《第18课常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第18课常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程.doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程 第 课18课题常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数微分方程的基本概念。（2）掌握可分离变量微分方程的解法。思政育人目标：由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：函数微分方程的基本概念教学难点：可分离变量微分方程
2、的解法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】在引例中由具体问题引出微分的定义，为微分的应用的做好理论铺垫例1（曲线方程） 一曲线通过点且在该曲线上任一点处切线的斜率为，求该曲线的方程解
3、 设所求曲线的方程为根据导数的定义，可得， （5-1）即，等式两端同时积分得，其中为任意常数又因为曲线通过点，代入上式，解出因此，所求曲线方程为例2（自由落体运动） 在离地面高度为处，将一小球以初速度垂直上抛，若不计空气阻力，求物体的运动方程，计算物体何时回到原处？解 设小球的运动方程为，如图5-1所示建立坐标系由于小球仅受重力作用（不计空气阻力），因此其加速度就是重力加速度，由此可得， （5-2）上式中的负号是因为重力方向与选定的正方向相反对上式两端积分一次得， （5-3）再积分一次得， （5-4）其中都是任意常数由题意可知，将它们分别代入式（5-3）和式（5-4）可得，即所求物体的运动方程
4、为当时，可得，因此，经过秒后，小球回到原处图5-1例3（死亡年代的测定） 人体死亡之后，体内的含量就不断减少已知的衰变速度与当时体内的含量成正比，试建立任意时刻遗体内含量应满足的方程解 设t时刻遗体内的含量为，由题意可得(k为常数，且)，等式右边的负号表示随着时间t的增加，在减少n 【教师】讲解常微分方程的基本概念，并通过例题介绍其应用定义1 含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程，称为微分方程，简称方程未知函数为一元函数的方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的方程称为偏微分方程本章只讨论常微分方程定义2 微分方程中所含未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶例1得到的式（5-1）、
5、例2得到的式（5-3）所含未知函数的导数都为一阶导数，因此，这两个方程为一阶微分方程；例2得到的式（5-2）所含未知函数的导数为二阶导数，因此它是二阶微分方程；而方程则是三阶微分方程一般地，阶微分方程记为， （5-5）其中，是个变量的函数，为自变量，为的未知函数，而依次是未知函数的一阶、二阶，阶导数如果能从式（5-5）中解出最高阶导数，则微分方程还可写为 （5-6）若微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的（且不含交叉乘积），则称为线性方程，否则称为非线性方程定义3 任何能满足微分方程的函数都称为微分方程的解如果阶微分方程的解中含有个彼此独立的任意常数，则称为方程的通解通解中的任意常数确定后，
6、则称其为特解定义4 用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条件求一阶微分方程满足初始条件的特解的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作 （5-7）微分方程特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线，通解的图形是一族相互平行的曲线（有无数多条），称为积分曲线族，如图5-2所示图5-2例4 验证函数（为任意常数）是二阶微分方程的解证明 因为 ，将代入方程左边得，因此，函数是方程的解n 【学生】掌握常微分方程的基本概念学习常微分方程的基本概念，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教
7、师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（30 min）n 【教师】讲解可分离变量微分方程的解法，并通过例题介绍其应用求解形如的一阶微分方程，就是求函数的原函数，等式两边直接积分即可求解但并不是所有一阶微分方程方程都可以这样直接积分求解，例如，该方程与上面方程不同的是等式右边有未知量，而恰是我们要求的关于的函数，故无法参与积分但将该方程改写为，则解决了上述问题，等式两边积分得类似地，还有上一节中例3的微分方程(k为常数，且)，也不可以直接积分求解，应采用上述方法
8、先变形后再积分这种变形法称为分离变量法，可以分离变量的方程称为可分离变量方程定义1 如果一阶微分方程可以化为 （5-8）的形式，则称该方程为可分离变量的微分方程这类微分方程总能经过简单的代数运算，将不同的变量与微分分离到方程的两边，具体的解法如下第一步：分离变量，将方程化为式（5-8）的形式，使方程两边都仅含一个变量第二步：等式两端积分，可得设和分别表示和的原函数，为任意常数，则式（5-8）的通解为 （5-9）例1 求微分方程的通解解 当时，将方程分离变量，得，两边积分，得，即，所以当取遍任何实数时，取遍了除零以外的任何实数那么记，于是有 （5-11）显然，也是原方程的解，那么在式（5-11）
9、中，若即可以得到这个解，因此，方程的通解为(为任意常数)说明 为方便起见，在以后解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，可以不再详细写出处理绝对值记号的过程，即若已解出，则可以立即写出例2 求的解解 方程是一个可分离变量的微分方程，分离变量后得，两边积分得代入初始条件，解得，所以满足初值问题的特解为说明 这个解是方程的隐式解，这里没有必要解出实际上，有些方程只能得到隐式解例3 求解微分方程解 由式（5-10）可知，这是一个可分离变量的微分方程，分离变量后得，两边积分得，即例4 设为连续函数，求解微分方程解 这是一个可分离变量的微分方程当时，分离变量后，得，两边积分得，即 （5-12）这里把看成
10、是的一个确定的原函数，不含积分常数同时，在式（5-12）中，若，则，仍然是原方程的解，因此式（5-12）是方程的通解n 【学生】掌握可分离变量微分方程的解法学习可分离变量微分方程的解法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了常微分方程的基本概念及其应用，可分离变量微分方程的解法。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题5.1总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生学习的积极性很大，这主要是因为在教学过程中带入了实际问题。数学的抽象性离不开直观形象，将抽象与形象相结合，符合人们认识事物的习惯与规律，降低了理论学习的难度，有利于学生理性认识与感性认识的结合。9目 录