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1、圆锥曲线圆锥曲线目录目录【题型一】轨迹【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型四】面积比值范围型【题型五】非常规型四边形面积最值型【题型六】“三定”型：圆过定点【题型七】“三定”型：斜率和定【题型八】“三定”型：斜率积定【题型九】圆锥曲线切线型【题型十】“韦达定理”不能直接用【题型十一】“非韦达”型：点带入型【题型一】轨迹【题型一】轨迹求轨迹方程的常见方法有:(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点
2、P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标x0,y0所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.12024年新高考新结构数学7个大题逐一击破圆锥曲线（学生版）1(20242024 重庆重庆 模拟预测模拟预测)已知点F-1,0和直线m:x=2，点P到m的距离d=4-2 PF.(1)求点P的轨迹方程；(2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点.设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，记
3、 k1k2=t，是否存在t值使得OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.2(20242024 辽宁辽宁 一模一模)已知平面上一动点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)点A 2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S8 69.23(20242024 山东淄博山东淄博 一模一模)在平面直角坐标系xOy中，点.F5,0，点P x,y是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与
4、圆 D:x2+y2=1相切，记点 P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设点A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t2)，直线 AM，AN 分别与曲线C交于点S，T(S，T 异于 A)，过点A作AHST，垂足为 H，求|OH|的最大值.【题型二】新结构卷中【题型二】新结构卷中1919题“定义”型轨迹题“定义”型轨迹1(20242024 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 二模二模)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A x1,y1,B x2,y2之间的“距离”为 AB=x2-x1+y2-y1，我们把到两定点F1-c,0,F2c,0c0的“距离”之和为常数2a ac的点的轨迹叫“椭圆”(1
5、)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值32(20242024 湖南湖南 二模二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,nR R)的包络曲线，求m,n满足的关
6、系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aR R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C 0,1，若A,B,C三点不共线，探究PCA=PCB是否成立？请说明理由.3(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)已知复平面上的点Z对应的复数z满足 z2-z2-9=7，设点Z的运动轨迹为W点O对应的数是0(1)证明W是一个双曲线并求其离心率e；(2)设W的右焦点为F1，其长半轴长为L，点Z到直线x=Le的距离为d(点Z在W的右支上)，证明：ZF1
7、=ed；(3)设W的两条渐近线分别为l1，l2，过Z分别作l1，l2的平行线l3，l4分别交l2，l1于点P，Q，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由4【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型三】直线所过定点不在坐标轴上存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况1已知点M是抛物线C:x2=2py p0的对称轴与准线的交点
8、，过M作抛物线的一条切线，切点为P，且满足 PM=22(1)求抛物线C的方程；(2)过A-1,1作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点T 0,tt0，直线AT与BT分别交抛物线C于点E，F，设直线EF的斜率为k，是否存在常数，使得t=k？若存在，求出值；若不存在，请说明理由2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2 33，点P 2,3到其左右焦点F1，F2的距离的差为2(1)求双曲线C的方程；(2)在直线x+2y+t=0上存在一点Q，过Q作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求t的取值范围53已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)上任意一点Q(异于顶点)与双
9、曲线两顶点连线的斜率之积为19，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为10-3.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过椭圆x2m2+y2n2=1(mn0)上任意一点P(P不在C的渐近线上)分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且|PM|2+|PN|2=5，是否存在m，n使得椭圆的离心率为2 23？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【题型四】面积比值范围型【题型四】面积比值范围型圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心
10、是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.61(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)F c,0是椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点，其中cN*.点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，圆F过点B与坐标原点O，P是椭圆上异于A、B的动点，且PBF的周长小于8.(1)求C的标准方程；(2)连接BP与圆F交于点Q，若OQ与AP交于点M，求SOPQSMBQ的取值范围.2(202320
11、23下下 福建福州福建福州 高三校考高三校考)如图，已知圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点A(-2,0)，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线lx轴时，|MN|=3.(1)求椭圆C的方程；(2)记AMF,ANF的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围.73(20222022 湖北黄冈湖北黄冈 蕲春县第一高级中学校考模拟预测蕲春县第一高级中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2，左、右焦点分别为F1,F2，圆A2:(x-2)2+y2=r2(r0)，椭圆C与圆A2交于点D，且kDA2kDA1=-34.(1)求椭圆方程.
12、(2)若过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点，与圆A2交于M,N两点，且SA1PQSA2MN=3，求r的取值范围.8【题型五】非常规型四边形面积最值型【题型五】非常规型四边形面积最值型求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为SDMEN=12xN-xMy1-y2，为此计算y1-y2，xN-xM代入转化为k的函数求最大值.1(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动，L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F1-3,0,F23,0，抛物线的焦点为S，记焦点S的
13、轨迹为S(1)求S的方程；(2)过动点P的两条直线l1,l2均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l1,l2的斜率之积为-1，求四边形PAOB面积的取值范围2(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形GF1F2的面积为1，其内切圆的半径为2-3(1)求椭圆C的方程；(2)已知A是椭圆C的上顶点，过点P-2,1的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D在第二象限，直线AD、AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值93(20232023 全国全国 高
14、三专题练习高三专题练习)如图已知圆M:(x-2)2+y2=81，圆N:(x+2)2+y2=1动圆S与这两个圆均内切(1)求圆心S的轨迹C的方程；(2)若P 2,3、Q 2,-3是曲线C上的两点，A、B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值【题型六】“三定”型：圆过定点【题型六】“三定”型：圆过定点圆过定点思维：1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。4.通过推导求出定点(计算推导难度较大)101已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A,B，且
15、 AB=4，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上不同于A,B的一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点A 0,1，且右焦点为F 1,0(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点 0,12的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问以MN为直径的圆是否过y轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由113已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q
16、两点.当PQx轴时，PA=10，PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.【题型七】“三定”型：斜率和定【题型七】“三定”型：斜率和定设抛物线y2=2px p0，其上有不同的三点：P x0,y0,A x1,y1,B x2,y2x0 x1x2，当lPA,lPB的斜率kPA,kPB满足：kPA+kPB=t t0时，lAB过定点x0-2y0t,2pt-y0kPAkPB=t t0时，lAB过定点x0-2pt,-y0或者y202p-2y0t,-y0121已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tanPFO=33.(1)
17、求椭圆的离心率e；(2)已知M 1,0，N 4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.2.在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.()求曲线的方程；()过点F的两条直线l1、l2与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.133已知右焦点为F 1,0的椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点D 1,32.(1)求椭圆C的方程；(2)经过F的直
18、线l与椭圆C分别交于A、B(不与D点重合)，直线DA、DB分别与x轴交于M、N，是否存在直线l，使得DMN=DNM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【题型八】“三定”型：斜率积定【题型八】“三定”型：斜率积定给定椭圆x2a2+y2b2=1（ab0），与椭圆上定点P x0,y0，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有若k1+k2=t，则直线AB过定点x0-2y0t,-y0-2b2x0a2t若k1k2=t，则直线AB过定点2b2x0ta2-b2+x0,-2a2ty0ta2-b2+y01已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0
19、)经过点3,12，其左焦点为F1(-3,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120，证明：直线PQ过定点.142已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B直线l与C相切，且与圆O:x2+y2=4交于M，N两点，M在N的左侧(1)若直线l的斜率k=12，求原点O到直线l的距离；(2)记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值3已知椭圆E:x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为ABC的重心；如
20、果直线AB，OC的斜率都存在，求证：kABkOC为定值；试判断ABC的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.15【题型九】圆锥曲线切线型【题型九】圆锥曲线切线型在利用椭圆(双曲线)的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：(1)设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由=0进行求解；(2)椭圆(双曲线)x2a2y2b2=1在其上一点 x0,y0的切线方程为x0 xa2y0yb2=1，再应用此方程时，首先应证明直线x0 xa2y0yb2=1与椭圆(双曲线)x2a2y2b2=1相切.双曲线x2a2-y2b2=1的以 x0,y0为切点的切线方程为x0 xa2-y0yb2=1抛物线
21、的切线：(1)点P x0,y0是抛物线y2=2mx m0上一点，则抛物线过点P的切线方程是：y0y=m x0+x；(2)点P x0,y0是抛物线x2=2my m0上一点，则抛物线过点P的切线方程是：x0 x=m y0+y1已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的焦距为2 3，且经过点P-3,12(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，C上一点P到F1，F2距离之和为6.(1)求
22、C的方程；(2)设C在点P处的切线交x轴于点Q，证明：PF1 QF2=PF2 QF1.163法国数学家加斯帕尔蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C:x2a2+y2b2=1（ab0）中，离心率e=12，左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为Q，且 QF2=2，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点(不在坐标轴上)，过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，
23、垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求POH面积的最大值.17【题型十】“韦达定理”不能直接用【题型十】“韦达定理”不能直接用x1=x21.利用公式，可消去参数2.可以直接借助韦达定理反解消去两根定比分点型，即题中向量(或者线段长度满足)可以利用公式，可消去1已知椭圆C:y2a2+x2b2=1（ab0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N 两点，MNF2的面积为3，椭圆C的离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，直线l:y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A,B两个不同的点，若存在实数，使得OA+OB=4OP，求m的取值
24、范围.2在平面直角坐标系xOy中，动点M x,y与定点F 1,0的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数22，点M的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)直线l交曲线E于P，Q两点，交x轴于N点，交y轴于R点，若RP=1PN,RQ=2QN，若1+2=-4，求点N的坐标183已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（ab0），倾斜角为30o的直线过椭圆的左焦点F1和上顶点B，且SABF1=1+32(其中A为右顶点).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点M 0,m的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且PM=2MQ，求实数m的取值范围.【题型十一】“非韦达”型：点带入型【题型十一】“非韦达”型：点带入型
25、1已知M为椭圆C:x225+y29=1上的动点，过点M作x轴的垂线段MD，D为垂足，点P满足PD=53MD.()求动点P的轨迹E的方程；()若A，B两点分别为椭圆C的左右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求kQFkPA的取值范围.192如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为22，上顶点A到右焦点的距离为2.过点D 0,mm0作不垂直于x轴，y轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且ACOC.(1)求椭圆E的方程；(2)求实数m的取值范围；(3)延长AC交椭圆E于点B，记AOB
26、与AOC的面积分别为S1,S2，若S1S2=83，求直线l的方程.203在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F-3,0，点A-3,12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆O:x2+y2=a2，连接FA并延长交圆O于点B,H为椭圆长轴上一点(异于左、右焦点)，过点H作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C和圆O于点P,Q(P,Q均在x轴上方).连接PA，QB，记PA的斜率为k1，QB的斜率为k2.求k2k1的值；求证：直线PA，QB的交点在定直线上.4已知双曲线:x2a2-y2b2=1（a0,b0），A 2,0，B-32,-152，B32,152，D-1
27、,0，E 4,0五点中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)设P是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点Q m,0m2时，PF3，d=4-2 PF4-3 2-2023，根据题意可得x-122+y2=x+2023-40452，化简得y2=2x，所以C的方程为y2=2x.解法二：因为点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452，所以点P到定点F12,0的距离与到定直线x=-12的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以定点F12,0为焦点，定直线x=-12为准线的抛物线，所以C的方程为y2=2x.(2)证明：设M x1,y1,N x2,y2，直线MN的斜率为k k0，线
28、段MN的中点为Q，因为平行四边形MANB对角线的交点在第一三象限的角平分线上，所以线段MN的中点Q在直线y=x上，设Q m,mm0，所以y21=2x1,y22=2x2,所以 y1-y2y1+y2=2 x1-x2，又y1+y2=2m,y1-y2x1-x2=k,所以km=1，即k=1m.设直线MN的方程为y-m=1mx-m，即x-my+m2-m=0，联立x-my+m2-m=0,y2=2x,整理得y2-2my+2m2-2m=0，所以=8m-4m20，解得0m2，y1+y2=2m,y1y2=2m2-2m，则 MN=1+m2y1-y2=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m24m2-4 2m2-2m=
29、2 1+m22m-m2.又点A到直线MN的距离为d=2-2m+m21+m2，所以S=2SAMN=MNd=2 1+m22m-m22-2m+m21+m2=2 2m-m22-2m+m2，记t=2m-m2，因为0m0,f t在区间(0,63内单调递增，当t63,1 时，ft04+n2-m20，x1+x2=-2mnm2-4,x1x2=n2+4m2-4所以AS:y=y1x1-1(x-1)，令x=0，得点M纵坐标t=-y1x1-1，同理可得点N纵坐标4-t=-y2x2-1，故y1x1-1+y2x2-1=-4，将y1=mx1+n,y2=mx2+n代入上式整理，得(2m+4)x1x2+(n-m-4)x1+x2+
30、4-2n=0，将代入得m2+2mn+n2+2m+2n=0(m+n)(m+n+2)=0，若m+n=0，则直线ST:y=m(x-1)，恒过A(1,0)不合题意；若m+n+2=0，则ST:y=m(x-1)-2，恒过Q(1,-2)，因为直线ST恒过Q(1,-2)，且与C:x2-y24=1始终有两个交点，又A(1,0)，AHST，垂足为H，所以点H轨迹是以AQ为直径的圆(不含点A)，设AQ中点为E，则圆心E(1,-1)，半径为1，所以|OH|OE|+1=2+1，当且仅当点H在线段OE上时，OH取最大值2+1.【题型二】新结构卷中【题型二】新结构卷中1919题“定义”型轨迹题“定义”型轨迹1(202420
31、24 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 二模二模)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A x1,y1,B x2,y2之间的“距离”为 AB=x2-x1+y2-y1，我们把到两定点F1-c,0,F2c,0c0的“距离”之和为常数2a ac的点的轨迹叫“椭圆”(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；4(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值【答案】(1)x+c+x-c+2 y=2a ac0(2)答案见解析(3)证明见解析【分
32、析】(1)设“椭圆”上任意一点为P x,y，则 PF1+PF2=2a，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；(2)将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；(3)先求出椭圆方程，设直线MN的方程为x=my+1 m0,M x1,y1,N x2,y2，联立方程，利用韦达定理求出y1+y2,y1y2，分别求出直线AM,AN的方程，设Q x0,y0，再次求出y1,y2的关系，进而求出y0 x0，从而可得出结论.【详解】(1)设“椭圆”上任意一点为P x,y，则 PF1+PF2=2a，即 x+c+y+x-c+y=2a，即x+c+x-c+2 y=2a ac0，所以“椭圆”的方程为 x
33、+c+x-c+2 y=2a ac0；(2)由方程 x+c+x-c+2 y=2a，得2 y=2a-x+c-x-c，因为 y0，所以2a-x+c-x-c0，即2a x+c+x-c，所以x-c-x-c-x+c2a 或-cxcx+c-x+c2a 或xcx+c+x-c2a，解得-axa，由方程 x+c+x-c+2 y=2a，得 x+c+x-c=2a-2 y，即2a-2 y=-2x,x-c2c,-cx0恒成立，则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3，因为AM的中点为5x1-22,y12,kAM=y1x1+2=y1my1+3，所以直线AM的中垂线的方程为y=-my1+3y1x-y1，同理直线A
34、N的中垂线的方程为y=-my2+3y2x-y2，设Q x0,y0，则y1,y2是方程y0=-my+3yx0-y的两根，即y1,y2是方程y2+mx0+y0y+3x0=0的两根，所以y1+y2=-mx0+y0,y1y2=3x0，又因y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3，所以-mx0+y0=-2mm2+3,3x0=-3m2+3，两式相比得-mx0-y03x0=2m3，所以y0 x0=-3m，所以kMNkOQ=y0 x01m=-3，所以直线OQ与MN的斜率之积为定值-32(20242024 湖南湖南 二模二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的
35、直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,nR R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aR R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C 0,1，若A,B,C三点不共线，探究PCA=PCB是否成立？请说明理由.【答案】(1)m2+n2=1(2)y0 x204,y=x24(3
36、)成立，理由见解析【分析】(1)根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得m2+n2=1；(2)易知方程 2a-4x0+4y0+(a-2)2=0无解，根据判别式可得y0 x204，证明可得直线族的包络曲线E为y=x24；(3)法一：求出A,B两点处曲线 E的切线l1,l2的方程，解得Px1+x22,x1x24，根据平面向量夹角的表达式即可得CA CP CA CP=CB CP CB CP，即PCA=PCB；法二：过A,B分别作准线的垂线AA,BB，连接AP,BP，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明PCA=PCB.【详解】(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+y2=1相切，
37、则圆C1的圆心 0,0到直线mx+ny=1的距离等于1，则d=1m2+n2=1，m2+n2=1.(2)点P x0,y0不在直线族:2a-4x+4y+(a-2)2=0 aR R的任意一条直线上，所以无论a取何值时，2a-4x0+4y0+(a-2)2=0无解.将 2a-4x0+4y0+(a-2)2=0整理成关于a6的一元二次方程，即a2+2x0-4a+4+4y0-4x0=0.若该方程无解，则=2x0-42-4 4+4y0-4x0 x204.证明：在y=x24上任取一点Q x1,x214,y=x24在该点处的切线斜率为k=x12，于是可以得到y=x24在Q x1,x214点处的切线方程为：y=x12
38、x-x214，即-2x1x+4y+x21=0.今直线族:2a-4x+4y+(a-2)2=0中2a-4=-2x1，则直线为-2x1x+4y+x21=0，所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，而对任意aR R,2a-4x+4y+(a-2)2=0都是抛物线在点 2-a,(2-a)24处的切线.所以直线族的包络曲线E为y=x24.(3)法一：已知C 0,1，设A x1,y1,B x2,y2，则CA=x1,y1-1,CB=x2,y2-1，CA=x214+1,CB=x224+1；由(2)知y=x24在点A x1,y1处的切线方程为y=x12x-x214；同理y=x24在点B x2,y2处的
39、切线方程为y=x22x-x224；联立y=x12x-x214y=x22x-x224 可得Px1+x22,x1x24，所以CP=x1+x22,x1x24-1.因此CA CP=x1x1+x22+x1x24-1x214-1=x214+x1x24+x81x216+1=x214+1x1x24+1，同理CB CP=x224+1x1x24+1.所以CA CP CA CP=x214+1x1x24+1CP x214+1=x1x24+1CP，CB CP CB CP=x224+1x1x24+1CP x224+1=x1x24+1CP，即CA CP CA CP=CB CP CB CP，可得cosPCA=cosPCB，所
40、以PCA=PCB成立.法二：过A,B分别作准线的垂线AA,BB，连接AP,BP，如图所示：则AxA,-1，因为kPA=y|x=xA=xA2,kAC=-1-1xA=-2xA，显然kBAkAC=-1.又由抛物线定义得AA=AC，故PA为线段AC的中垂线，得到PA=PC，即PAA=PCA.同理可知PBB=PCB,PB=PC，所以PA=PC=PB，即PAB=PBA.则PAA=PAB+90=PBA+90=PBB.所以PCA=PCB成立.73(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)已知复平面上的点Z对应的复数z满足 z2-z2-9=7，设点Z的运动轨迹为W点O对应的数是0(1)证明W是一个双曲线并
41、求其离心率e；(2)设W的右焦点为F1，其长半轴长为L，点Z到直线x=Le的距离为d(点Z在W的右支上)，证明：ZF1=ed；(3)设W的两条渐近线分别为l1，l2，过Z分别作l1，l2的平行线l3，l4分别交l2，l1于点P，Q，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由【答案】(1)证明见解析；离心率为3 24；(2)证明见解析；(3)平行四边形OPQZ的面积为定值2.【分析】(1)设复数z=a+bi a,bR，由 z2-z2-9=7化简得到a28-b2=1判断，并求离心率；(2)由(1)得到L=2 2，e=3 24，F1c,0=3,0，从而直线x=Le=83，
42、设z=a+bi a,bR,a0，由d=a-83和复数的模求解证明；(3)由(1)得到W的两条渐近线l1：y=24x，l2：y=-24x，不妨设z=a+bi a,bR,a0，得到l3：y=24x-a+b，l4：y=-24x-a+b联立l2和l3，求得点P，易知直线OZ：bx-ay=0，求得点P到直线OZ的距离，再由SOPZ=12d OZ求解.【详解】(1)设复数z=a+bi a,bR，则 z2-z2-9=a2+b2-a2-b2-92+4a2b2=7a2-b2-92+4a2b2=a2+b2-7两边平方得 a2-b2-92+4a2b2=a2+b22+49-14 a2+b2a2-8b2=8a28-b2
43、=1所以W是一个焦点在实轴上，顶点为 2 2,0，渐近线为y=24x的双曲线其离心率e=2 22+122 2=3 24.(2)由(1)的计算得L=2 2，e=3 24，F1c,0=3,0，则直线x=Le=83，设z=a+bi a,bR,a0，则d=a-83=a-83，ed=3 24a-83=3 24a-2 2，ZF1=a-32+b2由a28-b2=1得b2=a28-1，代入得 ZF1=a-32+b2=a-32+a28-1=98a2-6a+8=3 24a-2 22=3 24a-2 2=ed所以 ZF1=ed，原式得证(3)由(1)得W的两条渐近线l1：y=24x，l2：y=-24x，由对称性，不
44、妨设z=a+bi a,bR,a0，则kl3=kl1=24，所以l3：y=24x-a+b，同理得l4：y=-24x-a+b联立l2和l3：y=-24xy=24x-a+b，得Pa2-2b，b2-28a，8易知直线OZ：bx-ay=0，所以点P到直线OZ的距离d=ba2-2b-ab2-28aa2+b2=288b2-a2a2+b2由(1)a2-8b2=8，所以d=288b2-a2a2+b2=288a2+b2=2a2+b2而 OZ=a2+b2，所以SOPZ=12d OZ=122a2+b2a2+b2=22SOPQZ=2SOPZ=2，故平行四边形OPQZ的面积为定值2【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型
45、三】直线所过定点不在坐标轴上存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况1已知点M是抛物线C:x2=2py p0的对称轴与准线的交点，过M作抛物线的一条切线，切点为P，且满足 PM=22(1)求抛物线C的方程；(2)过A-1,1作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点T 0,tt0，直线AT与BT分别交抛物线C于点E，F，设直线EF的斜率为k，是否存在常数
46、，使得t=k？若存在，求出值；若不存在，请说明理由【答案】(1)x2=y(2)存在，=32【分析】(1)利用导数求得切线方程y=x0px-x202p，根据切线方程过点M 0,-p2求得x20=p2，再结合两点间距离公式运算求解；(2)根据题意联立方程求点B的坐标，再分别求直线AT,BT的方程和E,F的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】(1)抛物线C:x2=2py p0，则M 0,-p2,y=x22p，y=xp，设P x0,x202p，则在点P处的切线斜率k=x0p，故在点P处的切线方程为y-x202p=x0px-x0，即y=x0px-x202p，切线过点M 0,-p2，则-x202p=-
47、p2，解得x20=p2，则 PM=x20+x202p+p22=2p=22，解得p=12，故抛物线C的方程为x2=y.(2)存在，=32，理由如下：由题意可得：直线AB的方程为y-1=2 x+1，即y=2x+3，9联立方程y=2x+3x2=y，解得x=-1y=1 或x=3y=9，即直线AB与抛物线的交点坐标为A-1,1,B 3,9，直线AT的斜率k=t-1，故其方程为y=t-1x+t，联立方程y=t-1x+tx2=y，解得x=-1y=1 或x=ty=t2，即点E t,t2，又直线BT的斜率k=9-t3，故其方程为y=9-t3x+t，联立方程y=9-t3x+tx2=y，解得x=-1y=1 或x=-
48、t3y=t29，即点F-t3,t29，故直线EF的斜率为k=t2-t29t+t3=23t=t，则=32.2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2 33，点P 2,3到其左右焦点F1，F2的距离的差为2(1)求双曲线C的方程；(2)在直线x+2y+t=0上存在一点Q，过Q作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求t的取值范围【答案】(1)x23-y2=1(2)-10,10【分析】(1)根据双曲线离心率以及点P到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线C的标准方程；(2)根据过点Q作两条相互垂直的直线与双曲线C相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，若其中一
49、条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；若切线的斜率存在，则设其斜率为k，Q x0,y0，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线C相切，联立方程组x23-y2=1y=k x-x0+y0，得=0，进而可得关于k的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有k1k2=-1，即可得到x20+y20=2，再结合Q x0,y0在直线x+2y+t=0上，推出d=0+0+t12+222，求解即可得到t的取值范围【详解】(1)依题意有双曲线的左、右焦点为F1-c,0，F2c,0，则e=ca=2 332+c2+32-2-c2+32=2，得c=2a=3，则b2=c2-a2=4-3=1，所以双曲线C的方程为
50、x23-y2=1；(2)若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；10若切线的斜率存在，则设其斜率为k，Q x0,y0，则切线方程为y=k x-x0+y0，联立x23-y2=1y=k x-x0+y0，消y并整理得 1-3k2x2+6k kx0-y0 x-3k2x20+6kx0y0-3y20-3=0，则=6k kx0-y02-4 1-3k2-3k2x20+6kx0y0-3y20-3=0，化简得12 kx0-y02-36k2-12=0，即 kx0-y02-3k2-1=0，化成关于k的一元二次方程 x20-3k2-2x0y0k+y20+1=0，设该方程的两根为k1，k2，即为