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1、换元积分法 第 课16课题换元积分法课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用第一、二类换元积分法计算不定积分。（2）记住常见的凑微分形式。思政育人目标：通过学习不定积分的换元积分法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。教学重难点教学重点：第一、二类换元积分法的相关定理教学难点：用第一类换元法计算不定积分教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 m
2、in）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解第一类换元法，并通过例题介绍其应用定理1（第一类换元法） 设具有原函数，可导，则有换元公式第一类换元积分法又称为凑微分法，主要解决复合函数不定积分的计算问题例1 求不定积分解 ，将变量代入，即得例2 求不定积分解 令，于是例3 求分析 解 令，则结论 例2、例3可以总结出的凑微分形式为例4 计算不定积分分析 可以考虑解 例5 求分析 类
3、似于例4，可以考虑解 结论 例4、例5可以总结出的凑微分形式为通常情况下，除了上述两种凑微分形式，还有很多其他情形下面给出一些常用的凑微分公式，利用它们可以灵活地进行积分计算（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）（7）；（8）（9）；（10）例6 求解 例7 求解 例8 求解 例9 求解 例10 求解 下面介绍含三角函数的不定积分计算例11 求解 类似可得例12 求解 例13 求解 例14 求解 例15 求解 例16 求解 因为，所以，所求不定积分又可表示为例17 求解 n 【学生】掌握第一类换元法的应用学习第一类换元法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10
4、min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解第二类换元法，并通过例题介绍其应用定理2（第二类换元法） 设是单调、可导函数，并且，具有原函数，则有换元公式，其中是的反函数用到第二类换元法的不定积分主要有两种类型：（1）简单无理函数的类型（例18、例19）；（2）三角函数代换法类型（例20、例21）例18 求解 令，则，所以例19 求解 被积函数中出现
5、了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换令，则，从而结论 一般地，如果积分具有以下形式，则其可以进行如下相应代换：（1），可令；（2），可令，其中是，的最小公倍数运用这些代换可以将被积函数中的根号去掉，将被积函数转化为有理函数例20 求解 设，那么，于是结合具体图像（见图4-2）可以得出，则，所以图4-2例21 求解 设，那么，于是结合具体图像（见图4-3）可以得出，所以，其中图4-3补充公式:（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）n 【学生】掌握第二类换元法的应用学习第二类换元法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一
6、体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1第一类换元法的思想是什么，步骤有哪些？2说明第一类换元法的各种常见形式3第二类换元积分法有哪几种常见类型?n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了第一类换元法和第二类换元法的相关知识及其应用，了解了伯努利方程。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题4.2总结知识点，巩固印象教学反思本节课由于时间较为紧张，在课堂指导环节有些后进生的问题没有彻底解决，在课下还需对后进生进行针对辅导，以帮助后进生更好地理解所学知识，跟上其他学生的学习进度。9目 录