p(1-p)p2EX1=2DX1=0.08专题1616 决策问题1.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的试销，定价为1000元/件(1)设日销售40个零件的概率为 p(
14、0 p1)，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z关于 p的函数关系式(2)试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量(单位：件)的数据如下表：日销售量406080100频数912其中，有两个数据未给出试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为 1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一
15、下属4S店，假设日销售量为80件的概率为15(i)设该4S店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量 X；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y，求EX和EY；(ii)以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按什么方案批发零件？【解析】(1)由题意可得z=C25p2(1-p)3=10p2(1-p)3，0p1，(2)由题意日销售量为80件的概率为15，日销售量为100的概率为1-310-25-15=110，(i)批发两大箱，则批发成本为60500元，当日销售量为40件时，利润为：401000-60500+7055090%=1.415(万元)，当日销售量为60件时，利润为：601000
16、-60500+5055090%=2.425(万元)，当日销售量为80件时，利润为：801000-60500+3055090%=3.435(万元)，当日销售量为100件时，利润为：1001000-60500+1055090%=4.445(万元)，EX=1.415310+2.42525+3.43515+4.445110=2.526(万元)若批发两小箱，则批发成本为48000元，当日销售量为40件时，利润为：401000-48000+4060090%=1.36(万元)，当日销售量为60件时，利润为：601000-48000+2060090%=2.28(万元)，当日销售量为80件或100件时，利润为：
17、801000-48000=3.2(万元)，EY=1.36310+2.2825+3.2310=2.28(万元)(ii)当4S店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量，当日销售量为40件时，利润为：401000-54250+5555090%=1.2975(万元)，当日销售量为60件时，利润为：601000-54250+3555090%=2.3075(万元)，当日销售量为80件时，利润为：801000-54250+1555090%=3.3175(万元)，当日销售量为100件时，利润为：951000-54250=4.075(万元)，E=1.2975310+2.3075
18、25+3.317515+4.075110=2.38325(万元)EYE15,xN(2)设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以E(X)=1900.1+2000.4+2100.1+2200.2+2300.2=210(元)方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2E(Y)=2000.6+2200.2+2400.2=212(元)所以从节约成本的角度考虑，选择方案一3.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互
19、独立的，每台机器出现故障的概率为13(1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；(2)该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%？(3)已知一名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望【解析】解：(1)一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为13，4台机器相当于4次独立试验，设出现故障的机器台数为X，则XB 4,13，P(X=0)=C04234=1681，P(X=1
20、)=C1413233=3281，P(X=2)=C24132232=2481，P(X=3)=C3413323=881，则X的分布列为：X01234P168132812481881181(2)设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为Xn，则X=0，X=1，X=2，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则：n01234P(Xn)16814881728180811728190%8081，至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%(3)设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为18，13，8，P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1
21、)+P(X=2)=7281，P(Y=13)=P(X=3)=881，P(Y=8)=P(X=4)=181，Y的分布列为：Y18138P7281881181E(Y)=187281+13881+8181=140881该厂获利的均值为1408814.某精密仪器生产车间每天生产 n个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取 50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布 N(10，0.12)(单位：微米 m)，且相互独立若零件的长度 d满足9.7md10.3m，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格(1)假设某一天小张抽查出不合格
22、的零件数为X，求P(X2)及X的数学期望EX；(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率已知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元假设 n充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由附：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P(-30所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件5.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸(单位：mm)，得到如图的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数(
23、结果精确到0.01)；(2)若从这80个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的零件中随机抽取4个，设 X表示尺寸在64.5，65上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX；(3)已知尺寸在63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100个企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用
24、与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由【解析】解：(1)由于62.0，63.0)内的频率为(0.075+0.225)0.5=0.15，63.0，63.5)内的频率为0.750.5=0.375，设中位数为x63.0，63.5)，由0.15+(x-63)0.75=0.5，得x63.47，故中位数为63.47；(2)这80个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的零件共有7个，其中尺寸位于62.0，62.5)内的有3个，位于64.5，65)共有4个，随机抽取4个，则X=1，2，3，4，P(X=1)=C33C14C47=435，P(X=2)=C23C24
25、C47=1835，P(X=3)=C13C34C47=1235，P(X=4)=C44C47=135，X1234P43518351235135EX=1435+21835+31235+4135=167；(3)根据图象，每个零件是二等品的概率为P=(0.075+0.225+0.100)0.5=0.2，设余下的89个零件中二等品的个数为YB(89,0.2)，由二项分布公式，EY=890.2=17.8，若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为S，S=1199+500Y=1089+500Y，若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则ES
26、=1199+500EY=9989，因为ES9900，所以应该对余下的零件作检验(或者ES=9989与9900相差不大，可以不做检验都行)6.某单位准备购买三台设备，型号分别为 A，B，C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为 200元为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数该单位调查了这三种型号的设备各 60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型
27、号C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立(1)求该单位一个月中A，B，C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买 20件还是21件易耗品？【解析】解：(1)由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为3060=12，B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6，7，8的频率均为3060=12,3060=12,1060=16，C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为4560=34,1560=14，设该单位一个月中A，B，C三台设备使用
28、易耗品的件数分别为x，y，z，则P(x=6)=P(x=7)=12，P(x=6)=13,P(x=7)=12，P(y=8)=16,P(z=7)=34,P(z=8)=14，设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X，则P(X21)=P(X=22)+P(X=23)，而P(X=22)=P(x=6,y=8,z=8)+P(x=7,y=7,z=8)+P(x=7,y=8,z=7)=121614+121214+121634=748P(X=23)=P(x=7,y=8,z=8)=121614=148，故P(X21)=748+148=16，即该单位一个月中A，B，C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16；
29、(2)以题意知，X所有可能的取值为19，20，21，22，23，P(X=19)=P(x=6,y=6,z=7)=121334=18，P(X=20)=P(x=6,y=6,z=8)+P(x=6,y=7,z=7)+P(x=7，y=6，z=7)=121314+121234+121334=1748P(X=21)=P(x=6,y=7,z=8)+P(x=6,y=8,z=7)+P(x=7,y=6,z=8)+P(x=7,y=7,z=7)=121214+121634+121314+121234=1748由(1)知，P(X=22)=748,P(X=23)=148，若该单位在购买设备的同时购买了 20件易耗品，设该单位
30、一个月中购买易耗品所需的总费用为Y1元，则Y1的所有可能取值为2000，2200，2400，2600，P(Y1=2000)=P(X=19)+P(X=20)=18+1748=2348，P(Y1=2200)=P(X=21)=1748，P(Y1=2400)=P(X=22)=748，P(Y1=2600)=P(X=23)=148，EY1=20002348+22001748+2400748+26001482142，若该单位在购买设备的同时购买了 21 件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为Y2元，则Y2的所有可能取值为2100，2300，2500，P(Y2=2100)=P(X=19)+P(X=
31、20)+P(X=21)=18+1748+1748=56，P(Y2=2300)=P(X=22)=748，P(Y2=2500)=P(X=23)=148，EY2=210056+2300748+25001482138，故EY2100)根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【解析】(1)由题意知：b=1810010=1.8，所以(a+2.3+1
32、.8+1.4+1+0.3+0.2)0.1=1，所以a=3.(2)(i)由(1)知，钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X所有可能的取值为0，1，2，3，P X=0=C030.73=0.343，P X=1=C130.720.3=0.441，P X=2=C230.70.32=0.189，P X=3=C330.33=0.027，故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027E X=30.3=0.9(ii)按第一种方案：y1=50 m-2-200=50m-300，按第二种方案：y2=0.68m50+0.3m60-2m-0.02m20=49.6m，y1-y2=50m-300-49.6m
33、=0.4m-300，若m750时，y1y2，则按第一种方案，若m=750时，y1=y2，则第一、第二方案均可，若100m750时，y1750时，按第一种方案，m=750时，第一、二种方案均可，100m8000，解得t0.6所以商家应决定参加2016年的展销会注：本小题也可用对立事件的概率计算P=1-P(t=4)-P(t=5)=1-C45354251-C55355=207231250.6所以商家应决定参加2016年的展销会10.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为1(万元)的概率分布列如表所示：1110120170Pm
34、0.4n且1的期望E 1=120;若投资乙项目一年后可获得的利润2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p(0p1)和1-p，乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与2的关系如表所示：X(次)012241.2117.6204.0(1)求m,n的值；(2)求2的分布列；(3)根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？(投资回报率=年均利润/投资总额100%)【解析】(1)由题意得：m+0.4+n=1110m+1200.4
35、+170n=120，得：m=0.5，n=0.1(2)2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P 2=41.2=(1-p)1-(1-p)=p(1-p)P 2=117.6=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2P 2=204.0=p(1-p)所以2的分布列为241.2117.6204.0Pp(1-p)p2+(1-p)2p(1-p)(3)由(2)可得：E 2=41.2p(1-p)+117.6 p2+(1-p)2+204.0p(1-p)=-10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E 1E 2，即120-10p2+10p+117.6，得0
36、.4p0.6因为E 2=-10p2+10p+117.6，所以当P=12时，E 2取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%.11.某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量 X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知 X 0,120，历年中日泄流量在区间30，60)的年平均天数为156，一年按364天计()请把频率分布直方图补充完整；()该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每 30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如 60X335007235007要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装
37、3台发电机专题17 道路通行问题1.某人某天的工作是，驾车从A地出发，到B，C两地办事，最后返回A地A，B，C三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表：路段正常行驶所需时间(小时)上午降水概率下午降水概率AB20.30.6BC20.20.7CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时现有如下两个方案：方案甲：上午从A地出发到B地办事然后到达C地，下午在C地办事后返回A地；方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达B地，办事后返回A地(1)若此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为 2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A地的概率；(
38、2)甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A地？【解析】解：(1)由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A地的时间为17点，因此若18点之前能返回A地的充要条件是降水的路段数不超过1，记事件M1，M2，M3分别表示在上午AB路段降水、上午BC路段降水、下午CA路段降水，则所求概率：P=P(M1M2M3)+P(M1M2M3)+P(M1M2M3)+P(M1M2M3)=0.70.80.1+0.30.80.1+0.70.20.1+0.70.80.9=0.598(2)设基本路段正常行驶时间为x，降水概率为p，则该路段行驶时间X的分布列为：行驶时间Xxx+1概率P1-ppE(X)=x(1-
39、p)+(x+1)p=x+p，路段正常行驶所需时间(小时)上午上午下午下午降水概率行驶时间期望值降水概率行驶时间期望值AB20.32.30.62.6BC20.22.20.72.7CA30.33.30.93.9设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y，Z，则EY=2.3+2.2+3.9=8.4，EZ=2.6+2.7+3.3=8.6采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A地2.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的同一条道路去程与回程是否堵车相互独立假设李先生早上需要先开车送小
40、孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是110，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是15，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值【解析】(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是110和15，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：12110+1215=320，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1-320=1720.(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是1720，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是1720，甲到乙遇
41、到拥堵的概率是13110+13110+1315=215，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1-215=1315，李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是172017201315=375760000.7，所以李先生没有七成把握能够按时上班(3)依题意X可以取0,1,2.P(X=0)=13151720=221300，P(X=1)=2151720+1315320=73300；P(X=2)=215320=6300.分布列是：X012P221300733006300E(X)=0221300+173300+26300=1760.3.2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从
42、珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为14，走路线乙堵车的概率为 p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。(1)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求p的值。(2)在(1)的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。【解析】(1)由已知得C12.14.34.(1-p)+34.34.p=716p=13(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3P(X=0)=34.34.23=38，P(X=1)=716，P(X=3)=14.14.13=148所以P(X=2)=1-P(X=0)-P(
43、X=1)-P(X=3)=1-38-716-148=16所以随机变量X的分布列为X0123P3871616148故E(X)=038+1716+216+3148=56.4.某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路堵车的概率为 p，不堵车的概率为1-p.若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.【解析】解：(1)三辆车是否堵车相
44、互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1-p，得C121434 1-p+342p=716即3p=1，则p=13即p的值为13(2)由题意知可能的取值为0，1，2，3P=0=343423=38，P=1=716P=2=141423+C12143413=16，P=3=141413=148的分布列为：E=038+1716+216+3148=565.某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市 E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路堵车的概率为110，走公路堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他
45、原因走公路运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.()求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；()求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.【解析】设“汽车甲走公路堵车”为事件A,“汽车乙走公路堵车”为事件B,“汽车丙走公路堵车”为事件C.()甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车,有2种情况,即甲堵车而乙不堵车和甲不堵车而乙堵车,则其概率为P1=P(AB)+P(AB)=110 1-110+1-110110=950,故甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为950；()甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车即三辆车全部堵车或恰有两辆汽车堵车,则其概率P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=11
46、011025+1-11011025+110 1-11011025+110 1-11025+110110 1-25=41500，故三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为41500.6.张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。(例如：A C D 算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为，路段 CD 发生堵车事件的概率为)。(1)请你为其选择一条由 A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望。【解析】(1)记路段AC发生堵车事件为
47、AC，其余同此表示法。因为各路段发生堵车事件是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率P1为同理：路线ACFB中遇到堵车的概率P2为路线AEFB中遇到堵车的概率P3为显然要使得 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。又因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小(2)路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3所以故路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为7.自驾游从 A 地到 B 地有甲乙两条线路，甲线路是 A-C-D-B，乙线是 A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段.假设这三条
48、路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表 1 所示.经调查发现，堵车概率 x 在23,1上变化，y 在 0,12上变化.在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据.CD段EF段GH段堵车概率xy14平均堵车时间(单位：小时)a21(表1)堵车时间(单位：小时)频数0,18(1,26(2,338(3,424(4 4,5 524(表2)(1)求CD段平均堵车时间a的值.(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.(
49、3)在(2)的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望。【解析】(1)a=0.58100+1.56100+2.538100+3.524100+4.524100=3(2)设走线路甲所花汽油费为元，则E=500 1-x+500+60 x=500+60 x设走乙线路多花的汽油费为元，EF段、GH段堵车与否相互独立，P=0=1-y1-14，P=20=1-y14，P=40=y 1-14，P=60=14yE=40y+5走乙线路所花汽油费的数学期望为E 545+=545+E=550+40y依题意选择走甲线路应满足 550+40y-500+60 x0，6x-4y-50,又23x1,0y12,P
50、(走路甲)=78(3)二项分布EX=3.58.如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口C，环城北路经过学校的路口F，中间路线经过商场的路口G。如果开车到五个路口B、C、E、F、G因遇到红灯而堵车的概率分别为15、12、14、13、16，再无别的路口红灯.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?(2)对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.点睛：本题主要考查了随机变量的分布列、数学期望和方程的求解以及应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及函数与方程思想，试题能很好的考查考生数学