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1、南京市九校联合体2022-2023学年度第二学期期末学情调研高一数学注意事项：1.本试卷共分8页.满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答题卡.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为( )A. 1B. 1C. D. 2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为( )A. 6B. 6.5C. 7D. 5.53 向量与不共线，且与共线，则k，l应满足( )A. B. C. D. 4. 一个圆锥的侧面展开图
2、恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为( )A B. C. D. 5. 已知向量，若，则( )A. B. C. D. 36. 从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )A. B. C. D. 7. 在中，下列命题正确的个数是( )；若，则为等腰三角形；，则为锐角三角形A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设复数，则下
3、列结论正确的是( )A. z的共轭复数为B. z的虚部为1C. z在复平面内对应的点位于第二象限D. 10. 下列说法中错误的是( )A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若，则存在唯一实数，使得 D. 非零向量和满足，则 与的夹角为11. 抛掷两枚质地均匀骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则( )A. 与互斥B. 与互斥C. 与独立D. 与独立12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是( )A. 若有两解B. 若有两解C. 若
4、为锐角三角形，则b的取值范围是D. 若为钝角三角形，则b的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13. 设有两组数据：与，它们之间存在关系式：(，其中非零常数)，若这两组数据方差分别为和，则和之间的关系是_14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为_15. 已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为 _16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为_四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为1
5、2分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是虚数单位，设.(1)求证：120；(2)计算：(12)(12)18. 已知，是第三象限角()求的值；()求的值19. 为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角， (1)求的值；(2)若测得，求待测径长20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、分组，得到如图所示频率分布直方图(1)求频率分布直方图中的值；(2)求全体应
6、聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，(1)求证：；(2)当与平面BCD所成角为45时，求二面角余弦值22. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段(如图所示)(1)求的值；(2)为线段上一点，若，求实数的值；(3)为边上一动点，当取最小值时，求的值南京市九校联合体2022-2023学年度第二学期期末学情调研高一数学注意事项：1.本试卷共分8页.满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答
7、题卡.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为( )A. 1B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据计算可得结果.【详解】由，得.故选：B2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为( )A. 6B. 6.5C. 7D. 5.5【答案】D【解析】【分析】由百分位数的求法求60百分位数.【详解】由题设，故60百分位数为.故选：D3. 向量与不共线，且与共线，则k，l应满足( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据与共线，由求解.【详解】由与共线，故，即，故，所以故选：D.【点睛
8、】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积.【详解】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，底面周长为，则，所以，所以圆锥的表面积为，故选：A.5. 已知向量，若，则( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.【详解】因为，所以，易知，所以，所以.故选：C.6. 从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形
9、的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出从长度为的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.【详解】从长度为的5条线段中任取3条，共有种取法,而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有和以及,共3种,故这三条线段能构成一个三角形的概率为,故选：B7. 在中，下列命题正确的个数是( )；若，则为等腰三角形；，则为锐角三角形A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】，所以错误；，所以正确；由题得,所以为等腰三角形，所以正确；，则是锐角，但是不一定为锐角三角形，所以错误【详解】，所以
10、错误；，所以正确；若，则,所以为等腰三角形，所以正确；，则是锐角，但是不一定为锐角三角形，所以错误故选：B8. 已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，结合三角形为锐角三角形可得的取值范围.【详解】，由正弦定理可得，为锐角三角形，可得，即解得.故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设复数，则下列结论正
11、确的是( )A. z的共轭复数为B. z的虚部为1C. z在复平面内对应的点位于第二象限D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据共轭复数的定义即可判断A选项；根据虚部的概念即可判断B选项；根据复数的几何意义可以判断C选项；根据复数模的计算公式可以判断D选项.【详解】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A错误；z的虚部为1，故B正确；z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，故D正确故选:BCD10. 下列说法中错误的是( )A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若，则存在唯一实数，使得 D. 非零向量和满足，则 与的夹角为【答案】ACD【解
12、析】【分析】A. 根据与的夹角为锐角，由，且不共线求解判断；B.判断是否共线；C. 由时判断；D.根据和满足，得到，然后利用向量的夹角公式求解判断.【详解】A. 因为，所以，又因为与的夹角为锐角，所以，即且，解得且，故错误；B.因为向量，所以，即共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；C. 当时，满足，则存在无数个实数，使得 ，故错误；D.因为非零向量和满足，则，即，则，所以，因为，则，故错误；故选：ACD11. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则( )A. 与互斥B. 与
13、互斥C. 与独立D. 与独立【答案】BC【解析】【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可；对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故与独立，故C正确；对于D，事件的基本事件有件，故，由选
14、项B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故与不独立，故D错误.故选：BC.12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是( )A. 若有两解B. 若有两解C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是D. 若为钝角三角形，则b取值范围是【答案】AC【解析】【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即，有两解，或，有一解，有0解，根据直角三角形的情况，便可得出为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，有两解，故A正确；B选项，有一解，故B错误；C选项，为锐角三角形，即，故C正确；D选项，为钝角三角形，或，即或，故D错误.故选：AC三、填空题
15、：本题共4小题，每小题5分，13. 设有两组数据：与，它们之间存在关系式：(，其中非零常数)，若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是_【答案】【解析】【分析】注意两组数据关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的a倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的倍.【详解】两组数据:,与,它们之间存在关系式: 即第二组数据是第一组数据的倍还要整体加上,在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,和之间的关系是,故填:,【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个
16、数,方差不变,属于基础题.14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为_【答案】120【解析】【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为，则最大角与最小角的和是180-，有余弦定理可得，cos=，易得=60，则最大角与最小角的和是180-=120，故答案为120考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意点评：解决该试题的关键是设长为7的边所对的角为，根据余弦定理可得cos的值，进而可得的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180-，即可得答案15. 已知向量，若在方向上的投影向量为
17、，则的值为 _【答案】#1.5【解析】【分析】利用投影向量公式求解即可.【详解】解：，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，故答案为：.16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】先连接交与点，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解【详解】如图：连接交与点，设正方形边长为，则，则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：
18、，由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形如图：设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，设外接球半径为，则，由勾股定理得，即，解得，外接球表面积为：故答案为【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是虚数单位，设.(1)求证：120；(2)计算：(12)(12)【答案】(1)证明见解析； (2)4.【解析】【分析】(1)代入，化简，即可作出证明；(2)由(1)知，求解，代入即可求解.【小问1详解】证明：，【小问2详解】由
19、120知，(1)(12)0，310，31.(12)(12)(22)(2)434.18. 已知，是第三象限角()求的值；()求的值【答案】()；()【解析】【分析】()先求得，然后求得，从而求得.()先求得，从而求得的值.【详解】()，()，是第三象限角，故19. 为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角， (1)求的值；(2)若测得，求待测径长【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；(2)分别在，用余弦定理可求得，再由两角差的余弦公式可求出，最后在在，由余弦定理即可求出答案.
20、【小问1详解】在中，由正弦定理可得：，则，因为，因为为钝角，所以，所以.【小问2详解】在，由余弦定理可得：，解得：或(舍去)，因为，所以，在，由余弦定理可得：，解得：，由余弦定理可得：，故.20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、分组，得到如图所示频率分布直方图(1)求频率分布直方图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3)【解析
21、】【分析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；(2)利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；(3)计算出百分位数，可得结果.【小问1详解】解：由题意有，解得.【小问2详解】解：应聘者笔试成绩的众数为，应聘者笔试成绩的平均数为【小问3详解】解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数，前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设百分位数为，则，解得.因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，(1)求证：；(2)当与平面BCD所成角为45时，
22、求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析； (2).【解析】【分析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.小问1详解】在三棱锥中，平面平面，平面平面，而， 平面，因此有平面，又有平面，所以.【小问2详解】取BC中点F，连接AF，DF，如图， 因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，令，则，因，即有，由(1)知，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，中，中，由余弦定理得，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，
23、所以二面角的余弦值.22. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段(如图所示)(1)求的值；(2)为线段上一点，若，求实数的值；(3)为边上一动点，当取最小值时，求的值【答案】(1)；(2)；(3)【解析】【分析】(1)利用线段的中点向量公式将所求化为，再结合余弦定理求解；(2)利用平面向量的线性运算进行化简求解；(3)先讨论的位置，研究的符号，再设，将表示为关于的函数，利用二次函数的最值判定的位置，再利用余弦定理进行求解【详解】(1)原式，在中，由余弦定理，得，所以(2)易知，即，即，因为为线段上一点，设，所以，解得所以；(3)当在线段上时，；当在线段上时，；要使最小，则必在线段上，设，则，当时，即当为时，最小， 则由(1)可知，则由余弦定理得，