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1、 数列的极限、函数的极限 第 课2课题数列的极限、函数的极限课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解数列的极限。（2）掌握收敛数列的性质。（3）理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。（4）理解函数极限的性质。思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质教
2、学难点：计算函数的极限、左极限和右极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）问题讨论（10min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】通过庄子的“截杖问题”和刘徽的“割圆术”，引出并讲解数列以及数列的极限案例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”
3、分析 这是战国时期哲学家庄周所著的庄子天下篇中的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，永远取不尽”我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得数列：随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数n无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长度越来越接近于数0案例2 刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失亦”分析 “割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接正六边形，把它的面积记为；再作圆的内接正十二边形，其面积记为；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为；照此下去，把圆内接正边形的面积记为，这样得到一个数列：，如图1-18所示 图1-18由图
4、1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近当边数n无限增大时，圆内接正边形的面积会无限接近圆的面积A对于一些数列，如，若当n无限增加时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的极限在数学上，需要从定量角度定义数列的极限给定一个数列和常数a，为证明的极限为a，需要证明n越来越大时，越来越趋于0为了定量描述随n增大逐渐接近于0，与a的接近程度可用（为任意小的正数）代替越小，越接近于a，满足成立的的项数n越大因此，给定一个正数，就存在一个正整数，当时，越小，N就越大，如图1-19所示图1-19定义1 设是数列，a为常数，若对任意给定的正数，总
5、可以找到正整数N，使得所有满足的自然数n，都有成立，则称数列收敛于a，a称为数列的极限，记为例1 对数列，当取，求满足，的的范围，并证明解 因为，所以要使，只要，即即可同理，要满足，只要即可现证明对任意给定的，要使，只要，因此，可以取（可能为0）当时，就有，故如果数列没有极限，则称该数列发散我们还可以用数列极限的定义证明如下重要极限：（为常数），n 【学生】理解数列及数列的极限n 【教师】讲解收敛数列的性质定理1（极限的唯一性） 如果数列收敛，那么它的极限唯一证明 用反证法假设同时有和，且，取因为，故正整数，当时，不等式 （1）成立同理，因为，故正整数，当时，不等式 （2）也成立取（表示N是和
6、中较大的那个数），则当时，（1）式及（2）式同时成立但由（1）式有，由（2）式有，这是矛盾的，故假设不成立定义2 对于数列，如果存在正数，使得对于一切都满足不等式，则称数列是有界的；否则称数列是无界的定理2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界证明 设数列收敛于a，根据数列极限的定义，对于，存在正整数N，当时，不等式成立于是，当时，有取，则数列中的一切都满足不等式这就证明了数列是有界的定理3（收敛数列的保号性） 如果数列收敛于，且（或），那么存在正整数，当时，有（或）当时，根据极限定义，只要取，即可证明结论推论 如果数列从某项起有（或），且数列收敛于a，则（或）证明 就情形证明设
7、数列从项起，即当时有现在用反证法证明，若，则由定理3知，当时，有，取，则当时，有与同时成立，矛盾，所以对于的情形，可以类似地证明定义3 在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列（或子列）设在数列中，第一次抽取，第二次在后抽取，第三次在后抽取，这样无休止的抽取下去，得到一个数列，这个数列就是数列的一个子数列n 【学生】掌握收敛数列的性质通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀。学习数列极限的定义和收敛数列的性质。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】
8、组织学生讨论以下问题1若，能否得到结论：对任意给定的正数，总可以找到正整数，使得所有满足的自然数n，都有（或）成立？2在数列极限定义的语言中对任意给定的正数，可否规定？3有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？4如果数列收敛于，且，有（或），则是否一定有（或）？5若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？n 【学生】发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（30 min）n 【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用1自变量趋于无穷时函数的极限当时，函数的极限定义与数列极限定义相似，因此可以给出当时，极限的定义定义
9、1 设在上有定义，为实常数，若对，当时，有，则称函数当趋于时，以为极限，记为或定义1 设在上有定义，为实常数，若对，当时，则称函数当时，以为极限，记为或定义1 设在上有定义，为实常数，若对， ，当时，则称函数在时，以为极限，记为定理1 证明 必要性显然下证充分性时，使当时；，使当时取，则当或，即时，同时有，所以例1 求解 考察函数，如图1-21所示图1-21当时，函数无限趋于常数1；当时，函数同样无限趋于1，所以例2 考察函数当和时的极限，并说明它在时的极限是否存在解 如图1-22所示，当时，函数无限趋于常数，所以当时，函数无限趋于常数，所以由于，所以不存在 图1-222自变量趋于有限值时函数
10、的极限对于函数，在无意义当时，如图1-23和表1-2所示，当时，这样对，要使，定有在确定的范围内，即，越小，越小，由确定这样我们可以得到，当时，函数极限的定义图1-23表1-2x0.90.990.99911.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1定义2 设在的某个去心邻域上有定义，为实常数，若对，当时，则称函数当趋于时，以为极限，记作或定义2 设在的某个去心右邻域上有定义A为一实常数，若对，当时，则称A为函数在x趋于时的右极限，记作或定义2 设在的某个去心左邻域上有定义，A为一实常数，若对，当时，则称A为函数在x趋于时的左极限，记作或定理2 证明与定理1类似例
11、3 设试判断是否存在解 先分别求当时的左、右极限，因为左、右极限各自存在且相等，所以存在，且n 【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限n 【教师】讲解函数极限的性质定理3（极限的唯一性） 如果存在，则极限是唯一的定理4（局部有界性） 如果，则存在常数和，使得当时，有局部有界性是指函数在的去心邻域内有界定理5（局部保号性） 设，如果（或），则，使当时，（或）推论 如果在的某去心邻域内（或），且，则（或）n 【学生】理解函数极限的性质问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点？（1）（C为常数）；（2）；（3）；（4）2从函数极限定义的角度考虑，若令，数列极限还可以怎样叙述？3若对，且，是否一定有？n 【学生】讨论、发言课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念、函数极限的性质的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题1.2，习题1.3教学反思11目 录